3.1.1 第1课时 椭圆及其标准方程-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教A版2019）

数学 选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 3.1.1　椭圆及其标准方程 第1课时　椭圆及其标准方程 知识点一　椭圆的定义及简单应用 1．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为(　　) A．2 B．3 C．5 D．7 答案：D 解析：设椭圆的两焦点为F1，F2.由椭圆方程知a＝5，根据椭圆定义有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.若|PF1|＝3，则|PF2|＝7.故选D. 2．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为(　　) A．16 B．18 C．20 D．不确定 答案：B 解析：∵a＝5，b＝3，∴c＝4.又|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，|F1F2|＝2c＝8，∴△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝10＋8＝18.故选B. 3．[多选]已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，则下列说法正确的是(　　) A．当a＝2时，点P的轨迹不存在 B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 答案：AC 解析：当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；当a＝3时，|PA|＋|PB|＝|AB|，点P的轨迹为线段AB，D错误．故选AC. 知识点二　椭圆的标准方程及求法 4．(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别为(－2，0)，(2，0)，且椭圆上的点P到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为________． (2)若椭圆的标准方程为＋＝1，则其焦点的坐标为________． 答案：(1)＋＝1　(2)(0，±) 解析：(1)易知椭圆的焦点在x轴上，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则根据题意知所以即椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由题意，在＋＝1中，椭圆的焦点在y轴上，a＝4，b＝3，∴c＝＝＝，∴椭圆焦点的坐标为(0，±)． 5．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________． 答案： 解析：由题意，得解得0<k<. 6．写出满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)a＝5，c＝2； (2)经过P1(，1)，P2(－，－)两点； (3)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)． 解：(1)由b2＝a2－c2，得b2＝25－4＝21. ∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (2)解法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)． 由已知，得⇒ 即所求椭圆的标准方程为＋＝1. ②当焦点在y轴上时，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)． 由已知，得⇒ 与a>b>0矛盾，此种情况不存在． 综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 解法二：由已知，设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)， 故⇒ 即所求椭圆的标准方程为＋＝1. (3)解法一：方程9x2＋5y2＝45可化为＋＝1， 则焦点是F1(0，2)，F2(0，－2)． 设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)， ∵点M在所求椭圆上， ∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝＋ ＝(2－)＋(2＋)＝4， ∴a＝2，即a2＝12， ∴b2＝a2－c2＝12－4＝8， ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. 解法二：由题意，知焦点F1(0，2)，F2(0，－2)， 设所求椭圆的方程为＋＝1(λ>0)， 将x＝2，y＝代入，得＋＝1， 解得λ＝8或λ＝－2(舍去)． 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 知识点三　与椭圆有关的轨迹问题 7．已知点A(－，0)，B(，0)，P是平面内的一个动点，直线PA与PB的斜率之积是－，则动点P的轨迹C的方程为________________． 答案：＋y2＝1(x≠±) 解析：设P(x，y)(x≠±)，由kAP·kBP＝·＝－，整理得＋y2＝1(x≠±)，故动点P的轨迹C的方程为＋y2＝1(x≠±)． 8．设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为线段PD上一点，且|MD|＝|PD|.当点P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程． 解：设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(xP，yP)， 因为点D是P在x轴上的射影，M为线段PD上一点，且|MD|＝|PD|， 所以xP＝x，且yP＝y. 因为点P在圆x2＋y2＝25上， 所以x2＋＝25，整理得＋＝1， 即点M的轨迹C的方程为＋＝1. 一、单项选择题 1．设P(x，y)满足＋＝5，则点P的轨迹为(　　) A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不存在 答案：B 解析：∵＋＝5表示点P(x，y)到定点F1(0，－2)，F2(0，2)的距离之和为5，即|PF1|＋|PF2|＝5>|F1F2|＝4，∴点P的轨迹为椭圆．故选B. 2．已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．直线 D．线段 答案：A 解析：∵|PF1|＋|PF2|＝2a，|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＝2a，即|F1Q|＝2a，∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．故选A. 3．已知△ABC的周长为18，|AB|＝8且A(－4，0)，B(4，0)，|CA|＜|CB|，则点C的轨迹方程为(　　) A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0) C.