1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教A版2019）

数学 选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 知识点一　空间中点、直线和平面的向量表示 1．[多选]由下列各式，可以判定点P在直线AB上的是(　　) A.＝＋k B.＝＋k C.＝＋k D.＝＋k 答案：AB 解析：由点P在直线上的充要条件可知，选AB. 2．下列条件中，一定使空间四点P，A，B，C共面的是(　　) A.＋＋＝－ B.＋＋＝ C.＋＋＝2 D.＋＋＝3 答案：D 解析：对于A，＝－－－，因为(－1)＋(－1)＋(－1)＝－3≠1，所以P，A，B，C四点不共面；对于B，＝＋＋，因为1＋1＋1＝3≠1，所以P，A，B，C四点不共面；对于C，＝＋＋，因为＋＋＝≠1，所以P，A，B，C四点不共面；对于D，＝＋＋，因为＋＋＝1，所以P，A，B，C四点共面．故选D. 知识点二　直线的方向向量 3．[多选]已知一直线经过点A(2，3，2)，B(－1，0，5)，下列向量中是该直线的方向向量的是(　　) A．a＝(1，1，1) B．a＝(－1，－1，1) C．a＝(－3，－3，3) D．a＝(1，1，－1) 答案：BCD 解析：由题意知，＝(－3，－3，3)，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量．故选BCD. 4.如图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间的一个基底，求直线EF的一个方向向量． 解：＝＋＋＝(－)－＋＝－－＝a－b－c，故直线EF的一个方向向量为a－b－c. 知识点三　平面的法向量 5．在空间直角坐标系中，坐标平面Oyz的一个法向量可以是(　　) A．n＝(0，0，1) B．n＝(0，1，0) C．n＝(1，0，0) D．n＝(1，1，1) 答案：C 解析：设y轴的方向向量为j＝(0，1，0)，z轴的方向向量为k＝(0，0，1)，n＝(x，y，z)是坐标平面Oyz的法向量，则即令x＝1，则n＝(1，0，0)．故选C. 6．已知空间中，点A(1，2，－1)，B(－2，1，－1)，C(－1，2，0)，则平面ABC的一个法向量为(　　) A．(2，1，3) B．(1，－3，2) C．(1，3，2) D．(－1，2，2) 答案：B 解析：由题知，＝(－3，－1，0)，＝(－2，0，1)，设n＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，则即令x＝1，得n＝(1，－3，2)．故选B. 7.如图，在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M在棱C1C上，且CM＝2MC1.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面ABB1A1的一个法向量； (2)求平面MD1B的一个法向量． 解：(1)因为x轴垂直于平面ABB1A1， 所以n1＝(1，0，0)是平面ABB1A1的一个法向量． (2)因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，CM＝2MC1， 所以M(0，3，2)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)， 因此＝(3，0，－2)，＝(0，－3，1)， 设n2＝(x，y，z)是平面MD1B的法向量， 则n2⊥，n2⊥， 所以 取z＝3，则x＝2，y＝1. 所以n2＝(2，1，3)是平面MD1B的一个法向量． 一、单项选择题 1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C1，C重合的任一点，则不能作为直线AA1的方向向量的是(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合，则这个向量就是直线AA1的一个方向向量，故选C. 2．若a＝(1，2，3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是(　　) A．(0，1，2) B．(3，6，9) C．(－1，－2，3) D．(3，6，8) 答案：B 解析：由题意知，与a共线的非零向量都能作为平面γ的法向量，由(3，6，9)＝3(1，2，3)知，向量(3，6，9)与向量a＝(1，2，3)共线．故选B. 3．已知A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　) A．(1，1，1) B． C． D． 答案：B 解析：设n＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，又＝(0，－1，1)，＝(－1，1，0)，则∴x＝y＝z，又单位向量的模为1，故只有B符合题意． 4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB上一点，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，若平面MCA1的一个法向量为n＝(2，2，1)，则点M的坐标为(　　) A．(3，1，0) B．(3，2，0) C．(3，3，0) D．(3，4，0) 答案：A 解析：设M(3，y，0)，又A1(3，0，2)，则＝(0，－y，2)，依题意n·＝－2y＋2＝0，解得y＝1，所以M(3，1，0)．故选A. 5．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果＝＋7＋6－4，那么点M必(　　) A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内 C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1内 答案：C 解析：因为＝＋7＋6－4＝＋＋6－4＝＋＋6－4＝＋6(－)－4(－)＝11－6－4，且11－6－4＝1，所以M，B，A1，D1四点共面．