第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算（专项训练）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算 目录 01 常考题型过关练 题型01 过某点的曲线的切线 题型02 利用图像理解导数的几何意义 题型03 求函数的和、差、积、商的导数 题型04 求复合函数的导数 题型05 利用导数求函数式中的参数 题型06 利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 题型07 与切线有关的综合问题 题型08 切线平行、垂直问题 题型09 最值问题 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 某点的曲线的切线 1．高二学习小组自主探究三次函数的性质得出以下命题： ①无论系数如何变化，函数的图象始终都是中心对称图形； ②过平面内的任意一个定点至多能作出三条直线与函数图象相切； ③任意三次函数都存在零点，至少有一个，至多有三个； ④当函数存在极值点时，中心点处的导数与两极值点处的函数值有固定关系；． 其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．若函数图象在点处的切线方程为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数. (1)当时，求曲线过原点的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 5．已知函数在处有极小值. (1)求的值及的极小值； (2)记点，求过点且与曲线相切的直线方程. 02 利用图像理解导数的几何意义 6．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．是函数的极大值点 B．是函数的最小值点 C．函数在区间上单调递增 D．曲线在处切线的斜率小于零 7．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数在区间(-3，3)内有三个零点 B．函数是函数的一个极值点 C．曲线在点(-2，f(-2))处的切线斜率小于零 D．函数在区间(-1，1)上是严格减函数 8．函数的导函数在内的图像如图所示，则函数在内极大值点的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．函数，的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为 ． 10．已知函数与的图像如下图所示，设函数. 给出下列四个结论 ①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数； ②函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数； ③函数有三个极值点； ④函数有三个零点. 其中，所有正确结论的序号是 . 03 求函数的和、差、积、商的导数 11．已知二次函数，设，若函数的导函数的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 12．若函数的图像上任意一点的切线的斜率都大于0，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．设点是函数图像上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．定义在上的奇函数的图像连续不断，其导函数为，对任意正数恒有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 15．求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) (5) (6)y = tanx 04 求复合函数的导数 16．设，则下列结论中正确的个数为（    ） ①；②；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 18．过点的直线l与曲线相切于点B，则（   ） A．1 B． C．2 D． 19．求下列函数的导数. (1) (2) (3) 20．求下列各函数的导数． (1)； (2)； (3)． 05 利用导数求函数式中的参数 21．已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 22．已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．已知函数. (1)若，求a的值； (2)设，讨论函数的极值点个数； (3)若在区间上存在极值，求实数a的取值范围. 24．已知函数，其导函数为． (1)设． ①求的值； ②求在上的最大值． (2)讨论的单调性． 25．已知，且. (1)求的值： (2)若函数在上的最大值为4，求函数在上的最小值. 06 利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 26．曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 27．若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在极值，求实数的取值范围； (3)求证：对任意，都存在，使得． 29．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)当时，若的最大值为4，求的值. 30．已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的取值范围； 07 与切线有关的综合问题 31．设函数的图象在点处的切线为，则与坐标轴围成的三角形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．一个小孩玩滚珠子游戏，试图将大小不一的圆珠通过由曲线形成的空隙（如图），曲线可以近似看作函数的图象，要使圆珠通过空隙，则圆珠直径的取值范围应为（    ） A． B． C． D． 33．