2.2.2 直线的两点式方程(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2.2.2　直线的两点式方程 1.经过下列两点的直线可以用两点式方程表示的是（　　） A.（1，2），（－3，2） B.（3，2），（3，－4） C.（1，2），（－3，4） D.（3，5），（－3，5） 2.直线3x－2y＝6在x轴，y轴上的截距分别为（　　） A.3，－2 B.2，3 C.－2，3 D.2，－3 3.（2025·湛江月考）已知△ABC的三个顶点分别为A（2，8），B（－4，0），C（6，0），则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为（　　） A.2x－y＋4＝0 B.x＋2y＋4＝0 C.2x＋y－4＝0 D.x－2y＋4＝0 4.已知直线过点（2，1），且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为（　　） A.2x＋y－5＝0 B.x＋2y－4＝0 C.x－2y＝0或x＋2y－4＝0 D.x－2y＝0或2x＋y－5＝0 5.（2025·滨州月考）两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是（　　） 6.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示 B.若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为（4，1），则直线l的方程为＋＝1 C.在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程x＋y＝a（a∈R）表示 D.直线3x－2y＝4的截距式方程为＋＝1 7.〔多选〕光线自点（2，4）射入，经y轴反射后经过点（5，0），则下列选项中反射光线所在的直线经过的点有（　　） A.（－9，8） B.（3，1） C.（7，－1） D.（12，－4） 8.已知直线3x＋4y＝b与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数b＝　　　　. 9.某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）与行李重量x（kg）的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为　　　　kg. 10.（2025·日照月考）求满足下列条件的直线方程： （1）在△ABC中，已知A（1，－4），B（6，6），C（－2，0），求△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式； （2）经过点（2，1），且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程. 11.（2025·广州期中）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点坐标为A（0，0），B（0，4），C（4，4），则△ABC欧拉线的方程为（　　） A.x＋y－4＝0 B.x－y＋4＝0 C.x＋y＋4＝0 D.x－y－4＝0 12.〔多选〕直线l经过点A（1，2），在x轴上的截距的取值范围是（－3，3），则其斜率的取值范围可以是（　　） A.（－1，） B.（－∞，－1） C.（，＋∞） D.（，＋∞） 13.已知A（3，0），B（0，4），直线AB上一动点P（x，y），则xy的最大值是　　　　. 14.在△ABC中，A（4，2），B，C两点分别在x轴与y轴上，且直线AB在y轴上的截距为1，直线AC的倾斜角为45°.求： （1）直线AB，AC的方程； （2）△ABC的面积S. 15.如图，某小区内有一块荒地ABCDE，已知BC＝210 m，CD＝240 m，DE＝300 m，EA＝180 m，AE∥CD，BC∥DE，C＝90°，今欲在该荒地上划出一块长方形地面（不改变方位）进行开发.问如何设计才能使开发的面积最大？最大开发面积是多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.2　直线的两点式方程 1.C　当直线经过两点P1（x1，y1）， P2（x2，y2）的坐标满足x1≠x2，y1≠y2时，直线可以用两点式方程＝表示. 2.D　由直线3x－2y＝6得截距式方程为＋＝1，所以直线在x轴，y轴上的截距分别为2，－3. 3.D　由A（2，8），C（6，0），得AC的中点坐标为D（4，4），则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D（4，4），则所求直线方程为＝，即x－2y＋4＝0. 4.C　当截距为0时，设直线的方程为y＝kx，因为直线过点（2，1），所以1＝2k，即k＝，则直线的方程为y＝x，即x－2y＝0；当截距不为0时，设直线的方程为＋＝1，因为直线过点（2，1），所以＋＝1，则a＝2，所以直线的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0.综上，直线的方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0. 5.A　将两方程化为截距式l1：＋＝1，l2：＋＝1.假定l1的位置，判断a，b的正负，从而确定l2的位置，知A项符合. 6.BD　与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错误；因为线段AB的中点为（4，1），所以直线l过点（8，0），（0，2），所以直线l的方程为＋＝1，故B正确；直线x－y＝0在两坐标轴上的截距相等，但不能用x＋y＝a（a∈R）表示，故C错误；方程3x－2y＝4可化为＋＝1，故D正确.故选B、D. 7.AD　点（2，4）关于y轴的对称点为（－2，4），则反射光线所在的直线经过点（－2，4）和点（5，0），则反射光线所在直线的方程为＝，即4x＋7y－20＝0.将四个选项中的点的坐标分别代入直线方程进行验证可知A、D选项符合题意. 8.±6　解析：方程3x＋4y＝b，令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝.故与坐标轴围成的三角形的面积为S＝×｜｜×｜｜＝，解得b＝±6. 9.30　解析：由题图知点A（60，6），B（80，10），由直线方程的两点式，得直线AB的方程是＝，即y＝x－6.依题意，令y＝0，得x＝30，即旅客最多可免费携带30 kg行李. 10.解：（1）平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线. 因为线段AB，AC的中点坐标分别为（，1），（－，－2），所以平行于BC边的中位线所在直线的方程为＝，整理得，6x－8y－13＝0，化为截距式方程为＋＝1. （2）由题意设直线方程为＋＝1或＋＝1，把点（2，1）代入直线方程得＋＝1或＋＝1，解得a＝3或a＝1，所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，即x＋y－3＝0或x－y－1＝0. 11.A　由A（0，0），B（0，4），C（4，4），得AB⊥BC，则Rt△ABC的垂心为B（0，4），外心为（2，2），所以△ABC欧拉线的方程为＝，即x＋y－4＝0. 12.BD　设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B（3，0）时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C（－3，0）时，直线l在x轴的截距为－3，此时k＝，满足条件的直线l的斜率范围是（－∞，－1）∪（，＋∞）. 13.3　解析：直线AB的方程为＋＝1，P（x，y）在直线AB上，则x＝3－y，∴xy＝3y－y2＝（－y2＋4y）＝[－（y－2）2＋4]≤3.即当P点坐标为（，2）时，xy取得最大值3. 14.解：（1）因为直线AB在y轴上的截距为1， 所以其过点D（0，1）， 所以直线AB的方程为＝，化简得y＝x＋1. 由已知得直线AC的斜率为k＝tan 45°＝1， 所以直线AC的方程为y－2＝x－4， 化简得y＝x－2. （2）由（1）知，直线AB的方程为y＝x＋1， 令y＝0，得x＝－4，故B（－4，0）. 直线AC的方程为y＝x－2， 令x＝0，得y＝－2，故C（0，－2）， 所以△ABC的面积S＝S△ACD＋S△BCD＝｜CD｜×4＋｜CD｜×4＝4｜CD｜＝12. 15.解：以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图），由已知可得A（0，60），B（90，0），所以AB所在直线的方程为＋＝1，即y＝60（1－）.所以y＝60－x.从而可设P（x，60－x），其中0≤x≤90，所以所开发部分的面积为S＝（300－x）（240－y）. 故S＝（300－x）（240－60＋x） ＝－x2＋20x＋54 000（0≤x≤90）， 所以当x＝－＝15， 且y＝60－×15＝50时，S取最大值为（300－15）×（240－50）＝54 150（m2）. 因此点P距AE 15 m，距BC 50 m时所开发的面积最大，最大开发面积为54 150 m2. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $