2.3.3 点到直线的距离&2.3.4 两条平行直线间的距离-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

2．3.3　点到直线的距离 2．3.4　两条平行直线间的距离 课程标准 素养解读 1.了解点到直线的距离公式的推导方法 2．掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用于求两条，平行线间的距离等问题 3．初步掌握用解析法研究几何问题 通过点到直线的距离、两条平行线间的距离公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养 [情境引入] 在公路附近有一家乡村饭馆，现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路．请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短？ 最容易想到的方法是什么？ 提示：铺设一条从饭馆到公路的垂直道路，道路的长度最短． [知识梳理] [知识点一]　点到直线的距离　 1．概念：过一点向直线作垂线，则该点与　垂足　之间的距离，就是该点到直线的距离． 2．公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝　　. 1.在使用点到直线的距离公式时对直线方程有什么要求？ [提示]　要求直线的方程化为一般式． [知识点二]　两平行直线间的距离　 1．概念：夹在两条平行直线间的　公垂线段　的长度就是两条平行直线间的距离． 2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝　　. 2.在应用两条平行线间的距离公式时对直线方程有什么要求？ [提示]　两条平行直线的方程都是一般式，且x, y对应的系数分别相等． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b.( × ) (2)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.( √ ) (3)两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为.( √ ) 2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　) A．1　　　　　　　 B. C．2 D． 解析：D　[利用点到直线的距离公式可得，原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝＝.] 3．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为(　　) A．3 B．2 C．1 D． 解析：C　[d＝＝1.] 　　　点到直线的距离 [例1]　求点P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4. [解]　(1)把方程y＝x＋写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝. (2)法一：把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝8. 法二：因为直线y＝6平行于x轴，所以d＝|6－(－2)|＝8. (3)因为直线x＝4平行于y轴，所以d＝|4－3|＝1. 　点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后套用点到直线的距离公式． (2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合． [变式训练] 1．求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1,0)的距离是的直线l的方程． 解：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知， d＝＝＝. 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6，解得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 　　　两条平行线间的距离 [例2]　已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程. [思路点拨]　由题设知l1∥l2，故l∥l1∥l2，设出l的方程，利用距离公式表示出d1，d2，进而求出直线方程． [解]　由直线l1，l2的方程知l1∥l2.又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)． 设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由两平行线间的距离公式，得d1＝，d2＝，又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，解得m＝－25或m＝－9. 故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0. 　求两条平行线间距离的方法 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝. 但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等． [变式训练] 2．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程． 解：设与直线l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0， 根据两平行直线间的距离公式，得＝3， 解得b＝45或b＝－33. 所以所求直线方程为5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0. 　 　　距离公式的综合应用 [例3]　已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程． [思路点拨]　先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解． [解]　设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)． 由得正方形的中心坐标为P(－1,0)， 由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)． ∴l1：x＋3y＋7＝0. 又正方形另两边所在直线与l垂直， ∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴＝，得a＝9或a＝－3， ∴另两条边所在直线的方程分别为3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0. ∴另三边所在直线的方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0. 　距离公式综合应用的三种常用类型 (1)最值问题． ①利用对称转化为两点之间的距离问题． ②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离． ③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值． (2)求参数问题． 利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． (3)求方程的问题． 立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解． [变式训练] 3．求过点(3,5)的所有直线中，距原点最远的直线方程． 解：设过点(3,5)的直线方程为y－5＝k(x－3)或x＝3.对于y－5＝k(x－3)， 原点(0,0)到它的距离d＝， 化简整理得(9－d2)k2－30k＋25－d2＝0. 当9－d2≠0时，因为k∈R，所以Δ＝(－30)2－4(9－d2)(25－d2)≥0，解得0≤d≤(且d≠3)． 对于x＝3，原点到它的距离d＝3. 因此，过点(3,5)的所有直线与原点的距离d∈[0，]． 故dmax＝，当d＝时，＝，解得k＝－.故所求直线方程为y－5＝－(x－3)，即3x＋5y－34＝0. [当堂达标] 1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于(　　) A．7　　 B．5 C．3　　 D．2 解析：A　[直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7.] 2．(多选)到直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程可能为(　　) A．x＋2y＝0　　　　　 B．2x＋y－2＝0 C．2x＋y＝0 D．2x＋y＋2＝0 解析：CD　[因为所求直线与直线2x＋y＋1＝0的距离为，所以可得所求直线与已知直线平行， 设所求直线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，∴d＝＝，解得c＝0或c＝2， 故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.故选CD.] 3．直线l过点(4,0)，若点(1,2)到直线l的距离为3，则直线l的方程为　________　. 解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时点(1,2)到直线l的距离为3，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0， 所以此时点(1,2)到直线l的距离为＝3，解得k＝， 所以直线l的方程为x－y－＝0，即5x－12y－20＝0. 答案：直线l的方程为x＝4或5x－12y－20＝0 4．已知直线l经过点(－2,3)，且原点到直线l的距离等于2，求直线l的方程． 解：当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2. 当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，由d＝＝2， 得k＝－，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0. 综上可知，所求直线l的方程为x＝－2或5x＋12y－26＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$