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)当时，讨论零点的个数. 34．已知函数 (1)若为实数，试讨论方程的根个数； (2)证明：； (3)若点在的图象上运动，求点到直线距离的最小值. 35．已知函数（且）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：． (3)设，求函数的极值． 08 切线平行、垂直问题 36．已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 37．已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 38．已知函数，． (1)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求的值； (2)若有最小值，且的最小值大于的最小值，求的取值范围． 39．已知函数． (1)若曲线在点与处的切线平行，讨论函数的单调性； (2)若时，，求a的取值范围． 40．设函数，． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值：（其中e为自然对数的底数）； (2)在（1）的条件下求的极大值； (3)若在上存在减区间，求实数的取值范围． 09 最值问题 41．设函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 42．已知函数是定义域为的偶函数，且当时，．若函数在上的最小值为4，则实数a的值为（    ） A． B．2 C． D． 43．若，的最小值为，则（   ） A． B． C．或 D． 44．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在两个极值点，， （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：. 45．已知函数，当时，取得极值. (1)求a，b的值； (2)若函数在区间上的最大值为2，求k的取值范围. 1．（2025·天津·二模）设函数在区间恰有三个极值点､两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·天津西青·期中）定义在上的奇函数满足时，成立，若，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津红桥·二模）已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的 且 则取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·天津和平·二模）已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·天津河西·三模）已知函数（其中，），当时，的最小值为，，将的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·天津·二模）若函数的图象关于直线对称，且恰有6个零点，则的取值范围为 . 8．（2025·天津河东·二模）设函数，，若存在，使得，则的最小值为 . 9．（2025·天津·一模）已知函数 (1)若曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的值； (2)若函数存在唯一极值点，求的取值范围； (3)若函数存在极大值，记作，求证：. 10．（2025·天津·二模）已知椭圆的离心率为，点P为椭圆上的动点，过点P作椭圆的切线，与圆交于A，B两点，线段AB长度的最小值为2. (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线OA，OB斜率乘积为定值（其中O为坐标原点）. 1．（2005·天津·高考真题）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2019·天津·高考真题）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 A． B． C． D． 13．（2013·天津·高考真题）设函数，若实数满足，则 A． B． C． D． 4．（2010·天津·高考真题）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 5．（2008·天津·高考真题）已知函数，其中. （1）曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式； （2）讨论函数的单调性； （3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求b的取值范围. 6．（2004·天津·高考真题）已知函数在上满足，当时取得极值. （1）求的单调区间和极大值； （2）证明：对任意、，不等式恒成立. 7．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 8．（2022·天津·高考真题）已知，函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 9．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 10．（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； (3)证明：． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算 目录 01 常考题型过关练 题型01 过某点的曲线的切线 题型02 利用图像理解导数的几何意义 题型03 求函数的和、差、积、商的导数 题型04 求复合函数的导数 题型05 利用导数求函数式中的参数 题型06 利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 题型07 与切线有关的综合问题 题型08 切线平行、垂直问题 题型09 最值问题 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 某点的曲线的切线 1．