第01讲 集合及其运算（专项训练）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 集合及其运算 目录 01 常考题型过关练 题型01 元素与集合的关系 题型02 集合中元素的特征 题型03 集合间的基本关系 题型04（真）子集的个数 题型05 数集的运算 题型06 点集的运算 题型07 Venn图的运算 题型08 利用集合的运算结果求参数 题型09 容斥原理 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 元素与集合的关系 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 3．集合 ，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25·南开中学·统练）数集满足：，，若，则一定有：（    ）. A． B． C． D． 5．已知集合，，则 A． B． C． D． 02 集合中元素的特征 6．下列说法中正确的是（   ） ①空集与表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④ 7．已知集合，若，则实数a的值为（    ） A． B． C．或 D．5 8．（24·南开大学附中）下列描述正确的有（    ） （1）很小的实数可以构成集合；（2）集合与集合是同一个集合； （3）这些数组成的集合有5个元素；（4）偶数集可以表示为. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 10．已知集合中有且仅有个元素，则实数的取值为 ． 03 集合间的基本关系 11．下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 12．已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．若，则集合间的关系为（    ） A． B． C． D． 16．已知集合且，集合，则（    ） A． B． C． D． 17．下列表达式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 18．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 04（真）子集的个数 19．已知集合，则的子集的个数是（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 20．已知集合，那么满足的集合的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 21．已知集合，则集合A的子集个数为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 05 数集的运算 22．若，则（    ） A． B． C． D． 23．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 24．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 25．（2025·天津·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 26．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 27．（2025·天津河东·二模）已知集合，，，则为（    ） A． B． C． D． 28．（2025·天津红桥·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．或 29．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 30．已知集合，集合则 . 31．已知全集，集合，集合，求： (1)； (2)； (3) 32．已知全集，若集合，． (1)若，求集合及； (2)若，求实数的取值范围． 33．设集合． (1)当时，求集合、； (2)若，求实数的取值范围； 06 点集的运算 34．已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 35．已知集合，，则中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 36．已知集合，，则中有 个元素． 07 Venn图的运算 37．已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 38．已知全集，集合则下图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高三·河北区·一模）如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 08 利用集合的运算结果求参数 40．已知集合.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 41．已知集合，，若，，则集合的个数为（   ） A．2 B．4 C．7 D．8 42．设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 09 容斥原理 43．为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”､“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 44．为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了洪崖洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（    ）人 A．24 B．26 C．28 D．30 45．为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 1．已知集合，，则 . 2．集合，则 . 3．集合，集合，则集合 . 4．已知集合，，若，则 . 5．集合，，则 . 6．设集合A={a|a2–a–2＜0，a∈Z}，则A的真子集共有 个． 7．已知集合，，若，则实数的值为 . 8．（2024·天津·三模）已知全集，集合，集合，则 ， ． 9．已知全集，集合，，，若，求实数的取值范围． 1．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国乙卷·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 集合及其运算 目录 01 常考题型过关练 题型01 元素与集合的关系 题型02 集合中元素的特征 题型03 集合间的基本关系 题型04（真）子集的个数 题型05 数集的运算 题型06 点集的运算 题型07 Venn图的运算 题型08 利用集合的运算结果求参数 题型09 容斥原理 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 元素与集合的关系 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知， 故A正确，BC错误， 集合不是集合的子集，故D错误. 故选：A. 2．若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，则，符合题意， 当时，有或，已知当时符合题意， 当时，则，符合题意， 故的取值集合为. 故选：C. 3．集合 ，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为且，所以且，解得. 故选：B. 4．（25·南开中学·统练）已知数集满足：，，若，则一定有：（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助交集与并集的性质推导即可得. 【详解】由，， 故、或、， 由，故，故C正确，D错误； 同理，、或，，故A、B错误. 故选：C. 5．已知集合，，则 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析：利用指数函数的性质化简集合，利用一元二次不等式的解法化简集合，逐一验证选项即可. 详解：， ， ，故选D. 点睛：本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇. 02 集合中元素的特征 6．下列说法中正确的是（   ） ①空集与表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④ 【答案】C 【详解】对于①，集合中有个元素，而中没有元素，两集合不相等，故①错误； 对于②，由1，2，3组成的集合可表示为或，故②正确； 对于③，方程的所有解的集合可表示为，故③错误； 对于④，集合为无限集，不能用列举法表示，故④错误. 故选：C. 7．已知集合，若，则实数a的值为（    ） A． B． C．或 D．5 【答案】B 【分析】根据题意可得或解方程，再利用集合元素的互异性即得. 【详解】因为，， 当时，解得，此时，不满足集合的互异性， 故（舍去）， 当，解得（舍去）或，此时，满足题意， 故实数的值为. 故选：B. 8．（24·南开大学附中）下列描述正确的有（    ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合与集合是同一个集合； （3）这些数组成的集合有5个元素； （4）偶数集可以表示为. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】利用集合的确定性判断（1）；集合的元素的属性判断（2）；集合的元素的互异性判断（3）；集合的含义判断（4），即可得出正确选项. 【详解】对于（1），很小的实数可以构成集合；不满足集合的确定性，故不正确； 对于（2），集合中的元素为实数； 集合中的元素为点的坐标， 集合的属性不同，故不是同一个集合，故不正确； 对于（3），这些数组成的集合中， 由于，，由集合元素的互异性， 集合中的元素不是5个，故不正确； 对于（4），偶数集可以表示为，正确，符合集合的含义； 故选：B 9．已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 【答案】D 【详解】若，则，符合题意； 若，则变为，显然不成立， 则，不符合题意； 当，即时，则，解得（舍）或， 10．已知集合中有且仅有个元素，则实数的取值为 ． 【答案】或 【详解】由题意可知，有1个实数根，则或， 解得或 故答案为：或 03 集合间的基本关系 11．下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】依据子集定义，任何集合都是自身的子集，①正确； 集合中的元素具有无序性，②正确； 集合中有一个元素0，不是空集，③正确； 0是集合中的元素，所以，④正确； 空集和集合两个集合的关系为包含关系不是属于关系，⑤错误； 由于空集是任意集合的子集，则，⑥正确； 故选：C 12．已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，因为，则. 故选：A. 13．已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，即，解得或， 所以或，因为且， 若时，若时，不符合题意，所以， 则或，所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：D 14．已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为， 故选： C. 15．若，则集合间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知集合及且，可得结论. 【详解】且， 所以. 故选：B. 16．已知集合且，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知集合分析判断集合间的关系及集合的运算判断各个选项. 【详解】由题意可得：集合M表示能被20整除的正整数， 而集合N表示能被40整除的整数，则不具有包含关系，AB选项错误； 为能被40整除的整数及能被20整除的正整数， 而表示能被20整除的非负整数，C错误； 据此可得，集合N与集合M的公共元素为能被40整除的正整数， 即，D正确. 故选：D. 17．下列表达式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系，逐项判断得解. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，中无任何元素，而有一个元素0，B错误； 对于C，或，因此，C正确； 对于D，数对满足，则，D正确. 故选：B 18．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得集合，且，分和两种情况，结合包含关系分析求解. 【详解】由题意可知：集合，， 由，可知， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围为. 故选：A. 04（真）子集的个数 19．已知集合，则的子集的个数是（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【详解】由，解得， 所以， 所以的子集有个. 故选：B 20．已知集合，那么满足的集合的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】由题意得或或， 则满足题意的的个数是3. 故选：B. 21．已知集合，则集合A的子集个数为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【详解】由，得或， 解得或空集， 又，所以， 则集合A的子集个数为. 故选：C 05 数集的运算 22．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 由得，，即，则， 故. 故选：B 23．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合， ， 则. 故选：B. 24．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故. 故选：C. 25．（2025·天津·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的交，补运算求解即可. 【详解】因为， 故选：C. 26．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解一元二次不等式，再应用交集定义计算求解. 【详解】且 所以， 故选：C 27．（2025·天津河东·二模）已知集合，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的混合运算可得. 【详解】. 故选：B 28．（2025·天津红桥·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】解不等式，得到，利用并集概念求出答案. 【详解】，又， 所以. 故选：B 29．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将集合化简，再由集合的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， ，， 则，所以. 故选：B 30．已知集合，集合则 . 【答案】 【分析】根据指数函数的性质化简集合A，根据对数函数的性质化简集合B，再根据交集的定义得到答案. 【详解】因为， ， 所以， 故答案为：. 31．已知全集，集合，集合，求： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求出集合，利用交集的意义即可求解； （2）利用补集的意义与并集的意求解即可； （3）利用并集和补集的意义求解即可. 【详解】（1）解不等式，得或， 所以； 由，得，解得，； 所以； （2）因为，所以， 所以； （3）， ， ，. 32．已知全集，若集合，． (1)若，求集合及； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；或 (2) 【分析】（1）将集合化简，再由集合的运算，即可得到结果； （2）根据题意，分与讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由可得，解得或， 所以或， 当时，， 则或. （2）当时，，即， 此时满足； 当时，要使， 则，解得； 综上所述，实数的取值范围. 33．设集合． (1)当时，求集合、； (2)若，求实数的取值范围； 【答案】(1)，或； (2) 【分析】（1）直接代入解出分式不等式和一元二次不等式即可； （2）求出，或，再根据并集的含义即可得到不等式组，解出即可. 【详解】（1）当时，或， 由，得，则有， 解得，所以； （2）由，得， 解得，所以， 由（1）得，则或， 由于， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 06 点集的运算 34．已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】将代入，得，解得或0， 所以.则中元素的个数为3个. 故选：C 35．已知集合，，则中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，消整理得到，解得或， 当时，，当时，，所以， 故选：C. 36．已知集合，，则中有 个元素． 【答案】2 【详解】易知集合表示抛物线上的所有点的集合，集合表示圆心在坐标原点，半径为1的圆上的所有点的集合， 显然表示两图形的交点个数，画出两函数图象如下图所示: 显然仅有两个交点，因此中有2个元素. 故答案为：2 07 Venn图的运算 37．已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的并集和补集的定义，结合韦恩图，即可求解. 【详解】因为集合，则， 所以图中阴影部分表示的集合是， 故选：A. 38．已知全集，集合则下图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知，阴影部分表示的是A中的元素除去A与B的交集中的元素后剩下的元素，得解. 【详解】解：由图可知，阴影部分表示的是A中的元素除去A与B的交集中的元素后剩下的元素． 即， 所以阴影部分所表示的集合是， 故选：B． 【点睛】本题考查了韦恩图，重点考查了集合交、并、补的运算，属基础题. 39．（24-25高三·河北区·一模）如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据韦恩图得出阴影部分表示的集合是，利用集合的交并补运算即得. 【详解】由图知阴影部分表示的集合是, 因，， 则，故. 故选：D. 08 利用集合的运算结果求参数 40．已知集合.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得，解得，所以， 因为，所以，所以. 所以的取值范围为. 故选：A. 41．已知集合，，若，，则集合的个数为（   ） A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【详解】由题意知，则集合为，，，共4个. 故选：B． 42．设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 【答案】B 【详解】由补集知且，对比得， 则. 故选：B 09 容斥原理 43．为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”､“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【详解】设擅长语文的同学构成集合，擅长英语的同学构成集合，20人代表队构成全集， 则，，，， ， ， 所以语文和英语均不擅长的同学人数为人. 故选：C. 44．为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了洪崖洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（    ）人 A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】C 【详解】设去了洪崖洞的同学组成集合，去了南山一棵树的同学组成集合，去了磁器口的同学组成集合， 依题意，， 而，由容斥原理得， 解得，所以只去了一个地方的有(人). 故选：C 45．为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 【答案】17 【详解】设集合，集合， 集合， 设三项活动都参加的人数为， 则， 则由题意可得， 即， 解得． 故答案为：17 1．已知集合，，则 . 【答案】 【分析】根据对数不等式以及一元二次不等式化简集合，即可由交集运算求解. 【详解】由得，， 所以， 故答案为： 2．集合，则 . 【答案】 【分析】先解不等式确定集合与集合的元素，再利用集合的交集运算得到答案. 【详解】由得，即，所以， 由，即，解得，所以， 所以. 故答案为：. 3．已知集合，集合，则集合 . 【答案】 【分析】解绝对值不等式与分式不等式，进而求出交集. 【详解】，， 所以. 故答案为： 4．已知集合，，若，则 . 【答案】或0 【分析】由题可得或，解出即可. 【详解】因为，所以或，解得或. 又由集合中元素的互异性，排除，所以或0. 故答案为：或0. 5．集合，，则 . 【答案】 【分析】求出与，进而求出. 【详解】，解得：，故，解得：，故，所以 故答案为： 6．设集合A={a|a2–a–2＜0，a∈Z}，则A的真子集共有 个． 【答案】3 【分析】求得集合元素的个数，由此求得的真子集的个数. 【详解】， 由于，所以， 集合有个元素，其真子集的个数为个. 故答案为： 7．已知集合，，若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由可得出或，并验证是否成立，由此可求得实数的值. 【详解】集合，，，则或，解得或. 当时，，则，合乎题意； 当时，，则，不合乎题意. 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用交集的运算结果求参数，考查计算能力，属于基础题. 8．（2024·天津·三模）已知全集，集合，集合，则 ， ． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得和，结合集合运算法则，即可求解. 【详解】由全集， 集合，集合， 可得，则，. 故答案为：；. 9．已知全集，集合，，，若，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】先求出集合A、B，分类讨论求出集合C，结合集合的基本运算，从而求得a的取值范围． 【详解】，或，或，， 而， （1）当时，，显然不成立． （2）当时，，不成立． （3）当时，，要使，只需，即． 综上知实数的取值范围是． 1．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 2．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 3．（2023·全国乙卷·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 4．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则或，选项D错误； 故选：A. 5．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，而， 所以. 故选：A 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】依题意，等差数列中，， 显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又， 则在中，或或 于是有或， 即有，解得； 或者，解得； 所以，或. 故选：B 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$