＋＝1(y≠0，x＜0) D.＋＝1(y≠0，x＜0) 答案：C 解析：∵|CA|＋|CB|＋|AB|＝18，|AB|＝8，∴|CA|＋|CB|＝10>|AB|，∴动点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(不包含(－5，0)，(5，0)两点)，且2a＝10，2c＝8，∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝9，∴椭圆方程为＋＝1(y≠0)，又|CA|<|CB|，∴x<0.故选C. 4．已知F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|＝(　　) A．11 B．5 C．10 D．8 答案：A 解析：由椭圆的定义和a＝4，得|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，故|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝16，又|AF2|＋|BF2|＝|AB|＝5，故|AF1|＋|BF1|＝11. 5．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别为9和15，则椭圆的标准方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1或＋＝1 D.＋＝1或＋＝1 答案：C 解析：由题意可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，由题意可得2c＝16，c＝8，2a＝9＋15，a＝12，故b2＝a2－c2＝80，故椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.故选C. 二、多项选择题 6．若＋＝2为椭圆的方程，则m的值可以为(　　) A．3 B．6 C．8 D．11 答案：AC 解析：因为＋＝2为椭圆的方程，所以解得2<m<6或6<m<10.故选AC. 7．椭圆＋＝1上的一点P到椭圆两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标可能为(　　) A．(4，0) B．(0，5) C．(－4，0) D．(0，－5) 答案：AC 解析：设椭圆的上、下焦点分别为F1，F2，得|PF1|＋|PF2|＝10，∴m＝|PF1|·|PF2|≤＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5时，m取得最大值25，此时点P的坐标为(－4，0)或(4，0)．故选AC. 三、填空题 8．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________． 答案：3或5 解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，∴c＝1，∴m－4＝1，即m＝5；当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，∴c2＝4－m＝1，∴m＝3.综上，m的值是3或5. 9．已知椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________． 答案：＋＝1 解析：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2，0)，从而有 解得又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的标准方程为＋＝1. 10．已知点M(－2，0)，N(2，0)． (1)若|PM|＋|PN|＝6，则点P的轨迹方程为________； (2)若|PM|＋|PN|＝4，则点P的轨迹方程为________． 答案：(1)＋＝1　(2)y＝0(－2≤x≤2) 解析：(1)由|PM|＋|PN|＝6＞|MN|＝4，可知点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆．因为a＝3，c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，即点P的轨迹方程为＋＝1. (2)由|PM|＋|PN|＝4＝|MN|，可知点P的轨迹是线段MN，即点P的轨迹方程为y＝0(－2≤x≤2)． 四、解答题 11．已知椭圆C：＋＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，且当PF1⊥x轴时，|PF2|＝.求C的方程． 解：由题意知，a2>8，得a>2， 当PF1⊥x轴时，设P(－c，y0)(y0>0)， 代入椭圆方程，得＋＝1， 解得y0＝，即|PF1|＝， 由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a， 又|PF2|＝， 所以＋＝2a，由a>2，解得a＝3， 故C的方程为＋＝1. 12.如图，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程． 解：由垂直平分线的性质可知|MQ|＝|MA|， ∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|， 又|CQ|＝4，∴|MC|＋|MA|＝4. 又|AC|＝2， ∴点M的轨迹是以C，A为焦点的椭圆． 由椭圆的定义知，a＝2，c＝1， ∴b2＝a2－c2＝3， ∴点M的轨迹方程为＋＝1. 13.如图，A为平面α内一定点，AB是平面α的定长斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是(　　) A．直线 B．圆 C．椭圆 D．线段 答案：C 解析：因为△ABP以定长斜线段AB为底，且△ABP的面积为定值，所以点P到直线AB的距离为定值，故点P在以AB为轴线的圆柱的侧面上，又点P在平面α内，所以点P在圆柱的侧面与平面α的交线上，且平面α与圆柱 的轴线斜交，由平面与圆柱的截面的性质判断，可得动点P的轨迹为椭圆． 14．已知椭圆的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，且该椭圆过点P(2，－)． (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆上的点M(x0，y0)满足MF1⊥MF2，求y0的值． 解：(1)因为 |PF1|＝＝3， |PF2|＝＝， 所以|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，即a＝2. 又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝4， 又焦点在x轴上， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为＝(－2－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，MF1⊥MF2， 所以·＝0，即x＋y＝4， 又＋＝1，所以y＝4，即y0＝±2. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$