2.3.3 点到直线的距离&2.3.4 两条平行直线间的距离-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

2．3　直线的交点坐标与距离公式 2．3.3　点到直线的距离 2．3.4　两条平行直线间的距离 第二章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课前 预习学案 01 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 　 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课程标准 素养解读 1.了解点到直线的距离公式的推导方法 2．掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用于求两条，平行线间的距离等问题 3．初步掌握用解析法研究几何问题 通过点到直线的距离、两条平行线间的距离公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养 [情境引入] 在公路附近有一家乡村饭馆，现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路．请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短？ 最容易想到的方法是什么？ 提示：铺设一条从饭馆到公路的垂直道路，道路的长度最短． [知识梳理] [知识点一]　点到直线的距离　 1．概念：过一点向直线作垂线，则该点与　垂足　之间的距离，就是该点到直线的距离． 2．公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝　eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))　. 1.在使用点到直线的距离公式时对直线方程有什么要求？ [提示]　要求直线的方程化为一般式． [知识点二]　两平行直线间的距离　 1．概念：夹在两条平行直线间的　公垂线段　的长度就是两条平行直线间的距离． 2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝　eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))　. 2.在应用两条平行线间的距离公式时对直线方程有什么要求？ [提示]　两条平行直线的方程都是一般式，且x, y对应的系数分别相等． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b.( × ) (2)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.( √ ) (3)两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为eq \f(|m－2n|,\r(2)).( √ ) 2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　) A．1　　　　　　　 B.eq \r(3) C．2 D．eq \r(5) 解析：D　[利用点到直线的距离公式可得，原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝eq \f(|0＋0－5|,\r(12＋22))＝eq \r(5).] 3．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为(　　) A．3 B．2 C．1 D．eq \f(1,2) 解析：C　[d＝eq \f(|－7－－12|,\r(32＋42))＝1.] 点到直线的距离 [例1]　求点P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(1,4)；(2)y＝6；(3)x＝4. [解]　(1)把方程y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(1,4)写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝eq \f(|3×3－4×－2＋1|,\r(32＋－42))＝eq \f(18,5). (2)法一：把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝eq \f(|0×3＋－2－6|,\r(02＋12))＝8. 法二：因为直线y＝6平行于x轴，所以d＝|6－(－2)|＝8. (3)因为直线x＝4平行于y轴，所以d＝|4－3|＝1. 　点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后套用点到直线的距离公式． (2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合． [变式训练] 1．求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1,0)的距离是eq \f(3\r(10),5)的直线l的方程． 解：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知， d＝eq \f(|3×－1－0＋m|,\r(32＋－12))＝eq \f(|m－3|,\r(10))＝eq \f(3\r(10),5). 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6，解得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 两条平行线间的距离 [例2]　已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程. [思路点拨]　由题设知l1∥l2，故l∥l1∥l2，设出l的方程，利用距离公式表示出d1，d2，进而求出直线方程． [解]　由直线l1，l2的方程知l1∥l2.又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)． 设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由两平行线间的距离公式，得d1＝eq \f(|m＋1|,\r(13))，d2＝eq \f(|m＋13|,\r(13))，又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，解得m＝－25或m＝－9. 故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0. 　求两条平行线间距离的方法 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝eq \f(|b1－b2|,\r(k2＋1))；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)). 但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等． [变式训练] 2．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程． 解：设与直线l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0， 根据两平行直线间的距离公式，得eq \f(|b－6|,\r(52＋－122))＝3， 解得b＝45或b＝－33. 所以所求直线方程为5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0. 距离公式的综合应用 [例3]　已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程． [思路点拨]　先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解． [解]　设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)． 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0，,x＋y＋1＝0，))得正方形的中心坐标为P(－1,0)， 由点P到两直线l，l1的距离相等，得eq \f(|－1－5|,\r(12＋32))＝eq \f(|－1＋c|,\r(12＋32))，得c＝7或c＝－5(舍去)． ∴l1：x＋3y＋7＝0. 又正方形另两边所在直线与l垂直， ∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴eq \f(|－3＋a|,\r(32＋－12))＝eq \f(|－1－5|,\r(12＋32))，得a＝9或a＝－3， ∴另两条边所在直线的方程分别为3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0. ∴另三边所在直线的方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0. 　距离公式综合应用的三种常用类型 (1)最值问题． ①利用对称转化为两点之间的距离问题． ②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离． ③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值． (2)求参数问题． 利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． (3)求方程的问题． 立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解． [变式训练] 3．求过点(3,5)的所有直线中，距原点最远的直线方程． 解：设过点(3,5)的直线方程为y－5＝k(x－3)或x＝3.对于y－5＝k(x－3)， 原点(0,0)到它的距离d＝eq \f(|3k－5|,\r(k2＋1))， 化简整理得(9－d2)k2－30k＋25－d2＝0. 当9－d2≠0时，因为k∈R，所以Δ＝(－30)2－4(9－d2)(25－d2)≥0，解得0≤d≤eq \r(34)(且d≠3)． 对于x＝3，原点到它的距离d＝3. 因此，过点(3,5)的所有直线与原点的距离d∈[0，eq \r(34)]． 故dmax＝eq \r(34)，当d＝eq \r(34)时，eq \f(|3k－5|,\r(k2＋1))＝eq \r(34)，解得k＝－eq \f(3,5).故所求直线方程为y－5＝－eq \f(3,5)(x－3)，即3x＋5y－34＝0. [当堂达标] 1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于(　　) A．7　　 B．5 C．3　　 D．2 解析：A　[直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7.] 2．(多选)到直线2x＋y＋1＝0的距离等于eq \f(\r(5),5)的直线方程可能为(　　) A．x＋2y＝0　　　　　 B．2x＋y－2＝0 C．2x＋y＝0 D．2x＋y＋2＝0 解析：CD　[因为所求直线与直线2x＋y＋1＝0的距离为eq \f(\r(5),5)，所以可得所求直线与已知直线平行， 设所求直线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，∴d＝eq \f(|c－1|,\r(22＋12))＝eq \f(\r(5),5)，解得c＝0或c＝2， 故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.故选CD.] 3．直线l过点(4,0)，若点(1,2)到直线l的距离为3，则直线l的方程为　________　. 解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时点(1,2)到直线l的距离为3，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0， 所以此时点(1,2)到直线l的距离为eq \f(|k－2－4k|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq \f(5,12)， 所以直线l的方程为eq \f(5,12)x－y－eq \f(5,3)＝0，即5x－12y－20＝0. 答案：直线l的方程为x＝4或5x－12y－20＝0 4．已知直线l经过点(－2,3)，且原点到直线l的距离等于2，求直线l的方程． 解：当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2. 当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，由d＝eq \f(|0－0＋2k＋3|,\r(1＋k2))＝2， 得k＝－eq \f(5,12)，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0. 综上可知，所求直线l的方程为x＝－2或5x＋12y－26＝0. $$