2.4.2 圆的一般方程（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

2．4.2　圆的一般方程 学习目标 素养要求 1．正确理解圆的一般方程的形式及特点，会由一般方程求圆心和半径． 2．会在给定的条件下求圆的一般方程. 1．通过对圆的一般方程的推导，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过圆的一般方程的应用，提升数学运算的核心素养. [自主梳理] 知识点　圆的一般方程 [问题1]　已知圆心(2,3)，半径长为2，写出圆的标准方程，并将该圆的方程化为二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式。 答：(x－2)2＋(y－3)2＝4展开得x2＋y2－4x－6y＋9＝0，即该圆的方程能化为二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式． [问题2]　方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？x2＋y2－2x＋4y＋6＝0表示什么图形？ 答：对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0进行配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，它表示圆心为(1，－2)，半径长为2的圆；对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，由于不存在点(x，y)满足这个方程，所以它不表示任何图形． [问题3]　若将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方化成2＋2＝的形式，你能得到什么结论？ 答：　当D2＋E2－4F＞0时，表示以为圆心，为半径的圆． ►知识填空 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程__x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0__称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点　　 D2＋E2－4F＞0 表示以　　为圆心， 以　 　为半径的圆 3．点M(x0，y0)和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的位置关系 点M在圆内⇔__x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＜0__； 点M在圆上⇔__x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0__； 点M在圆外⇔__x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0__. [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．(　　) (2)圆的一般方程和标准方程可以互化．(　　) (3)方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆．(　　) (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(　　) 解析：(1)√.圆的方程都能写成一个二元二次方程． (2)√.圆的一般方程和标准方程是可以互化的． (3)×.不表示圆，方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故不表示圆，而表示点(1，－2)． (4)√.因为点M(x0，y0)在圆外，所以2＋2＞， 即x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0. 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,3)　　　　　　　 B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 解析：选D　∵－＝2，－＝－3， ∴圆心坐标是(2，－3)． 3．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案：A 4．圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为________． 解析：由题意，得圆的半径r＝＝，圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝73，展开化为一般式方程得x2＋y2＋6x－8y－48＝0. 答案：x2＋y2＋6x－8y－48＝0 题型一　圆的一般方程的概念 [例 1]　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 解：(1)因为方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆， 所以D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0， 即4m2＋4－4m2－20m＞0.解得m＜. 故m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m. 所以圆心坐标为(－m,1)，半径r＝. [反思感悟] 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法 (1)配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形为“标准”形式后，观察是否表示圆． (2)定义法：通过判断D2＋E2－4F是否大于零，确定它是否表示圆． 已知方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示的曲线是圆，则实数a的值是________． 解析：把方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0化简整理， 可得a22＋(a＋2)y2＝1－a. 因为此曲线表示圆， 所以a2＝a＋2，并且1－a＞0. 解得a＝－1. 答案：－1 题型二　用待定系数法求圆的一般方程 [例 2]　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)． (1)求△ABC的外接圆的方程； (2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值． 解：(1)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意，得 解得 故△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. (2)因为点M(a,2)在所求的圆上， 所以点M(a,2)的坐标满足圆的方程． 所以a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0. 解得a＝2或a＝6. [反思感悟] 用待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； (2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组； (3)解此方程组，求出D，E，F的值； (4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程． 已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程． 解：易知圆心C的坐标为. 因为圆心在直线x＋y－1＝0上， 所以－－－1＝0，即D＋E＝－2.① 又r＝＝， 所以D2＋E2＝20.② 由①②，可得或 又圆心在第二象限，所以－＜0，即D＞0. 所以 所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 题型三　与圆有关的轨迹问题 [例 3]　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 解：(1)设AP的中点为M(x，y)． 由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)． 因为P点在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设PQ的中点为N(x，y)． 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|， 设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ. 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2. 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. [反思感悟] 求轨迹方程的三种常用方法 直接法 根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明 定义法 当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程 代入法 若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得P点的轨迹方程. 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上． (1)求圆C的方程； (2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程． 解：(1)设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D的坐标为. 又kAB＝－3，所以km＝. 所以直线m的方程为x－3y－3＝0. 由得圆心C(－3，－2)． 所以半径r＝|CA| ＝＝5. 所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25. (2)设点M(x，y)，Q(x0，y0)． 因为点P的坐标为(5,0)， 所以即 又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25， 即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25. 整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝. 即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝. [课堂小结] 1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件． 2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况设出方程，以便简化解题过程，体现数学运算核心素养． 3．涉及有关曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$