2.3.3 点到直线的距离公式& 2.3.4 两条平行直线间的距离(Word教参)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.3.3　点到直线的距离公式 2．3.4　两条平行直线间的距离 [对应学生用书P47] 学习目标 1．掌握点到直线距离的公式，会用公式解决有关问题． 2．掌握两条平行直线间的距离公式，并会求两条平行直线间的距离． 知识点一　点到直线的距离公式 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P. 若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？ 点到直线的距离公式 (1)定义：点到直线的距离是指从点到直线的垂线段的长度． (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． (1)点到直线距离公式中的直线方程必须是一般式． (2)点到直线的距离公式对于A＝0，B≠0或A≠0，B＝0或P点在直线l上的情况也是适用的． [例1] 求点P0(－1，2)到下列直线的距离： (1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0. 解：(1)由点到直线的距离公式知d＝＝＝2. (2)方法一　直线方程化为一般式为x－2＝0. 由点到直线的距离公式知d＝＝3. 方法二　∵直线x＝2与y轴平行， ∴由图①知d＝|－1－2|＝3. 图① 　　　　 图② (3)方法一　由点到直线的距离公式得d＝＝1． 方法二　∵直线y－1＝0与x轴平行， ∴由图②知d＝|2－1|＝1． (1)在使用点到直线的距离公式时，首先把直线方程化为一般式，再利用公式求解． (2)在已知点到直线的距离求参数时，只需根据公式列方程求解参数即可． [练1] (多选)(2025·邯郸高二期末)已知点A(3，3)，B(5，－1)到直线y＝kx＋1的距离相等，则斜率k的值可以是(　　) A．－2 B． 2 C．0 D．－ AC　解析：解法一　点A，B到kx－y＋1＝0的距离相等，即＝，解得k＝－2或k＝0； 解法二　直线y＝kx＋1过定点C(0，1)，线段AB的斜率为－2， 直线y＝kx＋1与AB平行时，点A，B到直线y＝kx＋1的距离相等，此时k＝－2； 直线y＝kx＋1经过AB的中点D(4，1)时，点A，B到直线y＝kx＋1的距离相等，此时k＝0.综上，k＝－2或k＝0. 知识点二　两条平行直线间的距离 直线l1：x＋y－1＝0上有A(1，0)，B(0，1)，C(－1，2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A，B，C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？ 两条平行直线间的距离 (1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． 应用平行线间的距离公式的两个前提条件 (1)两直线方程必须是一般式； (2)两直线方程x，y的系数对应相等． [例2] (1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为 ． (2)已知直线l到两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则直线l的方程为 ． 答案：(1)　(2)2x－y＋1＝0　解析：(1)由题意，得＝， ∴m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，由两平行线间距离公式，得＝＝. (2)设直线l的方程为2x－y＋c＝0，由题意，得＝，解得c＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0. 求两平行直线间距离的两种思路 (1)利用“化归”法：将两条平行直线间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离； (2)直接利用两平行直线间的距离公式d＝，但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等． [练2] (2025·天津和平区高二月考)若直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为 ；l1与l2间的距离为 ． 答案：－1　　解析：因为直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，所以a2－(a＋2)＝0，解得a＝2或a＝－1． 经检验，当a＝2时，两直线重合， 所以a＝－1，故l1：－x＋y＋2＝0，l2：－x＋y－1＝0， 所以l1与l2间的距离为＝. 综合应用：距离公式的简单综合 [例3] 已知两平行直线l1，l2分别过点A(1，0)，B(0，5). (1)若l1，l2之间的距离为5，求两直线方程； (2)若l1，l2之间的距离为d，求d的取值范围． 解：(1)当l1，l2的斜率都不存在时，易知l1：x＝1，l2：x＝0，l1，l2之间的距离为1，不合题意． 当l1，l2的斜率存在时，设斜率为k，则l1：y＝k(x－1)，l2：y－5＝kx， 化为一般式，l1：kx－y－k＝0，l2：kx－y＋5＝0. 由l1，l2间的距离为5，可得＝5， 解得k＝0或k＝.当k＝0时，l1：y＝0，l2：y＝5； 当k＝时，l1：5x－12y－5＝0，l2：5x－12y＋60＝0. 故两直线方程为l1：y＝0，l2：y＝5或l1：5x－12y－5＝0，l2：5x－12y＋60＝0. (2)如图，当l1，l2旋转到和AB垂直时， l1，l2之间的距离d最大，dmax＝＝. 当l1，l2旋转到和AB重合时，距离为0. 又两平行直线l1，l2不重合，故d∈(0，]. 应用距离公式解答有关问题的注意事项 (1)直线的方程是一般式，在用两平行直线间的距离公式时，两方程中x，y的系数分别相等； (2)要结合图形，帮助解答； (3)求直线方程时，要特别注意斜率不存在的情况． [练3] 已知△ABC的顶点坐标为A(1，1)，B(m，)，C(4，2)，1<m<4.当m为何值时，△ABC的面积S最大？ 解：|AC|＝＝， 直线AC的方程为＝，即x－3y＋2＝0. 因为点B(m，)到直线AC的距离d＝， 所以△ABC的面积S＝|AC|·d＝|m－3＋2|＝|(－)2－|. 因为1＜m＜4，所以1＜＜2， 所以0＜|(－)2－|≤，0＜S≤. 所以当＝，即m＝时，△ABC的面积S最大． 1．知识清单 (1)点到直线的距离公式． (2)两条平行直线间的距离． 2．方法归纳：数形结合思想、解方程(组)思想． 3．常见误区：利用距离公式时直线方程形式不是一般式；忽略直线方程的特殊形式． ◎随堂演练 1．点(4，3)到直线x＝7的距离为(　　) A．－3 B． 3 C．11 D．4 B 2．过点(1，3)且与原点的距离为1的直线共有(　　) A．3条 B． 2条 C．1条 D．0条 B 3．直线x－2y－1＝0与直线x－2y－C＝0的距离为2，则C的值为(　　) A．9 B． 11或－9 C．－11 D．9或－11 B　解析：两平行直线间的距离为d＝＝2，解得C＝－9或C＝11． 4．(2025·无锡高二检测)已知在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标为A(－1，3)，B(2，－3)，C(－3，－1)，则△ABC的面积为(　　) A．9 B． 12 C．10 D．12 D　解析：由已知得，直线AB斜率存在，为＝－2，所以直线AB方程为y－3＝－2(x＋1)，整理得直线AB方程为2x＋y－1＝0. 因为A(－1，3)，B(2，－3)，C(－3，－1)，所以|AB|＝＝3， 直线AB方程为2x＋y－1＝0， 点C到直线AB的距离d＝＝， 所以△ABC的面积为|AB|·d＝×3×＝12.故选D． 学科网（北京）股份有限公司 $$