1.2 空间向量基本定理-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．有以下命题：①如果向量a与b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a，b的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点一定共面；③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底．其中正确的命题是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 解析：C　[①如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a，b的关系是不共线，不正确．反例：如果a，b中有一个向量为零向量，a，b共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．②O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选C.] 2.如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，N是A1B的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A.(a＋b－c) B.(a＋b＋c) C．a＋b＋c D．a＋(b＋c) 解析：B　[设AB中点为D，＝＋＝(＋)＋＝(a＋b＋c)．] 3．已知空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若＝2＋，则下列结论正确的是(　　) A.＝＋2－2 B.＝－2－＋3 C.＝2＋－3 D.＝2＋－2 解析：D　[因为＝2＋， 又＝－，＝－，＝－， 所以－＝2＋， 整理得＝2＋－2.] 4．(多选)给出下列命题，其中正确命题有(　　) A．空间任意三个共线的向量都可以作为一个基底 B．已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底 C．A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面 D．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底 解析：BCD　[选项A中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A不正确；选项B中，根据空间基底的概念，可得B正确；选项C中，由，，不能构成空间的一个基底，可得，，共面，又由，，过相同点B，可得A，B，M，N四点共面，所以C正确；选项D中，由{a，b，c}是空间的一个基底，则基向量a，b与向量m＝a＋c一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D正确．故选BCD.] 5．(多选)设a，b，c是空间一个基底(　　) A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c B．a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面 C．对空间任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc D．a＋b，b＋c，c＋a一定能构成空间的一个基底 解析：BCD　[由a，b，c是空间一个基底，知：在A中，若a⊥b，b⊥c，则a与c相交或平行，故A错误；在B中，a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面，故B正确；在C中，对空间任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc，故C正确；在D中，a＋b，b＋c，c＋a一定能构成空间的一个基底，故D正确．故选BCD.] 6．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，若＝x＋2y＋4z，则x＋y＋z＝　__________　. 解析：如图所示，有＝＋＋＝＋－， 又因为＝x＋2y＋4z， 所以解得所以x＋y＋z＝. 答案： 7.如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝　__________　. 解析：由题意，连接AE，则＝－ ＝＋－ ＝＋(－)－×(＋)． ＝－－＋. 答案：－－＋ 8．已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，＝i，＝j，＝k，试用基底{i，j，k}表示，，. 解：如图所示，延长PG交CD于E，则E为CD的中点． ＝＝×(＋)＝(＋＋＋＋) ＝(－k＋i＋j－k＋j)＝i＋j－k. ＝＋＝＋＋＝－i＋k＋i＋j－k＝－i＋j＋k. ＝＋＝i＋＝i＋j＋k. [能力提升练] 9．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是边OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，用向量，，表示向量，则(　　) A.＝＋＋ B.＝＋＋ C.＝＋＋ D.＝＋＋ 解析：C　[∵＝＋＝＋ ＝＋(＋＋) ＝＋＋(－) ＝＋＋， ∴＝＋＋，故选C.] 10．(多选)已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列说法正确的是(　　) A．a·(b·c)＝(a·b)·c B．若xa＋yb＋zc＝0，则x＝y＝z＝0 C．a在b上的投影向量为 D．a＋b，b－c，c＋2a一定能构成空间的一个基底 解析：BCD　[A选项，当a，c不共线时，a·(b·c)与a共线，(a·b)·c与c共线，故a·(b·c)＝(a·b)·c不可能成立，故A不正确．B选项，{a，b，c}是空间的一个基底，故三个向量不共面且两两共面不共线，假设x，y，z不全为0，不妨设x≠0，此时有xa＝0，故a＝0，矛盾；不妨设x≠0，y≠0，此时xa＋yb＝0，故a，b共线，矛盾；若三者均不为0，即xa＋yb＋zc＝0，此时a，b，c共面，矛盾，综上，假设不成立，故x＝y＝z＝0，B正确．C选项，a在b上的投影向量为，C正确．D选项，设a＋b＝m(b－c)＋n(c＋2a)，即无解， 故a＋b，b－c，c＋2a不共面，一定能构成空间的一个基底，D正确．] 11．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为　________　. 解析：∵A，B，C三点共线，∴存在唯一实数k使＝k，即－＝k(－)， ∴(k－1)＋＋k＝0. 又λ＋m＋n＝0， 令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，则λ＋m＋n＝0. 答案：0 12.如图，三棱锥O­ABC各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且OE＝λOC，记＝a，＝b，＝c. (1)用向量a，b，c表示向量； (2)求||的最小值． 解：(1)＝＋＝＋－ ＝(－)＋λ－＝－a－b＋λc. (2)三棱锥棱长都为1，故a2＝b2＝c2＝1， a·b＝a·c＝b·c＝，||2＝2 ＝＋＋λ2＋a·b－λa·c－λb·c＝＋λ(λ－1)＝2＋， 故当λ＝时，||取得最小值，且||min＝＝. [素养培优练] 13．(多选)在三棱锥P­ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2，则下列说法正确的是(　　) A．EG⊥PG　　　　 B．EF⊥BC C．FG∥BC D．FG⊥EF 解析：ABD　[如图，设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}是空间的一个正交基底， 则a·b＝a·c＝b·c＝0，取AB的中点H，则＝＝×(a＋b)＝a＋b， ＝－＝a＋b－b－c＝a－b－c，＝c－b， ＝－＝a＋b－b＝a， ＝－＝b－＝－c－b， ∴·＝0，A正确；·＝0，B正确；≠λ(λ∈R)，C不正确；·＝0，D正确．] 14.如图所示的平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ的值为__________　；若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，则λ的值为　____________　. 解析： 取空间中一组基底：＝a，＝b，＝c，因为BD⊥AN， 所以·＝0， 因为＝－＝b－a，＝＋＝c＋λb， 所以(b－a)·(c＋λb)＝0，所以＋λ－－＝0， 所以λ＝－1； 在AD上取一点M1使得A1N＝AM1，连接M1N，M1M，M1B， 因为A1N∥AM1且A1N＝AM1， 所以NB1∥M1B，NB1＝M1B， 又因为M1B⊄平面AB1N，NB1⊂平面AB1N，所以M1B∥平面AB1N， 又因为BM∥平面AB1N，且BM∩M1B＝B， 所以平面M1MB∥平面AB1N，所以MM1∥平面AB1N， 又因为平面AA1D1D∩平面AB1N＝AN，且MM1⊂平面AA1D1D， 所以M1M∥AN，所以△AA1N∽△MDM1， 所以＝＝＝2，所以λ＝. 答案：－1　 学科网（北京）股份有限公司 $$