精品解析：湖南省永州市雅思高级中学2024-2025学年高二下学期7月中旬期末数学试题

雅思高级中学2025年7月中旬高二下期期末 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 有8位同学一次数学测试的分数分别是：111，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是（ ） A. 130 B. 132 C. 134 D. 136 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. 3 B. C. D. 4. 若数列的前项和，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为，准线为，过上的一点作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），且的面积为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 设A，B为两个事件，已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2023年10月份诺贝尔奖获奖名单已经全部揭晓，某校为调研同学们对诺贝尔奖获奖科学家的了解程度，随机调查了该校不同年级的8名同学所知道的获得过诺贝尔奖的科学家人数，得到一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（ ） A. 这组数据的众数为1 B. 这组数据的极差为2 C. 这组数据的平均数为2 D. 这组数据的40%分位数为1 10. 已知点在圆上，点，，则（ ） A. 存在点，使得 B. C. 存在点，使得 D. 11. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点为A，直线l与以O为圆心，为半径的圆相切，切点为P．则（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. 当直线与双曲线C的一条渐近线重合时，直线l过双曲线C的一个焦点 C. 当直线l与双曲线C的一条渐近线平行时，若直线l与双曲线C的交点为Q，则 D. 若直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于D，E两点，与双曲线C分别交于M，N两点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位圆上一点，现将点A绕圆心逆时针旋转到点，则点的横坐标为_________. 13. 在数列中，，，其中是自然对数的底数，令，则____________． 14. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为______． 四：解答题 15. 如图，已知平面四边形中，，，. （1）若四点共圆，求； （2）求四边形面积的最大值. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知数列的前项和为，满足，数列是等比数列，公比. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，其中. （i）求数列的前2024项和； （ii）求. 18. 某学校为了了解老师对“民法典”知识的认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次“民法典”知识竞答，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. （1）根据频率分布直方图，估计这人年龄的第75百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取40人，担任“民法典”知识的宣传使者. ①若有甲（年龄23），乙（年龄43）两人已确定入选宣传使者，现计划从第一组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人恰有一人被选上的概率； ②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 19. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若恒成立，求的取值集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅思高级中学2025年7月中旬高二下期期末 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 有8位同学一次数学测试的分数分别是：111，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是（ ） A. 130 B. 132 C. 134 D. 136 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义进行求解. 【详解】解：因为， 所以这组数据的75百分位数是. 故选：C． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解对数不等式得到集合，由指数函数的值域得到集合，由集合的交集运算得到. 【详解】由，得，则 又由，当时，，则， 所以. 故选：A． 3. 已知向量，满足，，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直得到，再根据投影向量的公式计算得到答案. 【详解】，则，故， 在方向上的投影向量. 故选：D. 4. 若数列的前项和，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求出，得到是首项为12，公差为12的等差数列，利用等差数列求和公式求出答案. 【详解】因为数列的前项和， 所以当时，，两式相减，得 ， 当时，也符合该式，所以， ， 所以数列是首项为12，公差为12的等差数列， 所以. 故选：C． 5. 已知抛物线的焦点为，准线为，过上的一点作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），且的面积为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】表达出和点坐标，利用的面积求出，即可得出的方程. 