高二学习小组自主探究三次函数的性质得出以下命题： ①无论系数如何变化，函数的图象始终都是中心对称图形； ②过平面内的任意一个定点至多能作出三条直线与函数图象相切； ③任意三次函数都存在零点，至少有一个，至多有三个； ④当函数存在极值点时，中心点处的导数与两极值点处的函数值有固定关系；． 其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】对于①： 设三次函数的对称中心为，根据三次函数的性质，有恒成立. 将代入可得： , 因为对任意恒成立，所以的系数都为0， 即，解得. 因为，即, 注意到,可求得. 所以无论系数如何变化，函数的图象始终都是以为对称中心的对称图形，①正确； 对于②： 对函数求导得，设切点为， 所以切线斜率为. 设定点坐标为，则切线方程为， 将切点代入方程得， 即，是三次方程， 所以过平面内的任意一个定点至多能作出三条直线与函数图象相切，②正确； 对于③： 因为为奇数次多项式，至少有一个实根， 根据代数基本定理最多有三个实根，所以③正确； 对于④： 设函数的对称中心为，其中，. 因为，所以，则. 设是函数的两个极值点，则是方程的两个根， 根据韦达定理得. 所以 所以④正确. 故选：A. 2．若函数图象在点处的切线方程为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由求导得：，于是得， 函数图象在点处的切线方程为， 整理得：，从而得，， 令，则，当时，，当时，， 于是得在上单调递减，在上单调递增，则， 所以的最小值为. 故选：B 3．已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由点不在函数的图象上，得，则， 设过点的直线与的图象相切于点，， 切线方程为，则， 整理得，令，依题意，函数只有一个零点， 求导得，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 要使仅有一个零点，当且仅当， 解得或，所以实数的取值范围为 故选：C 4．已知函数. (1)当时，求曲线过原点的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）当时，，则， 由于，故原点不在曲线上， 设过原点的直线与曲线相切于点. 则切线斜率，即， 解得，切点坐标为， 所以切线斜率，故所求切线方程为. （2）的定义域为，， ①当时，，可得在上单调递增； ②当时，令，解得， 当时，；当时，； 所以函数在单调递减，在单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当，在内单调递减，在内单调递增. （3）由（2）得，当时有极小值， 且的极小值.即. 令，，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以的取值范围为. 5．已知函数在处有极小值. (1)求的值及的极小值； (2)记点，求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1)2，0； (2)或. 【详解】（1）函数，求导得， 由在处有极小值，得，解得或， 当时，， 由，解得或；由，解得， 则在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处有极小值，符合题意； 当时，， 由，解得或；由，解得， 则在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处有极大值，不符合题意， 则，的极小值. （2）由（1）知，点，设过点的直线与曲线相切的切点为， 而，则切线方程为， 则，即，解得或， 故切线方程为或. 02 利用图像理解导数的几何意义 6．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．是函数的极大值点 B．是函数的最小值点 C．函数在区间上单调递增 D．曲线在处切线的斜率小于零 【答案】C 【详解】解：由导函数的图象可知， 当时，当时，当时，当或时， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值即最小值，所以是函数的极小值点与最小值点， 因为，所以曲线在处切线的斜率大于零， 综上可知ABD错误，C正确. 故选：C 7．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数在区间(-3，3)内有三个零点 B．函数是函数的一个极值点 C．曲线在点(-2，f(-2))处的切线斜率小于零 D．函数在区间(-1，1)上是严格减函数 【答案】D 【详解】在单调递增，在单调递减，故在区间内至多有两个零点，A错误； 在的左右两侧，故不是极值点，故B错误; 根据图像可知，故在点处的切线斜率等于零，C错误； 在恒成立，故在区间上是严格减函数，故D正确. 故选：D 8．函数的导函数在内的图像如图所示，则函数在内极大值点的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】由的图像知，的单调性为先增后减，再增又减，故极大值点有2个. 故选：B 9．函数，的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为 ． 【答案】 【详解】由函数的图像可知, 在区间上单调递减,在区间上单调递增，即当时, ;当时, . 因为可化为或，解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 10．已知函数与的图像如下图所示，设函数. 给出下列四个结论 ①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数； ②函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数； ③函数有三个极值点； ④函数有三个零点. 其中，所有正确结论的序号是 . 【答案】②③④ 【详解】由图像可知实的图像在区间、、函数值分别为正、负、正，而虚的图像在区间、、分别单调递增、单调递减、单调递增，由导数与函数单调性的关系易知实的是的图像，虚线是的图像. 