“依法”解决数列新定义解透一题系列讲义-2026届高三数学一轮复习

第5题 依“法”解决数列新定义 （解透一题） 【山东青岛2024-2025学年高三年级调研检测T11】 （多选题）设数列和的项数均为，称为数列和的距离．记满足的所有数列构成的集合为．已知数列和为中的两个元素，项数均为，则下列正确的有（    ） A．数列和数列的距离为4 B．若，则 C．若，则 D．若，，数列和的距离小于2017，则的最大值为3456 本题数列题将“新”溶于命题之中.通过定义一个两数列的距离这一新概念来创设问题情境考察数列知识.数列是高中数学的一个重要知识，也是高等数学如常微分方程组合数学的基础，既是特殊的函数，也能构成各种各样的递推关系.属于高考数学中必考查的内容之一，对于新定义问题，要求我们在阅读理解题意的基础上，善于观察问题的结构特征和本质，依据题中提供的信息，联系所学过的数学知识和方法，将新定义的数列题迁移到等差、等比或递推数列的知识上来，从而解决问题. 本题给定一个新信息，数列和的距离，要求我们通过认真阅读理解、观察分析，并与已有认知结构中的知识进行同化，探索获取有用的信息，从而创造性地解决问题.对于选项A，直接套用定义约定验证即可;对于B选项，题目给出 一分式递推关系， 根据初始条件和递推公式，计算出前几项，  再通过这几个特殊项归纳出通项公式，.在选择题中合理地进行猜想，往往能有效地简化运算.值得注意，需要关注选项对知识考察的暗示. 从选项提示来看，需判B选项，要关注的前n项的积，证明或反驳时， 的取值与初始项无关.对于选项C，由于递推关系没有给出初始项， 说明初始项可以任意，故可以思考反例排出；对于选项D 结合选项B归纳的结论套用约定解决. 对于A，数列1，3，5，7和数列的距离为，（提醒：套用定义约定）A正确；               对于B，由得，，，，， 因此数列中的项周期性重复，且间隔4项重复一次，即满足，，，，， ，可以判断B正确； 对于C，举反例，取，则，当时，，， 不成立，故C错误； 对于D，由B分析知，若，，则，，，， ，，，，，， ， 故满足数列和的距离小于2017的的最大值为3456，D正确． 所以，答案为ABD. 本题是一道数列相关的新定义试题，解题关键是掌握新定义的本质，借助新定义的数列的特征，向已掌握的数列知识转化.解题的突破点是正确理解与运用新的概念、新的运算或新的关系的意义，理解新符号，转化为熟悉的内容，利用相关知识进行.值得注意的是，对于，我们可以深入研究”对于连续函数 ，若 ，则称 为 的不动点. 分式函数型 的通项公式的求解，构造函数 ，并令 ， 求出 的不动点.若 有 2 个不动点，则用 两端分别减去两个不动点，得到两个式子，两式相除构造等比数列来求通项公式; 若 只有 1 个不动点，则用 两端减去该不动点，再取倒数，构造等差数列求通项; 若 没有不动点，则在考题中， 往往是周期较小的周期数列，直接根据首项和递推公式 求出前几项找规律即可. 本题就对这一性质进行编制考察. 新定义型试题主要目的是考查考生在短时间内以最快速度理解、接受并运用新知识解决数学问题能力，给出等和数列的概念，类题如下： 【典型例题】定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．若数列是等和数列，且，公和为3，则这个数列的前n项和的计算公式为 ． 【思路导引】根据等和数列定义可写出通项公式，分为奇数偶数求和即可. 【详细解析】 由，公和为3知， 当n为偶数时，， 当，n为奇数时，为偶数，， 代入检验知时也成立，∴. 【举一反三】 1．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列是等积数列且，前61项的和为113，则这个数列的公积为（    ） A．2 B．3 C．6 D．8 形如 的分式型递推数列求解通项公式问题， 是高考数列试题中的难点. 故而高考在考查此类问题时，通常先给出辅助数列 ，通过求辅助数列的通项，进而再求 的通项. 显然这里的辅助数列是求解最终目标的通项的一座“桥”. 【典型例题】设 ，则数列 的通项公式 _____. 【思路导引】此题给出的递推公式 属于“”型，试题中给出了 “桥” ， 通过这座“桥”，可以进一步求出 的通项. 【详细解析】 由条件得，且，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则． 【举一反三】 2．已知数列中 （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）若数列中，证明： 3．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列是公积不为0的等积数列，且，前7项的和为14.则下列结论正确的是（    ） A． B． C．公积为1 D． 4．设正整数，其中，记．则（    ） A． B． C． D． 5．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为 ，且这个数列的前21项和的值为 ． 6．已知数列的首项，，. (1)设，求数列的通项公式； (2)是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由. 7．