2.1.1 倾斜角与斜率-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

2．1　直线的倾斜角与斜率 2．1.1　倾斜角与斜率 课程标准 素养解读 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念 2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性 3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率 1.通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养 2．通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养 [情境引入] 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝＝.k>0表示上坡，k<0表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？ [知识梳理] [知识点一]　直线的倾斜角 　 定义 当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，　x轴正向　与直线l　向上　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 规定 当直线l与x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为　0°　 记法 α 图示 范围 0°≤α<180° 作用 (1)表示平面直角坐标系内一条直线的　倾斜程度　 (2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的　倾斜角　，二者缺一不可 1.图中标的倾斜角α对不对？ [提示]　都不对． [知识点二]　直线的斜率　 定义(α为直 线的倾斜角) α≠90° 一条直线的倾斜角α的　正切值　叫做这条直线的斜率 α＝90° 直线斜率不存在 记法 常用小写字母k表示，即k＝　tan α　 范围 　R　 作用 用实数反映了平面直角坐标系内直线的　倾斜程度　 [知识点三]　直线的斜率公式　 　如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，那么直线的斜率公式：k＝. 2.所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？ [提示]　不是．若直线没有斜率，则其倾斜角为90°. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率．( × ) (2)倾斜角为135°的直线的斜率为1.( × ) (3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α.( × ) (4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)．( √ ) 2．直线x＝的倾斜角为(　　) A．0°　　　　　　　 B．60° C．90° D．180° 解析：C　[∵直线x＝的斜率不存在，∴倾斜角为90°.] 3．一条直线的斜率等于1，则此直线的倾斜角等于　________　. 解析：∵k＝tan α＝1.∴α＝45°. 答案：45° 　　　直线的倾斜角 [例1]　已知直线l过原点，l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角是多少？ [思路点拨]　画草图→标记α→找倾斜角与α的关系→求倾斜角 [解]　由题意画出草图．由图可知： 当α为钝角时，倾斜角为α－90°， 当α为锐角时，倾斜角为α＋90°， 当α为直角时，倾斜角为0°. 综上，直线l转动前的倾斜角为 　求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [变式训练] 1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α　　　　　　　　　　 B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α 解析：D　[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.] 　　　斜率的计算 [例2]　(1)已知直线l过点A(－1，)，B(2，m)两点，若直线l的倾斜角是，则m＝(　　) A．－2　 B．0 C．2　　 D．4 (2)一条直线过点A(1,0)和B(－2,3)，则该直线的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．135° D．150° [思路点拨]　(1)根据条件，由斜率公式得到关于m的方程，再求出m的值． (2)由题意利用直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的倾斜角和斜率的关系求出直线的倾斜角． [解析]　(1)设直线l的斜率为k，则k＝＝ tan＝－，故m＝－2.故选A. (2)一条直线过点A(1,0)和B(－2,3)，则该直线的斜率为＝－1， 故该直线的倾斜角为135°，故选C. [答案]　(1)A　(2)C 　直线斜率的计算方法 (1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在． (2)若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝(其中x1≠x2)进行计算． [变式训练] 2．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m,1)． (1)当m为何值时，直线l的斜率是1? (2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？ 解：(1)kMN＝＝1，解得m＝. (2)直线l的倾斜角为90°，即直线l平行于y轴，所以m＋1＝2m，解得m＝1. 　　　直线倾斜角与斜率的综合 [例3]　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． [思路点拨] 作图 倾斜角介于直线PB 与PA的倾斜角之间 求斜率范围及倾斜角范围 [解]　如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1. (1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1. (2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围． 2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在． 3.的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题． [变式训练] 3．(1)设点A(3，－5)，B(－2，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A．(－∞，－3 ]∪[1，＋∞) B. [－3,1] C．[－1,3] D．以上都不对 (2)已知点A(1,1)，B(0，－1)，C(a，b)在同一直线上，则2a－b＝　____　. 解析：(1)如图所示，直线PB，PA的斜率分别为kPB＝1，kPA＝－3， 结合图形可知k≥1或k≤－3.故选A. (2)三点A(1,1)，B(0，－1)，C(a，b)在同一直线上， ∴kAB＝kBC，∴＝，整理得2a－b＝1.故答案为1. 答案：(1)A　(2)1 [当堂达标] 1．(多选)在下列四个说法中，错误的有(　　) A．在平面直角坐标系内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π) C．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α 解析：ACD　[对于A：当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，所以A错误；对于B：根据直线倾斜角的定义，可得直线倾斜角的取值范围是[0，π)，所以B正确；对于C：一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，如直线y＝x的斜率为1＝tan ，但它的倾斜角为，所以C错误；对于D：一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为tan α或不存在，所以D错误．] 2．过点A(－，)与点B(－，)的直线的倾斜角为(　　) A．45°　　　　　 B．135° C．45°或135° D．60° 解析：A　[kAB＝＝＝1，故直线的倾斜角为45°.] 3．经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是　________　.(其中m≥1) 解析：当m＝1时，倾斜角α＝90°，当m>1时，tan α＝>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°. 答案：(0°，90°] 4．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围． 解：如图所示． ∵kAP＝＝1，kBP＝＝－， ∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)， ∴45°≤α≤120°. 学科网（北京）股份有限公司 $$