1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

1．3　空间向量及其运算的坐标表示 1．3.2　空间向量运算的坐标表示 第一章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课前 预习学案 01 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 　 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课程标准 素养解读 1.学会空间直角坐标系的建立方法，掌握空间向量的坐标表示 2．会判断两向量平行或垂直 3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式 1.会判断两向量平行或垂直；培养数学抽象、直观想象的素养 2．通过空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式的应用达到培养数学运算的素养 [情境引入] 我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法…….” 吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算． [知识梳理] [知识点一]　空间向量的坐标运算　 　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝　(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)　 减法 a－b＝　(a1－b1，a2－b2，a3－b3)　 数乘 λa＝　(λa1，λa2，λa3)，λ∈R　 数量积 a·b＝　a1b1＋a2b2＋a3b3　 1.若向量eq \o(AB,\s\up16(→))＝(x，y，z)，则点B的坐标是(x，y，z)吗？ [提示]　不一定．A点与原点重合是，不与原点重合则不是． [知识点二]　空间向量的平行与垂直　 　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb ⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(　a1＝λb1　,　a2＝λb2　,　a3＝λb3　))(λ∈R) 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔　a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　(a，b均为非零向量) 2.已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，能否用eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)表示a∥b的条件？为什么？ [提示]　不能．无法保证b1b2b3≠0，故不能用eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)表示a∥b的条件． [知识点三]　空间向量的夹角与长度问题　 　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 模 |a|＝eq \r(a·a)＝　eq \r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))　 夹角 公式 cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|·|b|) ＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))) [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)对空间任意的两个向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a·b>0，则〈a，b〉为锐角．( × ) (2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，则a∥b⇒eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)＝eq \f(z1,z2).( × ) (3)若四边形ABCD是平行四边形，则向量eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(DC,\s\up16(→))的坐标相同．( √ ) (4)设A(0,1，－1)，O为坐标原点，则eq \o(OA,\s\up16(→))＝(0,1，－1)．( √ ) 2．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝10 D．|a|＝6 解析：D　[a＋b＝(10，－5，－2)，A错误；a－b＝(－2,1，－6)，B错误；a·b＝4×6＋(－2)×(－3)＋(－4)×2＝22，C错误；|a|＝eq \r(42＋－22＋42)＝6，故选D.] 3．已知a＝(1，－2,4)，b＝(－2,4，x)． (1)当a⊥b时，x＝　____________　. (2)当a∥b时，x＝　____________　. 解析：(1)由a·b＝－2－8＋4x＝0，得x＝eq \f(5,2). (2)由a∥b得eq \f(1,－2)＝eq \f(－2,4)＝eq \f(4,x)，解得x＝－8. 答案：(1)eq \f(5,2)　(2)－8 空间向量的坐标运算 [例1]　已知在空间直角坐标系中，A(1，－2,4)，B(－2，3,0)，C(2，－2，－5)． (1)求eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))，eq \o(CB,\s\up16(→))－2eq \o(BA,\s\up16(→))，eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→)). (2)若点M满足eq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(3,4) eq \o(AC,\s\up16(→))，求点M的坐标； (3)若p＝eq \o(CA,\s\up16(→))，q＝eq \o(CB,\s\up16(→))，求(p＋q)·(p－q)． [思路点拨]　先由点的坐标求出各个向量的坐标，再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解． 解：(1)因为A(1，－2,4)，B(－2,3,0)，C(2，－2，－5)，所以eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－3,5，－4)，eq \o(CA,\s\up16(→))＝(－1,0,9)． 所以eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))＝(－4,5,5)，又eq \o(CB,\s\up16(→))＝(－4,5,5)，eq \o(BA,\s\up16(→))＝(3，－5，4)，所以eq \o(CB,\s\up16(→))－2eq \o(BA,\s\up16(→))＝(－10,15，－3)，又eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－3,5，－4)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(1,0，－9)，所以eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝－3＋0＋36＝33. (2)由(1)知，eq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(3,4) eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(－3,5，－4)＋eq \f(3,4)(1,0，－9)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(5,2)，－\f(35,4)))， 若设M(x，y，z)，则eq \o(AM,\s\up16(→))＝(x－1，y＋2，z－4)， 于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1＝－\f(3,4)，,y＋2＝\f(5,2)，,z－4＝－\f(35,4)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4)，,y＝\f(1,2)，,z＝－\f(19,4)，)) 故Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)，－\f(19,4))). (3)由(1)知，p＝eq \o(CA,\s\up16(→))＝(－1,0,9)，q＝eq \o(CB,\s\up16(→))＝(－4,5,5)． (方法1)(p＋q)·(p－q)＝|p|2－|q|2＝82－66＝16. (方法2)p＋q＝(－5,5,14)，p－q＝(3，－5,4)，所以(p＋q)·(p－q)＝－15－25＋56＝16. 