故选C. 二、多项选择题 6．在空间直角坐标系中，已知向量u＝(a，b，c)(其中abc≠0)，定点P0(x0，y0，z0)，异于点P0的动点P(x，y，z)，则以下说法正确的是(　　) A．若u为直线PP0的方向向量，则＝＝ B．若u为直线PP0的方向向量，则a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0 C．若u为平面α的法向量，平面α经过P0和P，则＝＝ D．若u为平面α的法向量，平面α经过P0和P，则a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0 答案：AD 解析：是直线P0P的一个方向向量，＝(x－x0，y－y0，z－z0)，u为直线PP0的方向向量，则＝＝，A正确，B错误；P0P在平面α内，u为平面α的法向量，则u⊥，所以u·＝a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0，C错误，D正确．故选AD. 7．已知空间内三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则下列说法不正确的是(　　) A．不是直线AB的一个方向向量 B．直线AB的一个单位方向向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是(1，－2，5) 答案：BC 解析：对于A，＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)，所以不存在实数λ，使得＝λ，则不是直线AB的一个方向向量，所以A正确；对于B，因为＝(2，1，0)，||＝，所以直线AB的一个单位方向向量是＝或－＝，所以B错误；对于C，向量＝(2，1，0)，＝(－3，1，1)，所以cos〈，〉＝＝＝－，所以C错误；对于D，设n＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)，所以则令x＝1，可得n＝(1，－2，5)，所以D正确．故选BC. 三、填空题 8．已知直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，a，3)和B(－1，2，b)两点，则a＋b＝________． 答案：3 解析：∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，a，3)和B(－1，2，b)两点，∴＝(－1，2－a，b－3)，且＝＝，解得a＝，b＝，∴a＋b＝＋＝3. 9．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量为a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________． 答案：2∶3∶(－4) 解析：∵A，B，C，∴＝，＝.又平面α的法向量为a＝(x，y，z)，∴∴解得∴x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)． 10．在空间直角坐标系Oxyz中，点M(2，0，2)在平面α内，且OM⊥α，N(a，b，c)为平面α内任意一点，则a＋c＝________． 答案：4 解析：由题意知，＝(a－2，b，c－2)，根据OM⊥α可知，＝(2，0，2)是平面α的一个法向量，则·＝0，所以2(a－2)＋0×b＋2(c－2)＝0，整理可得a＋c＝4. 四、解答题 11.如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，CE＝EC1，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间的一个基底，分别求直线AD，AE的一个方向向量． 解：＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c， 所以直线AD的一个方向向量是a＋b＋c. ＝＋＝＋＝＋＝＋＝b＋c， 所以直线AE的一个方向向量是b＋c. 12.如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上，且C1E＝3EC.建立适当的空间直角坐标系，并求出平面BED的一个法向量． 解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则D(0，0，0)，B(2，2，0)，E(0，2，1)， 则＝(0，2，1)，＝(2，2，0)， 设n＝(x，y，z)是平面BED的法向量， 则即 令x＝1，得y＝－1，z＝2， 故平面BED的一个法向量为n＝(1，－1，2)． 13．已知n＝(1，0，1)为平面α的一个法向量，点P(3，2，1)位于平面α内，写出平面α内异于点P的另一个点的坐标为________． 答案：(2，0，2)(答案不唯一) 解析：令平面α内异于点P的另一个点为A(x，y，z)，则＝(x－3，y－2，z－1)，由n＝(1，0，1)为平面α的一个法向量，得n·＝x－3＋0＋z－1＝0，所以x＋z＝4，故A(2，0，2)满足要求． 14.如图，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面Oyz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求： (1)直线CD的一个方向向量； (2)平面ADC的一个法向量． 解：(1)在Rt△BCD中，BC＝2，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°， ∴CD＝BCcos30°＝，BD＝BCsin30°＝1. 过D作DE⊥BC于点E， 则DE＝CDsin30°＝， OE＝OB－BDcos60°＝1－＝， ∴点D的坐标为， 又C(0，1，0)，∴＝， 即直线CD的一个方向向量为. (2)＝， 设n＝(x，y，z)是平面ADC的法向量， 则即 取z＝，可得y＝1，x＝， ∴平面ADC的一个法向量为n＝. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$