若数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为. (1)求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离； (2)记A为满足递推关系的所有数列的集合，数列和为A中的两个元素，且项数均为.若，，数列和的距离，求m的最大值； (3)记S是所有7项数列（其中，或1）的集合，，且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5题 依“法”解决数列新定义 （解透一题） 【山东青岛2024-2025学年高三年级调研检测T11】 （多选题）设数列和的项数均为，称为数列和的距离．记满足的所有数列构成的集合为．已知数列和为中的两个元素，项数均为，则下列正确的有（    ） A．数列和数列的距离为4 B．若，则 C．若，则 D．若，，数列和的距离小于2017，则的最大值为3456 本题数列题将“新”溶于命题之中.通过定义一个两数列的距离这一新概念来创设问题情境考察数列知识.数列是高中数学的一个重要知识，也是高等数学如常微分方程组合数学的基础，既是特殊的函数，也能构成各种各样的递推关系.属于高考数学中必考查的内容之一，对于新定义问题，要求我们在阅读理解题意的基础上，善于观察问题的结构特征和本质，依据题中提供的信息，联系所学过的数学知识和方法，将新定义的数列题迁移到等差、等比或递推数列的知识上来，从而解决问题. 本题给定一个新信息，数列和的距离，要求我们通过认真阅读理解、观察分析，并与已有认知结构中的知识进行同化，探索获取有用的信息，从而创造性地解决问题.对于选项A，直接套用定义约定验证即可;对于B选项，题目给出 一分式递推关系， 根据初始条件和递推公式，计算出前几项，  再通过这几个特殊项归纳出通项公式，.在选择题中合理地进行猜想，往往能有效地简化运算.值得注意，需要关注选项对知识考察的暗示. 从选项提示来看，需判B选项，要关注的前n项的积，证明或反驳时， 的取值与初始项无关.对于选项C，由于递推关系没有给出初始项， 说明初始项可以任意，故可以思考反例排出；对于选项D 结合选项B归纳的结论套用约定解决. 对于A，数列1，3，5，7和数列的距离为，（提醒：套用定义约定）A正确；               对于B，由得，，，，， 因此数列中的项周期性重复，且间隔4项重复一次，即满足，，，，， ，可以判断B正确； 对于C，举反例，取，则，当时，，， 不成立，故C错误； 对于D，由B分析知，若，，则，，，， ，，，，，， ， 故满足数列和的距离小于2017的的最大值为3456，D正确． 所以，答案为ABD. 本题是一道数列相关的新定义试题，解题关键是掌握新定义的本质，借助新定义的数列的特征，向已掌握的数列知识转化.解题的突破点是正确理解与运用新的概念、新的运算或新的关系的意义，理解新符号，转化为熟悉的内容，利用相关知识进行.值得注意的是，对于，我们可以深入研究”对于连续函数 ，若 ，则称 为 的不动点. 分式函数型 的通项公式的求解，构造函数 ，并令 ， 求出 的不动点.若 有 2 个不动点，则用 两端分别减去两个不动点，得到两个式子，两式相除构造等比数列来求通项公式; 若 只有 1 个不动点，则用 两端减去该不动点，再取倒数，构造等差数列求通项; 若 没有不动点，则在考题中， 往往是周期较小的周期数列，直接根据首项和递推公式 求出前几项找规律即可. 本题就对这一性质进行编制考察. 新定义型试题主要目的是考查考生在短时间内以最快速度理解、接受并运用新知识解决数学问题能力，给出等和数列的概念，类题如下： 【典型例题】定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．若数列是等和数列，且，公和为3，则这个数列的前n项和的计算公式为 ． 【思路导引】根据等和数列定义可写出通项公式，分为奇数偶数求和即可. 【详细解析】 由，公和为3知， 当n为偶数时，， 当，n为奇数时，为偶数，， 代入检验知时也成立，∴. 【举一反三】 1．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列是等积数列且，前61项的和为113，则这个数列的公积为（    ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】A 【解析】先由题意，记（为常数），得出，即数列是以为周期的数列， 再由题中条件求出，即可求出公积. 【详解】由题意，记（为常数）， 则，所以，即， 所以数列是以为周期的数列， 又其前61项的和为113， 所以有，因为， 所以，因此. 故选：A. 【点睛】本题主要考查数列周期性的应用，属于基础题型. 形如 的分式型递推数列求解通项公式问题， 是高考数列试题中的难点. 故而高考在考查此类问题时，通常先给出辅助数列 ，通过求辅助数列的通项，进而再求 的通项. 显然这里的辅助数列是求解最终目标的通项的一座“桥”. 【典型例题】设 ，则数列 的通项公式 _____. 【思路导引】此题给出的递推公式 属于“”型，试题中给出了 “桥” ， 通过这座“桥”，可以进一步求出 的通项. 【详细解析】 由条件得，且，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则． 【举一反三】 2．已知数列中 （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）若数列中，证明： 【答案】（Ⅰ）的通项公式为， （Ⅱ）证明见解析 【分析】（Ⅰ）利用构造等比数列的方法求解数列的通项公式；（Ⅱ）利用数学归纳法，证明和时不等式均成立. 