分段函数单调性的三维约束破解 解透一题系列讲义-2026届高三数学一轮复习

第9题 分段函数单调性的三维约束破解（解透一题） 【2025年7月西城区高二数学期末考试T10】 若函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A．  B．  C．    D． 本题考查分段函数的单调性，核心是结合导数与函数单调性的关系（单调递增则导数非负）及分段点处的函数值大小关系（左段极限不超过右段函数值），考查分类讨论、逻辑推理与数学运算能力. 高考中分段函数单调性问题要求分析分段函数在定义域内的单调性，结合导数、函数连续性等知识.本题是高考经典题型的变式，强化对“分段函数单调性本质（各段单调且分段点处满足大小关系）”的理解，这类题的核心逻辑是：分段函数单调递增（减）⇨ 每一段单调递增（减）且分段点处左函数值≤（≥）右函数值，高考以此考查学生对函数单调性的本质理解与工具（导数）的灵活应用. 人教A版教材对分段函数定义、函数单调性的定义（区间内任意）、导数与单调性的关系（可导函数单调递增则导数非负）有详细阐述，本题是教材知识点的综合应用. 思路分析：若分段函数，在区间上单调递增，需满足：1. 各分段区间内单调递增；2.分段点处左段极限≤右段函数值.而每一段的单调性研究方法可以选用定义法（基础）、导数法（高效）、复合函数法.而判断则可以数形结合，通过图像观察趋势.              解法1：导数法 当时，， 则在时恒成立， 则与共零点，（关键：当两个连续函数的乘积在某区间恒成立（≥0或≤0）时，它们在该区间内的零点必完全重合（共零点）.这是保证乘积符号一致的必要条件.） 故，解得，即， 当时，， 则在时恒成立，则， 由在区间上单调递增，则，解得， 综上可得. 故选：B. 【方法点评】利用导数判断函数的单调性较为高效，能够快速确定参数的范围.需要掌握导数的性质和零点重合的技巧，对基础要求较高 解法2：单调性定义+导数判断+图象判断 解析：根据函数单调递增的定义，对任意都有 （1）当时， 在上单调递增， 则在时恒成立， 当时，，要，需（负负得正），即. 因时，故（上确界为1，当时）. 当时，，要，需（正正得正），即. 因时，故（下确界为1，当时）. 结合以上两点，需同时满足和，故. （2）当时： 在上单调递增， 此时为二次函数，开口向上，对称轴为. 要使其在单调递增，需对称轴，即. （3）当时，需满足，即（因时的上界为，时的下界为）. 计算得，，由解得 综上： ，对应选项B. 【方法点评】结合了单调性定义、导数和图像判断，逻辑严密，解释详细.通过定义和图像判断，易于理解，适合初学者.但步骤较多，计算量大，较为繁琐. 解法3：二次函数与指数函数单调性结合 时，单调递增需且对称轴； 时，导数恒成立，推导得，代入对称轴条件得； 分段点处得. 综上，范围为，选B. 【方法点评】综合性强，结合了二次函数和指数函数的单调性，思路清晰步骤简洁，计算量适中. 若 f(x)g(x)≥0（或 ≤0）在区间I 上恒成立，且f(x)，g(x) 在I 上连续，则)f(x) 与 g(x) 在 I 内的零点完全相同（共零点）.方法源自2024年新高考2卷第8题．设函数，若，则的最小值. 关于分段函数每段的判断，导数法：高效简洁，但技巧性强，适用于可导函数.单调性定义全面易懂，但步骤繁琐，适用于各类函数.图象判断适用于特定类型函数. "分段函数单调性是高考永恒的压轴点，其核心矛盾在于：局部分段简单，全局衔接复杂.破题关键在于用'三条件'建立统一约束框架. 【基础巩固型变式】——保持结构，调整参数位置（目标：夯实基本方法） 1．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【能力提升型变式】——改变函数类型，拓展思维（目标：适应不同函数的导数处理） 2．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 溯源高考真题（关联高考）含参讨论型（2024·新高考Ⅰ卷第6题） 3．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知是上的增函数，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知是上的减函数，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9题 分段函数单调性的三维约束破解（解透一题） 【2025年7月西城区高二数学期末考试T10】 若函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A．  B．  C．    D． 本题考查分段函数的单调性，核心是结合导数与函数单调性的关系（单调递增则导数非负）及分段点处的函数值大小关系（左段极限不超过右段函数值），考查分类讨论、逻辑推理与数学运算能力. 高考中分段函数单调性问题要求分析分段函数在定义域内的单调性，结合导数、函数连续性等知识.本题是高考经典题型的变式，强化对“分段函数单调性本质（各段单调且分段点处满足大小关系）”的理解，这类题的核心逻辑是：分段函数单调递增（减）⇨ 每一段单调递增（减）且分段点处左函数值≤（≥）右函数值，高考以此考查学生对函数单调性的本质理解与工具（导数）的灵活应用. 