所以①错误，②正确； 因为，即，由图可知恰有三个零点，故④正确； 又因为， 由图像可知、、时，，即， 又在区间上，的图像在的图像的上方，即 在区间上，的图像在的图像的下方，即 在区间上，的图像在的图像的上方，即 在区间上，的图像在的图像的下方，即 所以、、分别为极大值点、极小值点、极大值点，即函数有三个极值点 所以③正确 故答案为②③④ 03 求函数的和、差、积、商的导数 11．已知二次函数，设，若函数的导函数的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】依题意，，求导得， 观察的图像得：，即，的另一个零点为，即， 所以有，. 故选：D 12．若函数的图像上任意一点的切线的斜率都大于0，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，求导得， 依题意，，而，当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 13．设点是函数图像上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ，， ， ， 点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为， ， ，. 故选：B. 14．定义在上的奇函数的图像连续不断，其导函数为，对任意正数恒有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵为奇函数，∴， ∴当时，， 又∵，∴， 当时，，∴在区间上单调递减， 又∵当时，， ∴为上的奇函数， ∵在上的图象连续不断，∴在上单调递减. 又∵， ∴，即， ∴， ∵在区间上单调递增，∴， 解得. 故选：D. 15．求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) (5) (6)y = tanx 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）； （2）； （3） （4）因为， 所以 . ． （5）因为， 所以 （6）. 04 求复合函数的导数 16．设，则下列结论中正确的个数为（    ） ①；②；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】展开式的通项为，， 所以，故①正确； 令，可得， 令，可得，（1） 所以，故②错误； 令，可得，（2） （1）（2）可得， 所以，故③正确； 对两边求导， 可得， 令，可得，故④正确； 所以结论中正确的个数为个. 故选：C. 17．可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设与和分别相切于，， 而，， ，， ，解得，，即公切线的斜率为， 故与垂直的直线的斜率为， 所以所求直线方程可为． 故选：D． 18．过点的直线l与曲线相切于点B，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】依题意，设，由， 则， 则， 化简得，解得，故， 故． 故选：B． 19．求下列函数的导数. (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2）. （3）. 20．求下列各函数的导数． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）化简得， ∴． （2）∵， ∴． （3）． 05 利用导数求函数式中的参数 21．已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的导数的导数为， 设与曲线相切的切点为相切的切点为， 则有公共切线斜率为， 又，即有，即为，即有， 则有，即为，恰好存在两条公切线，即有两解， 令，则， 当时，递减，当时，递增， 即有处取得极大值，也为最大值，且为， 由恰好存在两条公切线可得与 有两个交点， 可得的范围是， 故选：D. 22．已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 因为曲线在点处的切线的倾斜角，即切线的斜率， 所以对于任意的恒成立， 即对任意恒成立，即， 又，当且仅当，即时，等号成立， 故，所以a的取值范围是． 故选：D. 23．已知函数. (1)若，求a的值； (2)设，讨论函数的极值点个数； (3)若在区间上存在极值，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【详解】（1）函数，求导得， 因为，所以. （2）由（1）知，令，而，则， ①当时，即，此时，则， 所以在上单调递增，无极值点； ②当时，即，有两个不等的实根，， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此是的极大值点，是的极小值点， 所以当时，没有极值点；当时，有2个极值点. （3）若在区间上存在极值，由（2）知，，解得， 所以a的取值范围是. 24．已知函数，其导函数为． (1)设． ①求的值； ②求在上的最大值． (2)讨论的单调性． 【答案】(1)①；②-7 (2)答案见解析 【详解】（1）①由题意得， 则，解得． ②由①得，， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也就是最大值，最大值为． （2）由题意有的定义域为，． 当时，，由，得，由，得， 在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得，由，得或， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，，在上单调递增； 当时，由，得，由，得或， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减． 25．已知，且. (1)求的值： (2)若函数在上的最大值为4，求函数在上的最小值. 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）函数，求导得，由， 得，所以. （2）由（1）得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 因此在上的最大值为，即，则，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以函数在上的最小值为1. 06 利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 26．曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令则直线的斜率为 则. 故选：B. 27．若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设切点为， 由已知可得. 根据导数的几何意义可知， 切线的斜率为. 代入切线方程为， 整理可得. 又切线经过原点， 所以有， 整理可得. 因为曲线有两条过坐标原点的切线， 所以方程有两个不相等的实数解， 即有，解得或. 故选：B. 28．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在极值，求实数的取值范围； (3)求证：对任意，都存在，使得． 【答案】(1) (2)． (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，， ，又， 曲线在点处的切线方程为：； （2），， 当时，，在上单调递减，无极值； 当时，令，即， 解得， 当时，， 0 0 极大值 极小值 的单调递增区间为，单调递减区间为，为函数的两个极值点， 故符合题意； 当时，， 在上单调递增，无极值. 综上，实数的取值范围为； （3）①当时，由（2）知，在上单调递减， 令，则，； ②当时，为极大值，为极小值， ， 令，则； ③当时，在上单调递增，令， ，； 综上，对任意，都存在，使． 29．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)当时，若的最大值为4，求的值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）当时，， 而，则切点为，可得， 由斜率的几何意义得斜率为，故切线方程为. （2）因为， 所以， 故， 令，则， 因为，所以，， 可得，令，， 令，， 故的单调递增区间是， 单调递减区间是. （3）令，则可化为， 而，由题意得，故， 令，解得，下面我们讨论和的大小关系， 当时，解得，此时在上单调递减， 此时的最大值为， 令，则， 此时，故恒成立，则在上单调递增， 则，可得的最大值不可能为，故排除， 当时，解得，令，， 令，，故在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为， 得到，解得. 30．已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，， 所以在处的切线方程为，即. （2）由可知，，， 即在上恒成立， 设，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增， 所以时，取得最小值，最小值为， 由题意知，即，故的取值范围为. 07 与切线有关的综合问题 31．设函数的图象在点处的切线为，则与坐标轴围成的三角形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，，则，又， 所以切线为， 当时，当时，又， 所以与坐标轴围成的三角形面积为， 则，当时，当时， 所以在上递减，在上递增，即. 故选：C 32．一个小孩玩滚珠子游戏，试图将大小不一的圆珠通过由曲线形成的空隙（如图），曲线可以近似看作函数的图象，要使圆珠通过空隙，则圆珠直径的取值范围应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数与的图象关于直线对称， 设与直线平行，且相切的直线方程为，切点为， 设与直线平行，且相切的直线方程为，切点为， 由解得，可得， 由解得，可得， 则， 则圆珠直径的取值范围应为. 故选：A.     33．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)当时，讨论零点的个数. 【答案】(1) (2) (3)2 【详解】（1）当时，，， 所以切点为（0，0） 所以，， 即切线的斜率为1，由点斜式直线方程得，所以切线方程为； （2）因为，由函数在上单调递增，则， 即在上恒成立. 令，，. 当时，，所以恒成立. 所以在上单调递增，所以 所以，a的取值范围； （3）由，则. 所以是的一个零点. 因为，由（2）知，函数在上单调递增，，无零点. ①当时，∵，∴，∴，无零点. ②当时，∵，设，， ∴在上递增，又∵，， ∴存在唯一零点，使得 当时，，在上递减； 当时，，在上递增，所以， 又，，， 所以，函数在上有且仅有1个零点. 综上，当时，函数有且仅有2个零点. 34．已知函数 (1)若为实数，试讨论方程的根个数； (2)证明：； (3)若点在的图象上运动，求点到直线距离的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为，则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故时， 取得极小值， 且当时，，当时，，的图象如图： 因方程的根个数即函数图象与直线的交点个数.由图知， 当时，与有两个交点，此时方程有2个实根； 当和时，与只有一个交点， 此时方程有1个实根； 当时，与没有交点， 此时方程没有实根. （2）由，， 故可构造函数，则， 当时，，当时，. 故上上为增函数，在上为减函数 由，可得， 由在上为增函数，可得， 故得. （3）设点，易知当曲线在处的切线与平行时， 点到直线的距离最小， 又，则有. 令，则， 易知，当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增 且时，，又，所以，则， 故到直线的距离即点到直线距离的最小值，为. 35．已知函数（且）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：． (3)设，求函数的极值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)答案见解析； 【详解】（1）由于，则定义域为， 故曲线在点处的切线方程为：，即. （2）当时，定义域为， 令，则单调递减，， 所以单调递增；单调递减； 所以，所以，所以； （3）因为， ，令，得， 当时，定义域为，单调递增， 所以单调递减；单调递增； 所以的极小值为，无极大值； 当时，定义域为，单调递减， 所以单调递增；单调递减； 所以的极大值为，无极小值； 综上， 当时，的极小值为，无极大值； 当时，的极大值为，无极小值； 08 切线平行、垂直问题 36．