2.2.3 直线的一般式方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

2.2.3　直线的一般式方程 课程标准 素养解读 1.掌握直线的一般式方程 2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线 3．会进行直线方程的五种形式之间的转化 通过学习直线方程五种形式的相互转化，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养 [情境引入] 问题：由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形． (1)斜率是1，经过点A(1,8)； (2)在x轴和y轴上的截距分别是－7,7； (3)经过两点P1(－1,6)，P2(2,9)； (4)在y轴上的截距是7，倾斜角是45°. 提示：(1)y－8＝x－1；(2)＋＝1；(3)＝；(4)y＝x＋7.如果我们在同一个平面直角坐标系中画出这4条直线，你会惊奇地发现：这4条直线是重合的．事实上，它们的方程都可以化简为x－y＋7＝0.这样前几种直线方程就有了统一的形式，这就是本节我们要学习的直线的一般式方程． [知识梳理] [知识点一]　直线的一般式方程　 1．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线方程的一般式． 2．直线方程一般式的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． ④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程． 1.当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？ [提示]　(1)若A＝0，则y＝－，表示与y轴垂直的一条直线． (2)若B＝0，则x＝－，表示与x轴垂直的一条直线． (3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线． [知识点二]　直线的一般式方程与其他形式的互化　 2.任何直线方程都能表示为一般式吗？ [提示]　能．因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．( √ ) (2)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点．( √ ) (3)当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行．( × ) (4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( × ) 2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　) A．30° 　 B．60° C．150°　　 D．120° 解析：C　[直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.] 3．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为　________________________　. 解析：由直线的点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0 　　　直线的一般式方程 [例1]　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是－3，－1. [思路点拨]　先选择合适的形式将直线方程写出来，再化为一般式. [解]　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝(x－5)，化为一般式方程为x－y＋3－5＝0. (2)由斜截式方程可知，所求直线方程为y＝4x－2， 化为一般式方程为4x－y－2＝0. (3)由两点式方程可知， 所求直线方程为＝， 化为一般式方程为2x＋y－3＝0. (4)由截距式方程可得，所求直线方程为＋＝1，化为一般式方程为x＋3y＋3＝0. 　直线的一般式方程的特征 求直线方程时，要求将方程化为一般式方程，其形式一般作如下设定：x的系数为正；系数及常数项一般不出现分数；一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列． [变式训练] 1．求分别满足下列条件的直线l的一般式方程． (1)经过点B(－2,0)，且与x轴垂直； (2)斜率为－4，在y轴上的截距为7； (3)经过C(1，－5)，D(3，－1)两点． 解：(1)因为直线l经过点B(－2,0)，且与x轴垂直， 所以直线l的方程为x＝－2，化成一般式为x＋2＝0. (2)由直线l的斜率为－4，在y轴上截距为7，得直线的斜截式方程为y＝－4x＋7，化成一般式为4x＋y－7＝0. (3)由直线l经过C(1，－5)，D(3，－1)两点，得直线的两点式方程为＝，整理得2x－y－7＝0. 　 　　由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直 [例2]　(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值； (2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？ [思路点拨]　利用在一般式方程下，两直线平行或垂直的条件求解． [解]　法一：(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0， l2：mx＋3y－2＝0知： ①当m＝0时，显然l1与l2不平行． ②当m≠0时，l1∥l2，需＝≠. 解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3. (2)由题意知，直线l1⊥l2. ①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直． ②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直． ③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－. 当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，即·＝－1， ∴a＝－1. 综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. 法二：(1)令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2. 当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然l1与l2不重合，∴l1∥l2. 同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0， 显然l1与l2不重合，∴l1∥l2，∴m的值为2或－3. (2)由题意知直线l1⊥l2， ∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1， 将a＝±1代入方程，均满足题意． 故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. 1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系． (1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0. [变式训练] 2．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的一般式方程，l′满足 (1)过点(－1,3)，且与l平行； (2)过点(－1,3)，且与l垂直． 解：(1)由l′与l平行，可设l′方程为3x＋4y＋m＝0. 将点(－1,3)的坐标代入上式得m＝－9. ∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0. (2)由l′与l垂直，可设其方程为4x－3y＋n＝0. 将点(－1,3)的坐标代入上式得n＝13. ∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0. 　　　与含参数的一般式方程有关的问题 [例3]　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围． [思路点拨]　(1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第一象限；(2)直线不过第二象限，即斜率大于0且与y轴的截距不大于0. [解]　(1)证明：法一：将直线l的方程整理得y－＝a， ∴直线l的斜率为a，且过定点A， 而点A在第一象限内， 故不论a为何值，直线l恒过第一象限． 法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0. ∵上式对任意的a总成立，必有即 即l过定点A. 以下同法一． (2)直线OA的斜率为k＝＝3. 如图所示，要使直线l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a≥3. 　直线恒过定点的求解策略 (1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标； (2)将方程变形，把x, y看作参数的系数，因为此式子对任意参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x, y的值，即为直线过的定点． [变式训练] 3．(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足　________　. (2)已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直线．当m＝　____________　时，直线的倾斜角为45°；当m＝　____________　时，直线在x轴上的截距为1. 解析：(1)若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0. 解方程组得m＝－3，所以m≠－3时，方程表示一条直线． (2)因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1， 所以－＝1， 所以 解得所以m＝－1. 因为已知直线在x轴上的截距为1，令y＝0， 得x＝， 所以＝1， 所以 解得 所以m＝－或m＝2. 答案：(1)m≠－3　(2)－1　－或2 [当堂达标] 1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　 ) A．A≠0　　　　　　　 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0 解析：D　[方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.] 2．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．x＋2y－1＝0 D．2x＋y－2＝0 解析：D　[设与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程为2x＋y＋C＝0，将点(1,0)的坐标代入，得2×1＋0＋C＝0，解得C＝－2，所以过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程为2x＋y－2＝0.] 3．(多选)下列说法正确的是(　　) A．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3,2) B．直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2 C．直线x＋y＋1＝0的倾斜角为60° D．过点(－1,2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为2x＋y＝0 解析：ABD　[y＝ax－3a＋2(a∈R)可化为y－2＝a(x－3)，则直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3,2)，故A正确；令x＝0，则y＝－2，即直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，故B正确；x＋y＋1＝0可化为y＝－x－1，则该直线的斜率为－，即倾斜角为120°，故C错误；设过点(－1,2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线的斜率为k，因为直线x－2y＋3＝0的斜率为，所以k·＝－1，解得k＝－2，则过点(－1，2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线的方程为y－2＝－2(x＋1)，即2x＋y＝0，故D正确．故选ABD] 4．设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值： (1)直线l的斜率为－1； (2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0. 解：(1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，由题意得－＝－1，解得k＝5. (2)直线l的方程可化为＋＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$