人教A版教材对分段函数定义、函数单调性的定义（区间内任意）、导数与单调性的关系（可导函数单调递增则导数非负）有详细阐述，本题是教材知识点的综合应用. 思路分析：若分段函数，在区间上单调递增，需满足：1. 各分段区间内单调递增；2.分段点处左段极限≤右段函数值.而每一段的单调性研究方法可以选用定义法（基础）、导数法（高效）、复合函数法.而判断则可以数形结合，通过图像观察趋势.              解法1：导数法 当时，， 则在时恒成立， 则与共零点，（关键：当两个连续函数的乘积在某区间恒成立（≥0或≤0）时，它们在该区间内的零点必完全重合（共零点）.这是保证乘积符号一致的必要条件.） 故，解得，即， 当时，， 则在时恒成立，则， 由在区间上单调递增，则，解得， 综上可得. 故选：B. 【方法点评】利用导数判断函数的单调性较为高效，能够快速确定参数的范围.需要掌握导数的性质和零点重合的技巧，对基础要求较高 解法2：单调性定义+导数判断+图象判断 解析：根据函数单调递增的定义，对任意都有 （1）当时， 在上单调递增， 则在时恒成立， 当时，，要，需（负负得正），即. 因时，故（上确界为1，当时）. 当时，，要，需（正正得正），即. 因时，故（下确界为1，当时）. 结合以上两点，需同时满足和，故. （2）当时： 在上单调递增， 此时为二次函数，开口向上，对称轴为. 要使其在单调递增，需对称轴，即. （3）当时，需满足，即（因时的上界为，时的下界为）. 计算得，，由解得 综上： ，对应选项B. 【方法点评】结合了单调性定义、导数和图像判断，逻辑严密，解释详细.通过定义和图像判断，易于理解，适合初学者.但步骤较多，计算量大，较为繁琐. 解法3：二次函数与指数函数单调性结合 时，单调递增需且对称轴； 时，导数恒成立，推导得，代入对称轴条件得； 分段点处得. 综上，范围为，选B. 【方法点评】综合性强，结合了二次函数和指数函数的单调性，思路清晰步骤简洁，计算量适中. 若 f(x)g(x)≥0（或 ≤0）在区间I 上恒成立，且f(x)，g(x) 在I 上连续，则)f(x) 与 g(x) 在 I 内的零点完全相同（共零点）.方法源自2024年新高考2卷第8题．设函数，若，则的最小值. 关于分段函数每段的判断，导数法：高效简洁，但技巧性强，适用于可导函数.单调性定义全面易懂，但步骤繁琐，适用于各类函数.图象判断适用于特定类型函数. "分段函数单调性是高考永恒的压轴点，其核心矛盾在于：局部分段简单，全局衔接复杂.破题关键在于用'三条件'建立统一约束框架. 【基础巩固型变式】——保持结构，调整参数位置（目标：夯实基本方法） 1．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由分段函数在上单调递增可得各段函数在其定义域上单调递增，即各段函数的导数在其定义域上大于等于0恒成立，再结合左段终点不高于右段起点，可求出实数的取值范围. 【详解】当时，求导得， 函数单调递增要求对所有成立， 当时，，需，即， 因为时，故； 当时，，需，即， 因时，故； 综上，时的范围为. 当时，求导得， 函数单调递增要求对所有成立，即， 因，在时最小值为， 故需，即. 分段点处，左函数值，右函数值， 单调递增要求（左段终点不高于右段起点），即： ，解得. 综上，当时，. 故答案为：. 【能力提升型变式】——改变函数类型，拓展思维（目标：适应不同函数的导数处理） 2．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】先利用导数分段由单调性确定实数的取值范围，再注意间断点处函数值的大小关系. 【详解】当时，求导得. 函数单调递增要求，即. 因，且，故恒成立 当时，求导得. 单调递增要求，即. 因，，故. 且，即：． 综上. 故答案为： 溯源高考真题（关联高考）含参讨论型（2024·新高考Ⅰ卷第6题） 3．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 4．已知是上的增函数，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数为增函数列不等式组，即可解得. 【详解】因为是上的增函数， 所以，解得：. 故选：D 5．已知是上的减函数，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由在上单调递减，确定，以及的范围，再根据单调递减确定在分段点处两个值的大小，从而解决问题. 【详解】解：由题意得： 是上的减函数 解得： 故 a的取值范围是 故选：C 6．已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数在上单调递减可得 ，且二次函数在 上单调递减，所以，且，从而可得答案． 【详解】由题分段函数在上单调递减可得 又因为二次函数图像开口向上，所以，解得 且， 将代入可得，解得 所以的取值范围是 【点睛】本题考查分段函数的单调性，解题的关键是明确且属于一般题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$