已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】对求导可得：. 可得切线的斜率. 将直线转化为斜截式，可知直线斜率. 因为函数的图像在点处的切线与直线垂直， 根据两直线垂直斜率之积为，可得，即. 可得：， 故，即实数的值为. 故选：C. 37．已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，. 所以，. 由因为在，两个不同点处的切线相互平行， 所以，又，所以，故CD错误； 因为且，所以，故A不成立； 当时，.故B成立. 故选：B 38．已知函数，． (1)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求的值； (2)若有最小值，且的最小值大于的最小值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，， 由题可知：，所以 （2）函数的定义域均为， 由（1）可知：， 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，没有最值； 当时，令，则；令令，则， 所以函数在单调递减，在单调递增，有最小值. 因为有最小值，所以， 所以， ， 则 39．已知函数． (1)若曲线在点与处的切线平行，讨论函数的单调性； (2)若时，，求a的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增 (2) 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 依题意，，即，解得， 因此，当且仅当时取等号， 所以在上单调递增． （2）设， 求导得，， 当时，，不符合题意； 当时，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数在处取得最小值，依题意，，解得， 所以a的取值范围是． 40．设函数，． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值：（其中e为自然对数的底数）； (2)在（1）的条件下求的极大值； (3)若在上存在减区间，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，可得. 曲线在点处的切线斜率为. 将直线，化为斜截式，其斜率为. 因为曲线在点处的切线与直线垂直，根据两直线垂直斜率之积为，可得. 化简方程，解得. （2）由（1）知，则，. 令，即，因为，所以，解得. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. 所以在处取得极大值，. （3）因为，对求导得. 因为在上存在减区间，所以在上有解， 即在上有解，等价于在上有解，也就是在上有解. 令，对求导得. 令，即，解得或（舍去）. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得极小值，也是最小值，. 所以. 09 最值问题 41．设函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由；由. 若，则恒成立，则在上不成立. 若，由；由. 由恒成立，可得：. 所以，. 设，. 则，. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为：. 即的最小值为. 故选：C 42．已知函数是定义域为的偶函数，且当时，．若函数在上的最小值为4，则实数a的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为是定义域为的偶函数， 且函数在上的最小值为4， 所以函数在上的最小值为4， 当时，，此时， 当时，在上恒成立，函数在上单调递增， 当时，函数取得最小值，解得，符合题意， 当时，，，函数单调递减； ，，函数单调递增， 时，函数取得最小值，解得，不符合题意， 综上，． 故选：B． 43．若，的最小值为，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】令，则， 令，则， 当时，，则在上单调递减，显然无最小值，不符； 当时，令，则， 若，时，，则在上单调递增，故，不符； 若，时， 在上，即在上单调递减， 在上，即在上单调递增， 所以，则， 可得，又，可得； 综上，. 故选：A 44．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在两个极值点，， （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】(1)在R上单调递增. (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）当时，， ∴，当且仅当时取等号. ∴在R上单调递增. （2）（ⅰ）因存在两个极值点，， 则. 令，则方程有两个相异正根，. 等价于有两个相异正根，∴ 解得.∴a的取值范围为. （ⅱ）证明：由（ⅰ）可得 ∴ ∴， 设，结合∴，∴， ∴ . 若要证， 只需证，即，其中. 令，，则. 令，，则， ∴在上单调递增，有. ∴，得在上单调递增， ∴当时，得. 综上，可得. 45．已知函数，当时，取得极值. (1)求a，b的值； (2)若函数在区间上的最大值为2，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对函数求导得：. 因为当时，取得极值， 所以， 解得， 此时函数的解析式为，. 当或时，；当时，； 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 所以当时，函数取极小值，极小值为，即满足条件， 所以. （2）由（1）知，函数的解析式为，. 当或时，；当时，； 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 而， 所以要使得函数在区间上的最大值为2，则. 1．（2025·天津·二模）设函数在区间恰有三个极值点､两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数，其中，可得， 因为函数在区间恰有三条对称轴､两个零点， 由图象如图， 由图可知，，解得，所以的取值范围为. 故选：C. 2．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：，当时， ，故排除A； 对于B：当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，故排除B； 对于D，当时，，，所以在上单调递增，故排除D； 对于C，为偶函数，由可得，满足图象，故C正确. 故选：C． 3．（24-25高二下·天津西青·期中）定义在上的奇函数满足时，成立，若，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，当时，， 所以在上单调递减，又是奇函数， 则，所以为上的偶函数， 则在上单调递增，又， 所以，即， 故选：B. 4．（2025·天津红桥·二模）已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的 且 则取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知向量的夹角为的单位向量，则， 所以， 所以对任意的，且，则， 所以，即， 设，即在上单调递减， 又时，，解得， 所以在上单调递增； 在上单调递减，所以， 故选：A． 5．（2024·天津和平·二模）已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线：的焦点为，依题意可得， 直线方程为，即， 联立，可得，解得或， 又线段与在第一象限的交点为点，的横坐标为， 由，所以， 在点处的切线斜率为， 又在点处的切线平行于的一条渐近线， 双曲线的一条渐近线的斜率为， 双曲线的渐近线方程为． 故选：D． 6．（2024·天津河西·三模）已知函数（其中，），当时，的最小值为，，将的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 因为时，的最小值为， 所以的最小正周期为，且，所以，解得， 即， 又，可得直线是函数的一条对称轴， 所以，解得， 又，当时，，即， 将的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为， 则. 故选：B 7．（2025·天津·二模）若函数的图象关于直线对称，且恰有6个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因关于直线对称，则，且， 则且，解得， 则， 经检验：对任意恒成立， 即的图象关于直线对称， 则符合题意； 因恰有6个零点， 则与的函数图象有6个交点， 现研究函数的单调性： 因 ， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因， 则根据图象变换以及对称性可画出函数的图象： 由图象可知，，则的取值范围为. 故答案为：. 8．（2025·天津河东·二模）设函数，，若存在，使得，则的最小值为 . 【答案】1 【详解】因为，所以恒成立， 所以在上单调递增， 又因为， 且存在，使得，所以， 所以，令， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以,即,当时取等号. 所以（当时取等号，此时满足题意）， 所以的最小值为1. 故答案为：1. 9．（2025·天津·一模）已知函数 (1)若曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的值； (2)若函数存在唯一极值点，求的取值范围； (3)若函数存在极大值，记作，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由，则，求导可得， 所以切线斜率，切线方程为， 整理可得，令，解得，则，解得. （2）由（1）可知函数的导数， 由函数存在唯一极值点，则导数存在唯一变号零点， 即方程存在唯一根，整理可得， 令，即函数的图像与直线存在唯一交点， 求导可得，由当时，当时， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 由当时，，当时，，当时，，则， 当时，设方程的唯一根为， 当时，，即，当时，， 则函数存在唯一极值点， 所以的取值范围为. （3）由（1）可知函数的导数，令，则， 当时，易知方程存在两个根，设为，则， 当时，，即，当时，，当时，， 则函数在处取得极大值，由，则， 所以， 故， 由，则，故. 10．（2025·天津·二模）已知椭圆的离心率为，点P为椭圆上的动点，过点P作椭圆的切线，与圆交于A，B两点，线段AB长度的最小值为2. (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线OA，OB斜率乘积为定值（其中O为坐标原点）. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得， 椭圆方程为，圆化为圆， 设，则，当时，由，得， 求导得，直线的斜率； 当时，由，得，求导得， 直线的斜率， 因此当时，直线的方程为，整理得， 当时，点，直线的方程为，点，直线的方程为， 满足，于是对任意点，直线的方程为， 圆的圆心到直线距离， 而圆的半径为，，当且仅当时取等号， 因此，解得，所以椭圆方程为，即. （2）由（1）知，圆的方程为，直线方程为， 由消去得，设， 则，消去得， 则， 当时，点分别为圆与轴的交点，的斜率一个为0，一个不存在； 当时，的斜率都存在且不为0，斜率乘积为为定值. 1．（2005·天津·高考真题）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在区间 内有意义， 则， 设则 ， ( 1 ) 当 时， 是增函数， 要使函数在区间内单调递增， 需使 在区间内内单调递增， 则需使，对任意恒成立 , 即对任意恒成立； 因为时，所以与矛盾，此时不成立. ( 2 ) 当时，是减函数， 要使函数在区间内单调递增， 需使在区间内内单调递减， 则需使 对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因为， 所以， 又，所以. 