【详解】由题意， 在抛物线中，， 焦点，准线 ∴，，则 ∴，解得： ∴的方程为：. 故选：C. 6. 设A，B为两个事件，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【详解】由，得，显然， 因此，所以． 故选：B 7. 在中，角所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件利用正弦定理得的关系，由余弦定理可得，结合三角形面积公式求得的表达式，根据二次函数的性质可求得最大值，进而得解. 【详解】因为， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理得， 所以， 令，则，当且仅当，即时取等号， 所以， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查的知识并不算困难，但计算量较大，解决的关键是熟练掌握数学的计算，做到不出错即可得解. 8. 已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用韦达定理求以及线段AB的中垂线的方程，进而可求点D和，结合运算求解即可. 【详解】设双曲线的右焦点为，则直线， 联立方程，消去y得：， 则可得， 则， 设线段的中点，则， 即， 且，线段的中垂线的斜率为， 则线段的中垂线所在直线方程为， 令，则，解得， 即，则， 由题意可得：，即， 整理得，则， 注意到双曲线的离心率， ∴双曲线的离心率取值范围是. 故选：A. 【点睛】方法定睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法 求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值（或范围）． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2023年10月份诺贝尔奖获奖名单已经全部揭晓，某校为调研同学们对诺贝尔奖获奖科学家的了解程度，随机调查了该校不同年级的8名同学所知道的获得过诺贝尔奖的科学家人数，得到一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（ ） A. 这组数据的众数为1 B. 这组数据的极差为2 C. 这组数据的平均数为2 D. 这组数据的40%分位数为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据众数的定义可判断A的正误，根据极差公式或均值公式或百分位数计算方法可判断BCD的正误，故可得正确的选项. 【详解】数据从小到大排列为1，1，1，1，2，2，4，4． 对于A，该组数据的众数为1，故A正确； 对于B，极差为，故B错误； 对于C，平均数为，故C正确； 对于D，，这组数据的分位数为第4个数1，故D正确． 故选：ACD. 10. 已知点在圆上，点，，则（ ） A. 存在点，使得 B. C. 存在点，使得 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断A、B，设，若，推出恒成立，即可判断C、D. 【详解】圆即，圆心，半径，又， 所以，因为点在圆上，所以， 所以存在点，使得，故A对． 因为，所以点在圆外，又，点在圆内， 所以当与圆相切时，取最大值， 此时，所以，故B对． 对于D，设，若 ， 又点在圆上，一定成立，故D对，C错. 故选：ABD． 11. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点为A，直线l与以O为圆心，为半径的圆相切，切点为P．则（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. 当直线与双曲线C的一条渐近线重合时，直线l过双曲线C的一个焦点 C. 当直线l与双曲线C的一条渐近线平行时，若直线l与双曲线C的交点为Q，则 D. 若直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于D，E两点，与双曲线C分别交于M，N两点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线离心率的求法判断A；设直线l与渐近线重合，点P位于第四象限，直线l与x轴的交点为T，通过计算得判断B；设直线l的方程为，根据相切求出直线方程为直线l的方程为，联立直线方程与双曲线方程求出点坐标，进而求出，判断C选项；P的坐标为，可得直线l的方程为，分别联立直线与渐近线方程和双曲线方程，分别求得线段DE的中点的横坐标和线段MN的中点的横坐标，证明相同，判断D. 【详解】对于A选项．由，，，可得双曲线C的离心率为，故A选项正确； 对于B选项，双曲线C的渐近线方程为． 由对称性，不妨设直线OP与渐近线重合，点P位于第四象限， 记直线l与x轴的交点为T，由直线的倾斜角为，有， 又由，可得．又由，故直线l过双曲线C的一个焦点，故B选项正确； 对于C选项，当直线l与双曲线C的一条渐近线平行时，由对称性， 不妨设直线l的方程为（其中），有，可得， 直线l的方程为，联立方程解方程组可得点Q的坐标为． 可得，故C选项错误； 对于D选项，设点P的坐标为，可得直线l的方程为．其中． 联立方程解得，联立方程 解得， 可得线段DE的中点的横坐标为，联立方程， 消去y后整理为， 可得线段MN的中点的横坐标为， 可得线段和的中点相同，故有，故D选项正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题第四个选项，证明，如果直接证明长度等于长度计算量较大，本题采用了线段DE的中点的横坐标和线段MN的中点的横坐标相等来证明，更最直观简便. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位圆上一点，现将点A绕圆心逆时针旋转到点，则点的横坐标为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义以及两角和的正弦、余弦公式计算即可. 【详解】令坐标原点为，以射线为终边的角为，则以射线为终边的角为， 则，， 所以点的横坐标为. 故答案为： 13. 在数列中，，，其中是自然对数的底数，令，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，两式相加，结合等比数列的求和公式和对数的运算法则，即可求解. 【详解】由，得， 则， 则，故． 故答案为：. 14. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】求出函数的导数，可得的表达式，由此化简推出，结合说明，继而利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由于， 故， 故，， 则 ， 由，得， 由，即，知位于之间， 不妨设，则， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故则的最小值为18， 故答案为：18 【点睛】关键点睛：本题考查了导数的几何意义以及不等式求最值的应用，解答的关键是利用导数的表达式推出，并说明，然后利用基本不等式求最值即可. 四：解答题 15. 如图，已知平面四边形中，，，. （1）若四点共圆，求； （2）求四边形面积的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用余弦定理有，结合四点共圆有，即可求； （2）由（1）得，应用三角形面积公式得且为四边形面积，两式作平方相加、应用和角余弦公式得，即可求最值. 【小问1详解】 在中， 在中， 因为四点共圆，所以，则， 上述两式相加得，所以（负值舍）. 【小问2详解】 由（1）得，化简得， 则，① 四边形的面积 ， 整理得， 则，② ①②相加得， 即， 由于，当且仅当时，取得最小值， 此时四边形的面积最大，由，解得， 故四边形面积的最大值为. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 设中点为，连接，因为为等边三角形，故， 由题意，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，故， 又，，平面，故平面， 由平面，故， 又M为的中点，为等边三角形，则， 因为，平面，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）设中点为，连接，由等边三角形、面面垂直的性质得、，再由线面垂直的性质、判定证明结论； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，并求出直线与平面的方向向量、法向量，再应用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，故， 连接，，则， 即四边形为平行四边形，故，所以， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设直线与平面所成角为θ，， 则. 17. 已知数列的前项和为，满足，数列是等比数列，公比. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，其中. （i）求数列的前2024项和； （ii）求. 【答案】（1）， （2）（i），（ii） 【解析】 【分析】（1）利用的关系作差结合等比数列的定义计算可求和的通项公式； （2）（i）根据题意利用等比数列求和公式结合分组求和法计算即可，（ii）根据题意先得出，利用等比数列求和公式及分组求和法计算即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以， 显然符合上式，所以， 由题意， 所以. 【小问2详解】 （i）易知， 即数列的前2024项中有项分别为，其余项均为1， 故数列的前2024项和； （ii）由（1）知，而， 所以， 易知，， 所以 18. 某学校为了了解老师对“民法典”知识的认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次“民法典”知识竞答，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. （1）根据频率分布直方图，估计这人年龄的第75百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取40人，担任“民法典”知识的宣传使者. ①若有甲（年龄23），乙（年龄43）两人已确定入选宣传使者，现计划从第一组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人恰有一人被选上的概率； ②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图由百分位数的定义代入计算即可得出结果； （2）用列举法列出所有的基本事件数，根据古典概型的公式计算所求概率，由方差的公式即可求解. 【小问1详解】 设这人年龄的第75百分位数为， 根据百分位数定义可得， 解得. 【小问2详解】 ①由题意得，第一组应抽取2人，记为，甲，第五组抽取4人，记为，，，乙. 对应的样本空间为： ，共15个样本点. 设事件“甲､乙两人恰有一人被选上”， 则，共有8个样本点. 所以，. ②设第四组､第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，. 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为. 则，， 因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为. 据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为. 19. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若恒成立，求的取值集合. 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导，并判断导函数的符号，即可求出函数的单调区间； （2）先求的单调区间，再分情况进行讨论，当时，通过举反例得到不满足题意，则，将恒成立等价于，令，利用导数研究的最值，即可求出的取值. 【小问1详解】 由，得，定义域为， 则， 当时，，当时，， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由，，得， 若，则显然，不符合题意， 若，令，解得， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ， 则，即， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，当满足时，， 所以的取值集合为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $