2.2.2 直线的两点式方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

2．2　直线的方程 2．2.2　直线的两点式方程 第二章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课前 预习学案 01 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 　 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课程标准 素养解读 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围 2．了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围 3．会用中点坐标公式求两点的中点坐标 1.通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学素养 2．通过直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学素养 [情境引入] 我们知道，在平面直角坐标系内确定一条直线的几何要素：点和倾斜角(斜率)，即已知直线上的一点和直线的斜率可以确定一条直线，或已知两点也可以确定一条直线．这样，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程．若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，你能否得出直线的方程呢？ [知识梳理] [知识点一]　直线的两点式方程　 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 两 点 式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 其中x1≠x2，y1≠y2 eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1) 斜率存在 且不为0 1.过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ [提示]　不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． [知识点二]　直线的截距式方程　 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 截 距 式 在x轴，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1 斜率存在且不为0，不过原点 2.方程eq \f(x,2)－eq \f(y,3)＝1和eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)＝－1都是直线的截距式方程吗？ [提示]　都不是直线的截距式方程．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1. [知识点三]　线段的中点坐标公式　 　若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2).)) [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)不经过原点的直线都可以用方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1表示．( × ) (2)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．( √ ) (3)能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．( √ ) (4)直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.( √ ) 2．过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是(　　) A.eq \f(x,3)＋eq \f(y,2)＝0　　　　 B.eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)＝0 C.eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)＝1 D．eq \f(x,2)－eq \f(y,3)＝1 解析：C　[由截距式得，所求直线的方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)＝1.] 3．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为　________　. 解析：直线方程为eq \f(y－9,1－9)＝eq \f(x－3,－1－3)，化为截距式为eq \f(x,－\f(3,2))＋eq \f(y,3)＝1，则在x轴上的截距为－eq \f(3,2). 答案：－eq \f(3,2) 直线的两点式方程 [例1]　已知三角形的三个顶点A(－4,0)，B(0，－3)，C(－2，1)，求： (1)BC边所在的直线方程； (2)BC边上中线所在的直线方程． [思路点拨]　已知直线上两个点的坐标，可以利用两点式写出直线的方程． [解]　(1)直线BC过点B(0，－3)，C(－2,1)，由两点式方程得eq \f(y＋3,1＋3)＝eq \f(x－0,－2－0)，化简得2x＋y＋3＝0. (2)由中点坐标公式，得BC的中点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0－2,2)，\f(－3＋1,2)))，即D(－1，－1)． 又直线AD过点A(－4,0)，由两点式方程得eq \f(y＋1,0＋1)＝eq \f(x＋1,－4＋1)，化简得x＋3y＋4＝0. 　两点式方程的应用 用两点式方程写出直线的方程时，要特别注意横坐标相等或纵坐标相等时，不能用两点式．已知直线上的两点坐标，也可先求出斜率，再利用点斜式写出直线方程． [变式训练] 1．已知A(1,2)，B(－1,4)，C(5,2)． ①求线段AB中点D的坐标； ②求△ABC的边AB上的中线所在的直线方程． 解：①因为A(1,2)，B(－1,4)，所以线段AB中点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－1,2)，\f(2＋4,2)))，即D(0,3)． ②△ABC的边AB上的中线即线段CD，因为C(5,2)，D(0,3)，所以线段CD所在的直线方程为eq \f(y－3,2－3)＝eq \f(x－0,5－0)，化简可得x＋5y－15＝0. 　直线的截距式方程 [例2]　求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程． [思路点拨] [解]　法一：设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b. ①当a≠0，b≠0时，设l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1. ∵点(4，－3)在直线上，∴eq \f(4,a)＋eq \f(－3,b)＝1， 若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y－1＝0. 若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y－7＝0. ②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x＋4y＝0. 综上可知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0. 法二：设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)， 令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝eq \f(4k＋3,k). ∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k－3|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4k＋3,k)))，解得k＝1或k＝－1或k＝－eq \f(3,4).∴所求直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0. 　截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式方程的逆向应用． [变式训练] 2．求过点A(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程． 解：由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，直线l的方程为y＝eq \f(2,5)x； 当直线l在坐标轴上的截距不为零时，设直线l的方程为eq \f(x,2a)＋eq \f(y,a)＝1， 将点(5,2)的坐标代入方程得eq \f(5,2a)＋eq \f(2,a)＝1，解得a＝eq \f(9,2)， 所以直线l的方程为x＋2y－9＝0. 综上可知，所求直线l的方程为y＝eq \f(2,5)x或x＋2y－9＝0. 直线方程的灵活运用 [例3]　已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中， (1)求BC边的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． [思路点拨] (1)B，C两点坐标eq \o(――→,\s\up17(两点式))求方程 (2)求中点坐标eq \o(――→,\s\up17(两点式))求直线方程 [解]　(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得eq \f(y－－4,－2－－4)＝eq \f(x－5,0－5)，即2x＋5y＋10＝0，故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)． (2)设BC的中点为M(a，b)， 则a＝eq \f(5＋0,2)＝eq \f(5,2)，b＝eq \f(－4＋－2,2)＝－3，所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－3))，又BC边的中线过点A(－3,2)， 所以eq \f(y－2,－3－2)＝eq \f(x－－3,\f(5,2)－－3)，即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 　直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式方程，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是其与坐标轴的交点，就用截距式方程． (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． [变式训练] 3．已知直线l经过点(1,6)和点(8，－8)． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形的面积． 解：(1)由已知得直线l的两点式方程为eq \f(y－6,－8－6)＝eq \f(x－1,8－1)，所以eq \f(y－6,－14)＝eq \f(x－1,7)，即eq \f(y－6,－2)＝x－1， 所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8.所以eq \f(x,4)＋eq \f(y,8)＝1. 故所求截距式方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,8)＝1. (2)如图，直线l与两坐标轴围成的图形是直角三角形AOB，且OA⊥OB，|OA|＝4，|OB|＝8， 故S△AOB＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)×4×8＝16. [当堂达标] 1．在x轴，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是(　　 ) A.eq \f(x,－3)＋eq \f(y,4)＝1　　 B.eq \f(x,3)＋eq \f(y,－4)＝1 C.eq \f(x,－3)－eq \f(y,4)＝1 D．eq \f(x,4)＋eq \f(y,－3)＝1 解析：A　[利用截距式求直线方程得eq \f(x,－3)＋eq \f(y,4)＝1.] 2．直线l经过点P(4，－3)，在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a，b满足logab＝2，则直线l的斜率为(　　) A．2 B．－1 C．－3 D．－1或－3 解析：C　[由题意知ab≠0，可设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，则eq \f(4,a)＋eq \f(－3,b)＝1①，又logab＝2，∴b＝a2②. 由①②解得a＝3，b＝9或a＝1，b＝1. 又由logab＝2知a＞0，a≠1，b＞0， 则a＝3，b＝9，则直线l的斜率为－eq \f(b,a)＝－3.] 3．经过A(1,2)，B(3,4)两点的直线方程是　___________　. 解析：直线方程为eq \f(x－1,3－1)＝eq \f(y－2,4－2)，即x－y＋1＝0. 答案：x－y＋1＝0 4．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程． 解：设直线方程的截距式为eq \f(x,a＋1)＋eq \f(y,a)＝1，则eq \f(6,a＋1)＋eq \f(－2,a)＝1，解得a＝2或a＝1， 则直线方程是eq \f(x,2＋1)＋eq \f(y,2)＝1或eq \f(x,1＋1)＋eq \f(y,1)＝1， 即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0. $$