取整与数列的碰撞解透一题系列讲义-2026届高三数学一轮复习

第3题 取整与数列的碰撞 （解透一题） 【2024年联赛模拟一试】 在数列中，，，其中表示不超过实数的最大整数，则______． 本题一阶递推关系式给出数列，同时将取整函数符号融入，具有相当创新性.新高考对创新意识考察，主要体现在对问题进行归纳概括，得到猜想和规律，并加以验证. 【方法一】列举猜测通项 在求与高斯函数有关的值时，要充分利用高斯函数的意义，确定自变量的取值范围后再求解，问题解决没有固定套路，故罗列观察，题目目标可以认为求出数列通项即可确定.如果整体的规律不容易发现，也可以分奇数项和偶数项观察.比如，，，我们可以猜测奇数项乘等差数列. 根据已知条件罗列有： ． ;   ; ; …… 猜想：，所以．故本题答案为2023． 如果问题以解答题呈现，我们需要严格证明，现在附以数学归纳证明如下 由题， 若，，则，． 所以．同理， 若，，则，， 所以． ． 【方法二】目标导引+相邻项关系 目标求，题目暗示我们关注相邻两项的和.于是我们研究的性质. 根据已知条件罗列有： ． ;         ;       ;                 ； …… 猜想：，所以．故本题答案为2023 本题是一道取整数列有关的问题，主要考查一阶递推数列．题目中涉及取整数列，解题的关键是在确定的表达式，我们可由前面几项猜出数列的通项，再用数学归纳法进行证明．但对于我们陌生，或者递推关系比较抽象的数列问题，列举，观察，归纳，证明是解决问题的一种行之有效的方式. 研究数列的根本方法是罗列，观察、归纳、猜想、证明. 【典型例题】已知，记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 【思路导引】通过分析数列的规律，由此求得数列的前项和. 【详细解析】由于，所以 对应的区间为，则； 对应的区间分别为，则，即有2个1； 对应的区间分别为，则，即有个2； 对应的区间分别为，则，即有个3； 对应的区间分别为，则，即有个4； 对应的区间分别为，则，即有个5； 对应的区间分别为，则，即有37个6． 所以． 【举一反三】 1．已知正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若（其中表示不超过的最大整数），求数列的前100项的和. 【答案】(1) (2)147 【分析】（1）先应用因式分解求出,再利用即可求出； （2）根据数列特点采用分组求和法求解. 【详解】（1）因为，所以 又因为为正项数列,所以,可得 当时，， 当时，， 将代入上式验证显然适合，所以. （2）已知,因为，，， 所以， 所以. 【典型例题】设数列满足，．计算a2，a3，猜想的通项公式并加以证明. 【思路导引】通过罗列猜测为等差数列，故为常数列. 【详细解析】由题意可得，， 由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即． 证明：因为，所以， 即，故 所以 故. 【举一反三】 2．为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如. (1)求； (2)求数列的前1000项和. 【答案】(1) (2)1893. 【分析】（1）先求公差、可得通项，再根据已知条件求； （2）用分段函数表示，再求数列的前1 000项和． 【详解】（1）设的公差为，根据等差数列的前n项和公式得：， 则解得 所以的通项公式为 即 （2）根据可得： 所以数列的前项和为 3．定义表示不超过x的最大整数，例如，，．函数，当，时，的值域为，记集合中元素的个数为，则 ， ． 【答案】 【分析】根据题意可得，，，此区间段内有个元素，，，，此时有1个元素，从而可求出，再利用裂项相消求和法可求出 【详解】，，，此区间段内有1个元素， ，，，此区间段内有1个元素， ，，，此区间段内有2个元素， ，，，此区间段内有3个元素， …… ，，，此区间段内有个元素， ，，，此时有1个元素， ∴， ，， 故答案为：， 4．用表示不超过x的最大整数，例如，，．已知数列满足，，则 . 【答案】2022 【分析】先判断数列的单调性，再对递推公式取倒数变形，最后根据题中定义，结合数列的单调性进行和裂项求和求解即可. 【详解】由题意，所以数列为递增数列. 由， 两边取倒数，可得： . 所以， 所以. 因为，，所以. 所以， 即. 故答案为：2022 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键一是对递推公式的取倒数变形；二是判断数列的单调性. 5．设高斯函数表示不超过的最大整数（如），已知，则 ； ． 【答案】 4285 2 【分析】由的定义求出即可,求出，，，，，，判断出是一个以周期为6的周期数列，求出即可． 【详解】.， ∴，， ， 同理可得：；； ，；，，… ∴. 故是一个以周期为6的周期数列， 则. 故答案为：4285，2. 【点睛】关键点点睛：第二空的关键是得出是一个以周期为6的周期数列，由此即可顺利得解. 6．在不大于的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数的个数记为.表示不超过x的最大整数，令，则 . 【答案】500 【分析】根据在不大于的所有正整数中，能被2，3，6整除的数的个数，得到，从而得到，当时，求解. 【详解】解：因为在不大于的所有正整数中，能被2整除的数有个，能被3整除的数有个，能被6整除的数有个， 所以， 当时，，则， 当时，， 则当时，， 因为，所以，则，所以， 所以， 故答案为：500 7．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有 A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 【答案】C 【详解】试题分析：由题意，得必有，，则具体的排法列表如下： ,01010011;010101011,共14个 【点睛】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到出奇制胜的效果． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3题 取整与数列的碰撞 （解透一题） 【2024年联赛模拟一试】 在数列中，，，其中表示不超过实数的最大整数，则______． 本题一阶递推关系式给出数列，同时将取整函数符号融入，具有相当创新性.新高考对创新意识考察，主要体现在对问题进行归纳概括，得到猜想和规律，并加以验证. 【方法一】列举猜测通项 在求与高斯函数有关的值时，要充分利用高斯函数的意义，确定自变量的取值范围后再求解，问题解决没有固定套路，故罗列观察，题目目标可以认为求出数列通项即可确定.如果整体的规律不容易发现，也可以分奇数项和偶数项观察.比如，，，我们可以猜测奇数项乘等差数列. 根据已知条件罗列有： ． ;   ; ; …… 猜想：，所以．故本题答案为2023． 如果问题以解答题呈现，我们需要严格证明，现在附以数学归纳证明如下 由题， 若，，则，． 所以．同理， 若，，则，， 所以． ． 【方法二】目标导引+相邻项关系 目标求，题目暗示我们关注相邻两项的和.于是我们研究的性质. 根据已知条件罗列有： ． ;         ;       ;                 ； …… 猜想：，所以．故本题答案为2023 本题是一道取整数列有关的问题，主要考查一阶递推数列．题目中涉及取整数列，解题的关键是在确定的表达式，我们可由前面几项猜出数列的通项，再用数学归纳法进行证明．但对于我们陌生，或者递推关系比较抽象的数列问题，列举，观察，归纳，证明是解决问题的一种行之有效的方式. 研究数列的根本方法是罗列，观察、归纳、猜想、证明. 【典型例题】已知，记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 【思路导引】通过分析数列的规律，由此求得数列的前项和. 【详细解析】由于，所以 对应的区间为，则； 对应的区间分别为，则，即有2个1； 对应的区间分别为，则，即有个2； 对应的区间分别为，则，即有个3； 对应的区间分别为，则，即有个4； 对应的区间分别为，则，即有个5； 对应的区间分别为，则，即有37个6． 所以． 【举一反三】 1．已知正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若（其中表示不超过的最大整数），求数列的前100项的和. 【典型例题】设数列满足，．计算a2，a3，猜想的通项公式并加以证明. 【思路导引】通过罗列猜测为等差数列，故为常数列. 【详细解析】由题意可得，， 由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即． 证明：因为，所以， 即，故 所以 故. 【举一反三】 2．为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如. (1)求； (2)求数列的前1000项和. 3．定义表示不超过x的最大整数，例如，，．函数，当，时，的值域为，记集合中元素的个数为，则 ， ． 4．用表示不超过x的最大整数，例如，，．已知数列满足，，则 . 5．设高斯函数表示不超过的最大整数（如），已知，则 ； ． 6．在不大于的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数的个数记为.表示不超过x的最大整数，令，则 . 7．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有 A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$