1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(　　) A．(4,2，－2)　　　 B．(2,0,4) C．(2，－1，－5) D．(4，－2,2) 解析：D　[平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，设平面β的法向量为(x，y，z)，则(2，－1,1)＝λ(x，y，z)，λ≠0，对比四个选项可知，只有D符合要求，故选D.] 2．设a＝(3，－2，－1)是直线l的方向向量，n＝(1,2，－1)是平面α的法向量，则(　　) A．l⊥α B．l∥α C．l∥α或l⊂α D．l⊥α或l⊂α 解析：C　[∵a·n＝0，∴a⊥n，可知l∥α或l⊂α.] 3．已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则“m·n＝0”是“l∥α”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[∵m·n＝0，∴m⊥n，不一定有l∥α，也可能l⊂α， ∴“m·n＝0”是“l∥α”的不充分条件，∵l∥α，可以推出m⊥n，∴“m·n＝0”是“l∥α”的必要条件，综上所述， “m·n＝0”是“l∥α”的必要不充分条件．故选B.] 4．(多选)若直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则不可能使l∥α的是(　　) A．m＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．m＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．m＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．m＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) 解析：ABC　[若l∥α，则需m⊥n，即m·n＝0，根据选择项验证可知：A中，m·n＝－2；B中，m·n＝6；C中，m·n＝－1；D中，m·n＝0，故选ABC.] 5.(多选)在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，则下列结论中正确的是(　　) A．直线DD1的一个方向向量为(0,0,1) B．直线BC1的一个方向向量为(0,1,1) C．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0) D．平面B1CD的一个法向量为(1,1,1) 解析：ABC　[DD1∥AA1，＝(0,0,1)，故A正确；BC1∥AD1，＝(0,1,1), 故B正确；直线AD⊥平面ABB1A1，＝(0,1,0)，故C正确；点C1的坐标为(1,1,1)，与平面B1CD不垂直，故D错．] 6．已知A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且点O是不在平面ABCD内的任意一点，＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z＝　________　. 解析：∵A，B，C，D四点共面且O不在该平面内，∴＝m＋n＋p，且m＋n＋p＝1.由条件知＝(－2x)＋(－3y)＋(－4z)·，∴(－2x)＋(－3y)＋(－4z)＝1，∴2x＋3y＋4z＝－1. 答案：－1 7．在平面ABC中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y＝　__________　，z＝　________　. 解析：＝(1,1,0)，＝(－1，－1，－2)，与平面ABC垂直的向量应与上面的向量的数量积为零，向量a＝(－1，y，z)，且为平面ABC的法向量，则a⊥且a⊥，即a·＝0，且a·＝0，即－1＋y＋0＝0且1－y－2z＝0，即y＝1，z＝0. 答案：1；0 8．在三棱锥O－ABC中，OA＝OB＝1，OC＝2，OA，OB，OC两两垂直，试找出一点D，使BD∥AC，DC∥AB. 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，设所求点D(x，y，z)． 由BD∥AC，DC∥AB⇒∥，∥， 因此 ⇒ 即点D的坐标为(－1,1,2)． [能力提升练] 9．17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题转化，打开了数学发展的新局面，创立了新分支解析几何．我们知道，方程x＝1在一维空间中表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线；在三维空间中，它表示一个平面．那么，过点P0(1,2,1)且以u＝(－2,1,3)为法向量的平面的方程为(　　) A．x＋2y－z＋3＝0 B．2x－y－3z－3＝0 C．x＋2y＋z－3＝0 D．2x－y－3z＋3＝0 解析：D　[设P(x，y，z)是该平面内的任意一点，则＝(x－1，y－2，z－1)，所以过点P0(1,2,1)且法向量为u＝(－2,1,3)的平面的方程为－2(x－1)＋(y－2)＋3(z－1)＝0，整理得2x－y－3z＋3＝0.] 10．(多选)在空间直角坐标系中，已知向量u＝(a，b，c)(其中abc≠0)，定点P0(x0，y0，z0)，异于点P0的动点P(x，y，z)，则以下说法正确的是(　　) A．若u为直线PP0的方向向量，则＝＝ B．若u为直线PP0的方向向量，则a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0 C．若u为平面α的法向量，平面α经过P0和P，则＝＝ D．若u为平面α的法向量，平面α经过P0和P，则a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0 解析：AD　[是直线P0P的一个方向向量，＝(x－x0，y－y0，z－z0)，若u为直线PP0的方向向量，则＝＝，A正确，B错误；P0P在平面α内，若u为平面α的法向量，则u⊥，所以u·＝a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0，C错误，D正确．] 11．在空间直角坐标系中，已知三点A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1)，若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为________________． 解析：由A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1)，可得＝(－1，－1,2)，＝(1,0,2)． 设n＝(x，y，z)，根据题意可得可得解得或 所以n＝(2，－4，－1)或n＝(－2,4,1)． 答案：(2，－4，－1)或(－2,4,1) 12．已知M为长方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC的中点，点P在长方体ABCD－A1B1C1D1的面CC1D1D内，且PM∥平面BB1D1D，试探讨点P的确切位置． 解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 根据题意可设A(a,0,0)，B(a，b,0)，D1(0,0，c)，P(0，y，z)，C(0，b,0)，则M. 又PM∥平面BB1D1D，根据空间向量基本定理知，必存在实数对(m，n)，使得＝m＋n， 即＝(ma，mb，nc)，即解得 则点P的坐标为.所以点P在平面DCC1D1的边DC的垂直平分线EF上． [素养培优练] 13.如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P平行于平面AEF，则线段A1P长度的最小值为(　　) A. B. C. D. 解析：B　[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示空间直角坐标系， A(2,0,0)，E(1,2,0)，F(0,2,1)， A1(2,0,2)，＝(－1,2,0)，＝(－2,2,1)， 设平面AEF的法向量n＝(x，y，z)，则，取y＝1，得n＝(2,1,2)， 设P(a,2，c)，0≤a≤2,0≤c≤2，则＝(a－2,2，c－2)，∵A1P平行于平面AEF， ∴·n＝2(a－2)＋2＋2(c－2)＝0，整理得a＋c＝3， ∴线段A1P长度||＝＝＝，当且仅当a＝c＝时，线段A1P长度取最小值.故选B.] 14.(多选)如图，若长方体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，则(　　) A．B1E⊥A1B B．平面B1CE∥平面A1BD C．三棱锥C1－B1CE的体积为 D．三棱锥C1－B1CD1的外接球的表面积为24π 解析：CD　[以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，A1(0,0,4)，B1(2,0,4)，E(0,2,2)，所以＝(－2，2，－2)，＝(2,0，－4)，因为·＝－4＋0＋8＝4≠0，所以与不垂直，故A错误；＝(0，－2，4)，＝(－2,0,2)，设平面B1CE的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，则由得 所以不妨取z1＝1，则x1＝1，y1＝2，所以n＝(1,2,1)，同理可得平面A1BD的一个法向量为m＝(2,2,1)，故不存在实数λ使得n＝λm，故平面B1CE与平面A1BD不平行，故B错误；在长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C1⊥平面CDD1C1，故B1C1是三棱锥B1－CEC1的高，所以·B1C1＝××4×2×2＝，故C正确；三棱锥C1－B1CD1的外接球即为长方体ABCD－A1B1C1D1的外接球，故外接球的半径R＝＝，所以三棱锥C1－B1CD1的外接球的表面积S＝4πR2＝24π，故D正确．故选CD.] 学科网（北京）股份有限公司 $$