第1章 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

知识整合·思维导图 题型梳理·素养聚焦 [考点一]　数学运算、数学抽象——空间向量及其运算　 [例1]　(1)如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：①＋＋＋＝0；②＋－－＝0；③－＋－＝0；④·＝·；⑤·＝0，其中正确结论的序号是　________　. (2)如图，在平行六面体A1B1C1D1­ABCD中，M分成的比为，N分成的比为2，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示. (1) [解析]　容易推出：－＋－＝＋＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2×2×cos∠ASB，·＝2×2×cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④. [答案]　③④ (2)[解]　如图，连接AN，则＝＋.由已知四边形ABCD是平行四边形，故＝＋＝a＋b，又M分成的比为，故＝－＝－(a＋b)． 由已知，N分成的比为2，故＝＋＝－＝－＝(c＋2b)，于是＝＋＝－(a＋b)＋(c＋2b)＝(－a＋b＋c)． 向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义． [考点二]　数学运算——空间向量的坐标运算　 [例2]　(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝(　　) A．(0,3，－6)　　　　　 B．(0,6，－20) C．(0,6，－6) D．(6,6，－6) (2)已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c. ①求向量a，b，c；②求a＋c与b＋c所成角的余弦值． (1)[解析]　B　[(1)由b＝x－2a得x＝4a＋2b， 又4a＋2b＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)， 所以x＝(0,6，－20)．] (2)[解]　①∵向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c， ∴解得 ∴向量a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)． ②∵a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)， ∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5， |a＋c|＝＝， |b＋c|＝＝， ∴a＋c与b＋c所成角的余弦值为＝. 　熟记空间向量的坐标运算公式 　设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， (1)加减运算：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)． (2)数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. (3)向量夹角：cos〈a，b〉＝. (4)向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)， 则||＝. 提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算． [考点三]　逻辑推理——利用空间向量证明平行、垂直问题　 [例3]　在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E是PA的中点，求证： (1)PC∥平面EBD.(2)平面PBC⊥平面PCD. [证明]　如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 设DC＝a，PD＝b，则D(0,0,0)，C(a，0,0)，B(a，a,0)，P(0,0，b)，E. (1)＝，＝(a，a,0)． 设平面EBD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即令x＝1， 得n＝， 因为·n＝(a,0，－b)·＝0，所以⊥n，又PC⊄平面EBD，故PC∥平面EBD. (2)由题意得平面PDC的一个法向量为＝(0，a,0)， 又＝(a，a，－b)，＝(a,0，－b)， 设平面PBC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则即得y1＝0，令x1＝1，则z1＝， 所以m＝，因为·m＝(0，a,0)·＝0， 所以⊥m，即平面PBC⊥平面PCD. (1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量． (2)证明线面平行的方法 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线． 利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量． (3)证明面面平行的方法 转化为线线平行、线面平行处理． 证明这两个平面的法向量是共线向量． (4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直． (5)证明线面垂直的方法 证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量． 证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直． (6)证明面面垂直的方法 转化为证明线面垂直，证明两个平面的法向量互相垂直． [考点四]　直观想象、数学运算——利用空间向量求空间距离　 [例4]　如图所示，已知四边形ABCD、四边形EADM和四边形MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点，求： (1)与所成的角； (2)P点到平面EFB的距离； (3)异面直线PM与FQ的距离． [解]　如图，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，M(0,0，a)，E(a,0，a)，F(0，a，a)，则由中点坐标公式得P，Q. (1)＝，＝， 所以·＝×＋0＋×(－a)＝－a2，且||＝a，||＝a， 所以cos〈，〉＝＝＝－.所以与所成的角为150°. (2)设n＝(x，y，z)是平面EFB的单位法向量， 即|n|＝1，n⊥平面EFB，所以n⊥且n⊥. 又＝(－a，a,0)，＝(0，－a，a)， 所以得其中的一个解是 所以n＝. 又＝. 设所求距离为d，则d＝|·n|＝a. (3)设e＝(x1，y1，z1)是两异面直线的公垂线上的单位方向向量，则由＝，＝， 得求得其中的一个解e＝.而＝(0，a,0)，设所求距离为m，则m＝|·e|＝|－a|＝a. 1．空间距离有两点距、点线距、点面距、线线距、线面距和面面距六种情况，高考中以两点距与点面距为重点，而线面距、面面距通常可转化为点面距求解． 2．点面距主要利用平面法向量求解，有时也利用等体积转化法求解． [考点五]　直观想象、数学运算——利用空间向量求空间角　 [例5]　如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝2，点M，N分别在棱PD，PC上，且PC⊥平面AMN. (1)求AM与PD的夹角；(2)求平面PAM与平面NAM夹角的余弦值； (3)求直线CD与平面AMN夹角的余弦值． [解]　建立如图所示的空间直角坐标系． ∵A(0,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，B(2,0,0)，∴＝(2,2，－2) ＝(0,2，－2)． 设M(x1，y1，z1)，由＝λ， 得(x1，y1，z1－2)＝λ(0,2，－2)， ∴x1＝0，y1＝2λ，z1＝－2λ＋2， ∴M(0,2λ，2－2λ)． ∵PC⊥平面AMN，∴⊥，∴·＝0， ∴(2,2，－2)·(0,2λ，2－2λ)＝0⇒4λ－2(2－2λ)＝0， ∴λ＝，∴M(0,1,1)．设N(x2，y2，z2)， ∵＝t， ∴(x2，y2，z2－2)＝t(2,2，－2)， ∴x2＝2t，y2＝2t，z2＝－2t＋2，∴N(2t,2t,2－2t)． ∵⊥，∴·＝0， ∴(2t,2t,2－2t)·(2,2，－2)＝0， ∴4t＋4t－2(2－2t)＝0，∴t＝， ∴N. (1)∵cos 〈，〉＝＝0， ∴AM与PD的夹角为90°. (2)∵AB⊥平面PAD，PC⊥平面AMN， ∴，分别是平面PAD，平面AMN的法向量， ∴设平面PAM与平面NAM的夹角大小为θ，则其余弦值为cos θ ＝＝. (3)直线CD的方向向量＝＝(2,0,0)， 平面AMN的法向量＝(2,2，－2)，设直线CD与平面AMN夹角为φ，其正弦值为 sin φ＝＝. ∴直线CD与平面AMN夹角的余弦值为. 1．求异面直线的夹角 设两异面直线的方向向量分别为n1，n2，那么这两条异面直线的夹角为θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，∴cos θ＝|cos〈n1，n2〉|. 2．求面面的夹角 如图，设平面α，β的法向量分别为n1、n2.因为两平面的法向量的夹角(或其补角)就等于平面α、β的夹角θ，所以cos θ＝|cos〈n1，n2〉|. 3．求斜线与平面的夹角 如图，设平面α的法向量为n1，斜线OA的方向向量为n2，斜线OA与平面的夹角为θ，则sin θ＝|cos〈n1，n2〉|. 学科网（北京）股份有限公司 $$