空间向量的坐标运算注意以下几点： (1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标． (2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键． (3)运用公式可以简化运算：(a ± b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2 [变式训练] 1．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)．求： (1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；(4)2a·(－b)； (5)(a＋b)·(a－b)． 解：(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4) ＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)． (2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4) ＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)． (3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7. (4)∵2a＝(4，－2，－4)， ∴2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4) ＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14. (5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2 ＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8. 利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题 [例2]　已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)．设a＝eq \o(AB,\s\up16(→))，b＝eq \o(AC,\s\up16(→)). (1)若|c|＝3，c∥eq \o(BC,\s\up16(→))，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. [思路点拨]　(1)根据c∥eq \o(BC,\s\up16(→))，设c＝λeq \o(BC,\s\up16(→))，则向量c的坐标可用λ表示，再利用|c|＝3求λ值； (2)把ka＋b与ka－2b用坐标表示出来，再根据数量积为0求解． 解：(1)∵eq \o(BC,\s\up16(→))＝(－2，－1,2)且c∥eq \o(BC,\s\up16(→))， ∴设c＝λeq \o(BC,\s\up16(→))＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)． ∴|c|＝eq \r(－2λ2＋－λ2＋2λ2)＝3|λ|＝3. 解得λ＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)． (2)∵a＝eq \o(AB,\s\up16(→))＝(1,1,0)，b＝eq \o(AC,\s\up16(→))＝(－1,0,2)， ∴ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． ∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0， 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，解得k＝2或k＝－eq \f(5,2). 向量平行与垂直问题主要有两种题型： (1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用．解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的． [变式训练] 2．已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)． (1)若a∥b，分别求λ与m的值； (2)若|a|＝eq \r(5)，且a与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a. 解：(1)由a∥b，得 (λ＋1,1,2λ)＝k(6,2m－1,2)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＋1＝6k，,1＝k2m－1，,2λ＝2k，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝k＝\f(1,5)，,m＝3.))∴实数λ＝eq \f(1,5)，m＝3. (2)∵|a|＝eq \r(5)，且a⊥c， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＋12＋12＋2λ2＝5，,λ＋1，1，2λ·2，－2λ，－λ＝0，)) 化简，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5λ2＋2λ＝3，,2－2λ2＝0，))解得λ＝－1.因此，a＝(0,1，－2)． 空间向量夹角与长度的计算 [例3]　如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝eq \f(1,4)CD，H为C1G的中点． (1)求证EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值； (3)求FH的长． [思路点拨]　根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，利用数量积、夹角、模长公式计算即可． [解]　(1)证明：如图所示，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D­xyz，易知Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))， C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)， Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)，0))，Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,8)，\f(1,2))). ∵eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))， eq \o(B1C,\s\up16(→))＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)， ∴eq \o(EF,\s\up16(→))·eq \o(B1C,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)×(－1)＋eq \f(1,2)×0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×(－1)＝0， ∴eq \o(EF,\s\up16(→))⊥eq \o(B1C,\s\up16(→))，即EF⊥B1C. (2)由(1)易知eq \o(C1G,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)，0))－(0,1,1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4)，－1))， eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))， ∴|eq \o(C1G,\s\up16(→))|＝eq \f(\r(17),4)，|eq \o(EF,\s\up16(→))|＝eq \f(\r(3),2)， eq \o(EF,\s\up16(→))·eq \o(C1G,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)×0＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×(－1)＝eq \f(3,8)， ∴cos〈eq \o(EF,\s\up16(→))，eq \o(C1G,\s\up16(→))〉＝eq \f(\o(EF,\s\up16(→))·\o(C1G,\s\up16(→)),|\o(EF,\s\up16(→))||\o(C1G,\s\up16(→))|)＝eq \f(\r(51),17)， 即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为eq \f(\r(51),17). (3)由(1)知Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,8)，\f(1,2)))， ∴eq \o(FH,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,8)，\f(1,2)))， ∴|eq \o(FH,\s\up16(→))|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq \f(\r(41),8). 即FH的长为eq \f(\r(41),8). 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题． [变式训练] 3.如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点． (1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD； (2)求MN的长； (3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值． 解：(1)证明：设eq \o(AB,\s\up16(→))＝p，eq \o(AC,\s\up16(→))＝q，eq \o(AD,\s\up16(→))＝r. 由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60°. eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \o(AN,\s\up16(→))－eq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→)))－eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(q＋r－p)， ∴eq \o(MN,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(q＋r－p)·p＝eq \f(1,2)(q·p＋r·p－p2) ＝eq \f(1,2)(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. ∴eq \o(MN,\s\up16(→))⊥eq \o(AB,\s\up16(→))，即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD. (2)由(1)可知eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(q＋r－p) ∴|MN|2＝|eq \o(MN,\s\up16(→))|2＝eq \f(1,4)(q＋r－p)2 ＝eq \f(1,4)[q2＋r2＋p2＋2(p·r－p·q－r·p)] ＝eq \f(1,4) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2＋a2＋a2＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,2)－\f(a2,2)－\f(a2,2))))) ＝eq \f(1,4)×2a2＝eq \f(a2,2). ∴|eq \o(MN,\s\up16(→))|＝eq \f(\r(2),2)a，∴MN的长为eq \f(\r(2),2)a.] (3)设向量eq \o(AN,\s\up16(→))与eq \o(MC,\s\up16(→))的夹角为θ. ∵eq \o(AN,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)(q＋r), eq \o(MC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AM,\s\up16(→))＝q－eq \f(1,2)p， ∴eq \o(AN,\s\up16(→))·eq \o(MC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(q＋r)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q－\f(1,2)p)) ＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q2－\f(1,2)q·p＋r·q－\f(1,2)r·p)) ＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－\f(1,2)a2cos 60°＋a2cos 60°－\f(1,2)a2cos 60°)) ＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－\f(a2,4)＋\f(a2,2)－\f(a2,4)))＝eq \f(a2,2). 又∵|eq \o(AN,\s\up16(→))|＝|eq \o(MC,\s\up16(→))|＝eq \f(\r(3),2)a， ∴eq \o(AN,\s\up16(→))·eq \o(MC,\s\up16(→))＝|eq \o(AN,\s\up16(→))|·|eq \o(MC,\s\up16(→))|cos θ＝eq \f(\r(3),2)a×eq \f(\r(3),2)a×cos θ＝eq \f(a2,2). ∴cos θ＝eq \f(2,3).∴向量eq \o(AN,\s\up16(→))与eq \o(MC,\s\up16(→))的夹角的余弦值为eq \f(2,3)，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为eq \f(2,3). [当堂达标] 1．已知空间中有三点A(1，－1,2)，B(3,0，－1)，C(2,3，－3)，则向量eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(CB,\s\up16(→))的夹角为(　　) A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6) 解析：C　[由已知可得eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2,1，－3)， eq \o(CB,\s\up16(→))＝(1，－3,2)， 所以cos〈eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(CB,\s\up16(→))〉＝eq \f(\o(AB,\s\up16(→))·\o(CB,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))||\o(CB,\s\up16(→))|) ＝eq \f(－7,\r(14)×\r(14))＝－eq \f(1,2). 又〈eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(CB,\s\up16(→))〉∈[0，π]，所以〈eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(CB,\s\up16(→))〉＝eq \f(2π,3).] 2．(多选)已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　) A．x＝eq \f(1,3)　　　　　 B．x＝eq \f(1,2) C．y＝－eq \f(1,4) D．y＝－4 解析：BD　[因为a＋2b＝(1＋2x,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，所以3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，所以x＝eq \f(1,2)，y＝－4.] 3．若a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为　________　. 解析：a·b＝2×(－2)＋3×1＋(－1)×3＝－4，|a|＝eq \r(14)，|b|＝eq \r(14)， ∴cos〈a，b〉＝eq \f(－4,\r(14)×\r(14))＝－eq \f(2,7). ∴sin〈a，b〉＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,7)))2)＝eq \f(3\r(5),7). 因此以a，b为邻边的平行四边形的面积为 |a||b|sin〈a，b〉＝eq \r(14)×eq \r(14)×eq \f(3\r(5),7)＝6eq \r(5). 答案：6eq \r(5) 4．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k的值； (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k的值． 解：ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)， a－3b＝(7，－4，－16)． (1)因为(ka＋b)∥(a－3b)，所以eq \f(k－2,7)＝eq \f(5k＋3,－4)＝eq \f(－k＋5,－16)，解得k＝－eq \f(1,3). (2)因为(ka＋b)⊥(a－3b)，所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0， 解得k＝eq \f(106,3). $$