2.4.2 圆的一般方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

2．4.2　圆的一般方程 课程标准 素养解读 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径 2．会在不同条件下求圆的一般方程 1.通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养 2．通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养 [情境引入] 前面我们已经讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2bx＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式． 请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题． [知识梳理] [知识点]　圆的一般方程　 1．(1)圆的一般方程的概念： 当　D2＋E2－4F＞0　时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． (2)圆的一般方程对应的圆心和半径： 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为　　，半径长为　　. 1.所有形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圆吗？ [提示]　不是，只有当D2＋E2－4F>0时才表示圆． 2．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论： ①D2＋E2－4F＞0时表示　圆　. ②D2＋E2－4F＝0时表示点. ③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形． 2.方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？ [提示]　A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．( √ ) (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．( × ) (3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.( √ ) (4)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．( √ ) 2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,3)　　　　　 B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 解析：D　[－＝2，－＝－3，∴圆心坐标是(2，－3)．] 3．(2023·上海卷，7)已知圆C：x2＋y2－4y－m＝0的面积为π，则m＝　________　. 解析：x2＋(y－2)2＝m＋4，r2＝＝1，由题意m＋4＝1⇒m＝－3. 答案：－3 　　　圆的一般方程的认识 [例1]　判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径． [思路点拨]　可直接利用D2＋E2－4F>0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数来判断． [解]　法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2. 因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝＝|m－2|. 法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m), 半径为|m－2|. 二元二次方程表示圆的判断方法 任何一个圆的方程都可化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圆．判断它是否表示圆可以有以下两种方法： (1)计算D2＋E2－4F，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形． (2)将该方程配方为2＋2＝，根据圆的标准方程来判断． [变式训练] 1．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 解：(1)由题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<， 故m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝. 　　　求圆的一般方程 [例2]　已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径． [解]　法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， ∵点A，B，C在圆上， ∴∴ ∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC. ∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，∴圆心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5. ∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25. 确定圆的一般方程的主要方法是待定系数法，即列出关于D，E，F的方程组，求D，E，F一般步骤为： (1)根据题意，设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．； (2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组； (3)解方程组，求出D，E，F的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． [变式训练] 2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程． 解：圆心C，∵圆心在直线x＋y－1＝0上， ∴－－－1＝0， 即D＋E＝－2.① 又∵半径长r＝＝， ∴D2＋E2＝20.② 由①②可得或 又∵圆心在第二象限，∴－＜0，即D＞0，则 故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 　 　　与圆有关的轨迹方程问题 [例3]　点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． [思路点拨] (1)设点M的坐标→用P，A坐标表示 点M坐标→求轨迹方程 (2)设点N的坐标→探求点N的几何条件 →建立方程→化简得轨迹方程 [解]　(1)设线段AP的中点为M(x，y)， 由中点坐标公式得点P坐标为P(2x－2,2y)． ∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设线段PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 求轨迹方程的一般步骤： (1)建立适当的平面直角坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)； (2)列出点M 满足条件的集合； (3)用坐标表示上述条件，列出方程； (4)将上述方程化简； (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点． [变式训练] 3．已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程． [解]　以直线AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，则A(－2，0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)． ∴① ∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y＝9.② 将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵点C不能在x轴上，∴y≠0. 综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0,0)两点．轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)． [当堂达标] 1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　) A．一个点　　　　　 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在 解析：A　[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．] 2．已知圆x2＋y2－2ax＋2y＋(a－1)2＝0(0＜a＜1)，则原点O在(　　) A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 解析：B　[将圆的方程化成标准方程得(x－a)2＋(y－1)2＝2a，因为0＜a＜1，所以(0－a)2＋(0－1)2＝a2＋1＞2a，即原点O在圆外．] 3．已知一动点M到点A(－4,0)的距离是它到点B(2,0)的距离的2倍，则动点M的轨迹方程是_______________________． 解析：设动点M的坐标为(x，y)，则|MA|＝2|MB|， 即＝2， 整理，得x2＋y2－8x＝0.故所求动点M的轨迹方程为x2＋y2－8x＝0. 答案：x2＋y2－8x＝0 4．已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程． 解：设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 由题意得 解得 即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$