3.3.2 抛物线的简单几何性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

3．3.2　抛物线的简单几何性质 课程标准 素养解读 1.掌握抛物线的几何性质 2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题 3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题 1.通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养 2．通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养 [情境引入] 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法y2＝2px(p>0)，你认为应研究抛物线的哪些几何性质，如何研究这些性质？ [知识梳理] [知识点一]　抛物线的几何性质　 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 性质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R 　y≥0，x∈R　 　y≤0，x∈R　 对称轴 　x轴　　 　y轴 顶点 　(0,0)　 离心率 e＝　1　 1.焦点到准线的距离是多少？ [提示]　焦点到准线的距离均为p. [知识点二]　焦点弦　 　直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝　x1＋x2＋p　. 2.抛物线y2＝2px(p>0)过焦点且垂直于对称轴的弦长是多少？ [提示]　抛物线y2＝2px(p>0)过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p. [知识点三]　直线与抛物线的位置关系　 　直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有　两　个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有　一　个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线　没有　公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的对称轴　平行或重合　，此时直线与抛物线有　一　个公共点． 3.直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？ [提示]　可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)抛物线关于顶点对称．( × ) (2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( √ ) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( √ ) (4)抛物线y＝－x2的准线方程为x＝.( × ) 2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　 ) A．x2＝16y　　　　　 B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y 解析：D　[顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.] 3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝(　　 ) A．10　　　 B．8 C．6　　 D．4 解析：B　[|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.] 　　　抛物线几何性质的应用 [例1]　(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为_________________________． (2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，求抛物线的标准方程． (1)[解析]　根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x. [答案]　y2＝3x或y2＝－3x (2)[解]　由已知得＝2，所以＝4，解得＝， 即渐近线方程为y＝±x.而抛物线准线方程为x＝－， 于是A，B， 从而△AOB的面积为·p·＝，可得p＝2. 因为抛物线开口向右，所以其标准方程为y2＝4x. 抛物线各元素间的关系 抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为. [变式训练] 1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　 ) A．y2＝x　　　　　 B．y2＝－x C．y2＝±x D．y2＝±x 解析：C　[设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C.] 　　　直线与抛物线的位置关系 [例2]　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点． [思路点拨]　直线与抛物线方程联立，根据“Δ”的正负判断． [解]　联立消去y，得 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*) 当k＝0时，(*)式只有一个解x＝，∴y＝1， ∴直线l与C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴． 当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)． ①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交； ②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切； ③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离． 综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点； 当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点； 当k>1时，l与C没有公共点． 直线与抛物线交点问题的解题思路 (1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数． (2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切． [变式训练] 2．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则 (　　) A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 解析：C　[∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过点(1,0)．又点(1,0)在抛物线y2＝2px的内部，∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．] 　　　与中点弦、焦点弦有关的问题 [例3]　(1)已知直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于不同两点A、B，若线段AB中点的纵坐标为2，则k等于(　　 ) A．－1　　　　 B．2或－1 C．2 D． (2)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9. ①求该抛物线的方程； ②O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值． [思路点拨]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，用点差法求kAB； (2)①设出直线方程，直线方程与抛物线方程联立，根据焦点弦长公式求解． ②根据①求出点A、B的坐标，设出点C的坐标，由＝＋λ，可用λ表示点C的坐标，最后根据点C在抛物线上求出λ值． [解]　(1)C　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 ①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)， 所以k＝＝＝＝2.] (2)①直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝， 由抛物线定义，得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x. ②由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)； 设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)， 又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2. 直线与抛物线相交的弦长问题 直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k. (1)一般的弦长公式：|AB|＝|x1－x2|. (2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p. (3)“中点弦”问题解题策略两种方法 [变式训练] 3．(1)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为　__________________　. (2)过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程． (1)解析：设抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ②－①整理得＝，又＝1，y1＋y2＝4，所以2p＝4.因此抛物线C的方程为y2＝4x. 答案：y2＝4x (2)解：法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝8x1，y＝8x2， ∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)． 又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，即＝4， ∴kAB＝4. ∴AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)， 即4x－y－15＝0. 法二：由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1. 联立消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0， 此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标． 由根与系数的关系得y1＋y2＝. 又y1＋y2＝2，∴k＝4. ∴AB所在直线的方程为4x－y－15＝0. 　　　抛物线的综合应用 [例4]　求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离． [解]　法一：设A(t，－t2)为抛物线上的点， 则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝ ＝＝ ＝＝2＋. 所以当t＝时，d有最小值. 法二：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0， 由 消去y得3x2－4x－m＝0， ∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－， 故最小距离为＝＝. 应用抛物线性质解题的常用技巧 (1)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化． (2)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值． [变式训练] 4.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上． (1)求抛物线的方程及其准线方程； (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值． 解：(1)由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由点P(1,2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2， 故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1. (2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补， 所以kPA＝－kPB，即＝－. 又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上， 所以x1＝，x2＝， 从而有＝－，即＝－， 得y1＋y2＝－4， 故直线AB的斜率kAB＝＝＝－1. [当堂达标] 1．(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为(　　 ) A．y2＝x　　　　　　 B．x2＝8y C．x2＝－8y D．y2＝－8x 解析：AC　[若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以(－2)2＝2p×4，解得p＝，所以抛物线的方程为y2＝x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以42＝－2p×(－2)，解得p＝4，所以抛物线的方程为x2＝－8y.故选AC.] 2．若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　 ) A. B. C. D． 解析：A　[线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.] 3．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是　________　. 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2＝y， 可得p＝. ∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，∴y1＋y2＝4－＝， 故AB的中点的纵坐标是＝. 答案： 4．已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程． 解：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点F，直线l的方程为y＝x－.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A1，B1， 则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝＋＝x1＋x2＋p＝6， ∴x1＋x2＝6－p.① 由消去y，得2＝2px， 即x2－3px＋＝0.∴x1＋x2＝3p， 代入①式得3p＝6－p，∴p＝. ∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x. 当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2＝－3x. 学科网（北京）股份有限公司 $$