综上，的取值范围是 故选：B 2．（2019·天津·高考真题）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，即， （1）当时，， 当时，， 故当时，在上恒成立； 若在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 当函数单增，当函数单减， 故，所以．当时，在上恒成立； 综上可知，的取值范围是， 故选C． 13．（2013·天津·高考真题）设函数，若实数满足，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：对函数求导得，函数单调递增，，由知，同理对函数求导，知在定义域内单调递增，，由知，所以. 4．（2010·天津·高考真题）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据题意，由于函数，对任意，恒成立，，分离参数的思想可知，, 递增，最小值为， 即可知满足即可成立故答案为． 5．（2008·天津·高考真题）已知函数，其中. （1）曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式； （2）讨论函数的单调性； （3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求b的取值范围. 【答案】（1）；（2）答案见解析；（3） 【详解】（1），，解得 由切点在直线上可得， 函数解析式为 （2） 当时，，函数在上单调递增， 当时，，解得 当变化时，的变化情况如下： + 0 - - 0 + 极大值 极小值 所以在和单调递增，和单调递减 （3）由（2）知，在上的最大值为和中较大者， 对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，对任意的成立，可得 6．（2004·天津·高考真题）已知函数在上满足，当时取得极值. （1）求的单调区间和极大值； （2）证明：对任意、，不等式恒成立. 【答案】（1）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值为；（2）证明见解析. 【详解】（1），由，得，可得. ，， 由于函数在处取得极值，则，解得， ， ，从而. 当时，，则函数在上是增函数； 在时，，则函数在上是减函数； 当时，，则函数在上是增函数. 所以，函数在处取得极大值，即； （2）由（1）知，函数在上是减函数， 当时，，. 所以，对任意、，不等式. 7．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2)2 (3)证明过程见解析 【详解】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. （2）设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. （3）先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 8．（2022·天津·高考真题）已知，函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1），故，而， 曲线在点处的切线方程为即. （2）（i）当时， 因为曲线和有公共点，故有解， 设，故，故在上有解， 设，故在上有零点， 而， 若，则恒成立，此时在上无零点， 若，则在上恒成立，故在上为增函数， 而，，故在上无零点， 故， 设，则， 故在上为增函数， 而，， 故在上存在唯一零点， 且时，；时，； 故时，；时，； 所以在上为减函数，在上为增函数， 故， 因为在上有零点，故，故， 而，故即， 设，则， 故在上为增函数， 而，故. （ii）因为曲线和有公共点， 所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故. 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， 故，所以， 下证：对任意，总有， 证明：当时，有，故成立. 当时，即证， 设，则（不恒为零）， 故在上为减函数，故即成立. 综上，成立. 下证：当时，恒成立， ，则， 故在上为增函数，故即恒成立. 下证：在上恒成立，即证：， 即证：，即证：， 而，故成立. 故，即成立. 9．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析. 【详解】（1）当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； （2）（i）令，， 得， 设， 则， 由解得或，其中，； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 且当时，； 当时，； 如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点. 结合图象可知，. 故的取值范围为； （ii）由图象可知，， 设，则， 满足，由可得， 两式作差可得， 则由对数均值不等式可得， 则，故要证， 即证，只需证， 即证，又因为，则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，即. 而由， 可知成立，故命题得证. 10．（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1），则， 所以，故处的切线斜率为； （2）要证时，即证， 令且，则， 所以在上递增，则，即. 所以时. （3）设，， 则， 由（2）知：，则， 所以，故在上递减，故； 下证， 令且，则， 当时，递增，当时，递减， 所以，故在上恒成立， 则， 所以，，…，， 累加得：，而， 因为，所以， 则， 所以，故； 综上，，即. 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$