3.1.1 椭圆及其标准方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹是(　　 ) A．椭圆　　　　　　　 B．线段 C．圆 D．以上都不对 解析：B　[∵|MF1|＋|MF2|＝4＝|F1F2|， ∴点M的轨迹是以F1，F2为端点的线段，故选B.] 2．若椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为(　　) A．4　　　 B．2 C．8　　　 D. 解析：A　[由＋＝1，知a＝5，根据椭圆的定义，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，所以|MF2|＝10－2＝8.又O为F1F2的中点，N为F1M的中点，所以ON为△MF1F2的中位线，所以|ON|＝|MF2|＝4.] 3．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交C于A，B两点，则△AF1B的周长为(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 解析：D　[由a2＝3得a＝，则由椭圆的定义可知，△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝4a＝4.] 4．(多选)已知P是椭圆＋y2＝1上一点，F1，F2是其两个焦点，则∠F1PF2的大小可能为(　　) A. B. C. D． 解析：BCD　[设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m>0，n>0，且m＋n＝2a＝4，在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝＝－1， 因为mn≤()2＝4， 所以cos∠F1PF2≥－，当且仅当m＝n时取等号，故∠F1PF2的最大值为， 所以∠F1PF2的大小可能为，，.故选BCD.] 5．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝　________　. 解析：由椭圆的定义知|F2A|＋|F1A|＋|F2B|＋|F1B|＝4a＝20，所以|F1A|＋|F1B|＝|AB|＝20－12＝8. 答案：8 6．焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(6,0)的椭圆的标准方程是　________________　. 解析：由已知得2c＝4，a＝6，所以c＝2，则b2＝a2－c2＝36－4＝32， 所以椭圆的标准方程是＋＝1. 答案：＋＝1 7．已知椭圆C：＋＝1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆上一点，|PF1|＝3，∠F1PF2＝，则b＝　________　. 解析：根据椭圆的定义|PF2|＝2a－3＝1， 在焦点△PF1F2中，由余弦定理可得4c2＝|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos ＝7， ∴c2＝，则b2＝a2－c2＝4－＝，∴b＝. 答案： 8．已知某椭圆C，它的中心在坐标原点，左焦点为F(－，0)，且过点D(2,0)． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若已知点A，当点P在椭圆C上变动时，求出线段PA中点M的轨迹方程． 解：(1)由题意知椭圆的焦点在x轴上， ∵椭圆经过点D(2,0)，左焦点为F(－，0)， ∴a＝2，c＝，可得b＝1， 因此，椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2)设点P的坐标是(x0，y0)，线段PA的中点为M(x，y)， 根据中点坐标公式，可得 ∵点P(x0，y0)在椭圆上， ∴可得＋(2y－)2＝1， 化简整理得2＋42＝1， ∴线段PA中点M的轨迹方程是 2＋42＝1. [能力提升练] 9．已知F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，且·＜0，则点P横坐标的取值范围是(　　) A.∪ B. C. D.∪ 解析：B　[由椭圆方程得F1(－，0)，F2(，0)，设P(x0，y0)，则＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3.① 又点P在椭圆上，则＋y＝1，即y＝1－，代入①得·＝x－3＋1－＝－2＜0， 所以－＜x0＜.] 10．(多选)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则(　　) A．椭圆的焦点在y轴上 B．△ABF1的周长为6 C．△AF1F2的周长为6 D．椭圆C的方程为＋＝1 解析：CD　[显然椭圆的焦点在x轴上，A错误．设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，设A(c，y1)，代入方程可得＋＝1.求得y＝.由于|AB|＝3，所以＝，b2＝a2－c2，所以a2－a－1＝0，a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为＋＝1，△ABF1的周长为4a＝8，△AF1F2的周长为2a＋2c＝6.] 11．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝|BF2|，|BF1|＝2|BF2|，则椭圆C的方程为　________　. 解析：设|BF2|＝2m，则|AF2|＝3m，|BF1|＝4m，由椭圆定义知|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＝6m，所以|AF1|＝6m－3m＝3m，所以|AF1|＝|AF2|，故点A为椭圆的上(下)顶点，设A(0，±b)，由＝，得B，点B在椭圆上，故＋＝1，解得a2＝5，又由c＝1，可得b＝2，故椭圆方程为＋＝1. 答案：＋＝1 12．已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点. (1)求椭圆M的标准方程； (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标． 解：(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)，设椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)， 则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0， 故b2＝1或b2＝－(舍)，a2＝5， 故椭圆M的标准方程为＋y2＝1. (2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，得y0＝±. 又＋y＝1，所以x＝，x0＝±， 所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，. [素养培优练] 13．(多选)已知P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos ∠F1PF2＝，则(　　) A．△PF1F2的周长为12 B．＝2 C．点P到x轴的距离为 D.·＝2 解析：BCD　[由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2，故A选项错误；在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2| cos∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－|PF1|·|PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，故＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝×6×＝2，故B选项正确；设点P到x轴的距离为d， 则＝|F1F2|·d＝×2d＝2，所以d＝，故C选项正确；·＝||·||cos∠F1PF2＝6×＝2，故D选项正确．故选BCD.] 14.如图把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝　________　. 解析：由已知得a＝5，如图，E是椭圆的右焦点，由椭圆的对称性知|FP1|＝|EP7|，|FP2|＝|EP6|，|FP3|＝|EP5|， 又|FP4|＝5，∴|FP1|＋|FP2|＋|FP3|＋|FP4|＋|FP5|＋|FP6|＋|FP7|＝|EP7|＋|EP6|＋|EP5|＋5＋|FP5|＋|FP6|＋|FP7|＝2a＋2a＋2a＋5＝35.故答案为35. 答案：35 学科网（北京）股份有限公司 $$