【详解】（Ⅰ）由题设： ，即． 所以数列是首项为，公比为的等比数列， ∴，即， 即的通项公式为，． （Ⅱ）用数学归纳法证明： （ⅰ）当时，因，，所以 ，结论成立． （ⅱ）假设当时，结论成立，即， 也即． 当时， 又， 所以 ， 也就是说，当时，结论成立. 根据（i）和（ii）知 【点睛】1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． 2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算的不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法. 3．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列是公积不为0的等积数列，且，前7项的和为14.则下列结论正确的是（    ） A． B． C．公积为1 D． 【答案】AB 【分析】根据等积数列的定义，可判断A的正误，根据条件，代入数据，可判断B、C的正误，分别讨论n为奇数和偶数，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】设该等积数列的公积为m（m为常数，）， 根据等积数列的定义可得， 所以，即，故A正确； 则， 又，则， 又前7项的和为14，则，解得，即公积为2， 所以，故B正确，C错误， 当n为奇数时，当n为偶数时，故D错误 故选：AB 4．设正整数，其中，记．则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误. 【详解】对于A选项，，， 所以，，A选项正确； 对于B选项，取，，， 而，则，即，B选项错误； 对于C选项，， 所以，， ， 所以，，因此，，C选项正确； 对于D选项，，故，D选项正确. 故选：ACD. 5．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为 ，且这个数列的前21项和的值为 ． 【答案】 3 52 【分析】由题意得对任意的恒成立，从而可求数列的通项公式，从而可求与. 【详解】根据“等和数列”的定义及公和为5，可得对任意的恒成立. 因为，所以. 所以. 所以. 故答案为:3;52. 6．已知数列的首项，，. (1)设，求数列的通项公式； (2)是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据中给出递推公式，先取倒数再配凑的方法，就可以得到数列是等比数列，进而求解. （2）先假设存在，利用等差中项性质得到，等比中项性质得到，再根据基本不等式发现时等式成立，但题中条件是，，互不相等，从而得到结论. 【详解】（1）因为，， 所以， 取倒得， 所以， 因为， 所以， 所以是，的等比数列， 所以． （2）假设存在，则，， 由（1）得， 所以， 化简得， 因为，当且仅当时等号成立， 又，，互不相等， 所以，即不存在符合条件的，，. 7．若数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为. (1)求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离； (2)记A为满足递推关系的所有数列的集合，数列和为A中的两个元素，且项数均为.若，，数列和的距离，求m的最大值； (3)记S是所有7项数列（其中，或1）的集合，，且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16. 【答案】(1)7 (2)3469 (3)证明见详解 【分析】（1）由数列距离的定义直接求出所给两个数列的距离； （2）由题意分析可知 A中数列项的周期性，可得结合周期性求得m的最大值； （3）假设T中的元素个数大于等于17个，设出，最终求得和中必有一个成立，与已知矛盾即可得解. 【详解】（1）由题意可知：数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为. （2）设，其中，且， 因为，则，，，， 则有A中数列的项呈周期性重复，且间隔4项重复一次， 在数列中，； 在数列中，； 因为，可知， 即项数m越大，数列和的距离越大， 由得：， 可知：若时，； 又因为， 可知：若时，； 综上所述：所以m的最大值为3469. （3）假设T中的元素个数大于等于17个，在数列中，， 则仅由数列前三项组成的数组有且仅有8个： ， 那么这17个元素(即数列)之中必有三个具有相同的， 设这个数列分别为； ； ， 其中， 因为这三个数列中每两个的距离大于等于3，则在和中，中至少有三个成立， 不妨设，由题意，中一个等于0，而另一个等于1， 又因或1，于是得和中必有一个成立， 同理可得：和中必有一个成立，和中必有一个成立， 即“中至少有两个成立”或“中至少有两个成立”中必有一个成立， 从而得和中必有一个成立，与T中任何两个元素的距离大于或等于3矛盾，即假设不成立， 所以T中的元素个数小于或等于16. 【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并合理地运用计算、分析、推理等方法综合解决. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$