精品解析：湖南省娄底市第三中学2024-2025学年高一下学期期末质量监测考试数学试题B

2024—2025学年（下）高一年级期末质量监测考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，且，则（ ） A. 或 B. 3 C. D. 3. 如图，矩形是用斜二测画法画出水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么平面四边形的面积为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 4. 一组样本数据10，12，12，18，19，22，31，35，41，50的分位数是（ ） A. 31 B. 33 C. 34 D. 35 5. 下列条件中能确定直线与平面平行的是（ ） A. ， ， B. ， C. ， ， ， D. ， ， ， ， ，且 6. 已知点，将向量绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为（ ） A B. C. D. 7. 在正方形ABCD中，已知是AB中点，现以DE为折痕将折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，此时三棱锥外接球的体积为，则（ ） A. B. C. D. 8. 在一组数3，3，8，11，28中插入两个整数，，使得新的一组数极差为原来极差的两倍，且众数和中位数保持不变，则的最大值为（ ） A. 57 B. 58 C. 60 D. 61 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一分钟跳绳是中考体育选考项目之一.小明在平时训练时通常会将自己的训练成绩记录下来，以此评估自己的训练成果.小明记录了他在3月份的10次训练成绩和4月份的20次训练成绩.通过计算，他发现3月份的训练成绩的平均值为177，方差为5.4；4月份的训练成绩的平均值为186，方差为6.3.下列结论正确的是（ ） A. 小明这两个月的30次训练成绩的平均数为181.5 B. 小明这两个月的30次训练成绩的平均数为183 C. 小明这两个月的30次训练成绩的方差为6 D. 小明这两个月的30次训练成绩的方差为24 10. 如图，四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点．则平面的一个充分条件可以为（ ） A. B. 平面 C. D. 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则只有一解 B. 若，则钝角三角形 C. 若外心为O，，，则 D. 若，则的形状是直角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个公司共有名210员工，要采用按比例分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为30的样本．已知某部门有70名员工，那么从这一部门抽取的员工人数为______． 13. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则______． 14. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的外接球体积为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，，O为坐标原点． （1）求向量与的夹角； （2）求的面积． 16. 已知函数的图象经过，，三点，且的最小值为． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； 17. 已知复数，则 （1）当实数m取什么值时，z是实数； （2）当实数m在什么范围时，z在复平面内对应的点在第二象限． 18. 某高中举行了一次知识竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，依次分为五组()．请根据下面的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a的值； （2）从样本数据在两个小组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，其中.已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的95和81这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 19. 如图，在直三棱柱中，是棱的中点，，，． （1）求三棱柱的外接球的体积； （2）求直线与平面所成的角的余弦值； （3）求二面角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年（下）高一年级期末质量监测考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的概念可得结果. 【详解】由题意可得. 故选：C. 2. 已知向量，且，则（ ） A. 或 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示求解. 【详解】因为向量，且， 所以，即，解得或． 故选：A． 3. 如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么平面四边形的面积为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测作图法，还原出原图形，根据原图形性质，求出原图形面积. 【详解】 设四边形交轴于， 由，则，则， 原图，且，所以平面四边形是平行四边形， 则原图面积， 故选：D． 4. 一组样本数据10，12，12，18，19，22，31，35，41，50的分位数是（ ） A. 31 B. 33 C. 34 D. 35 【答案】D 【解析】 【分析】题中的样本数据已经按照从小到大的顺序进行排列，因此直接根据分位数的定义和计算方法求解即可. 【详解】依题意，该组样本数据已经按照从小到大的顺序进行排列，且该组样本共10个数据，， 算得小数，向下取整，因此取第8个数作为分位数，即分位数为35. 故选：D. 5. 下列条件中能确定直线与平面平行的是（ ） A. ， ， B. ， C. ， ， ， D. ， ， ， ， ，且 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，根据线面平行的判定定理即可判断；对于B，由 ，，分析出或即可判断；对于C，由条件分析出或即可判断；对于D，由条件分析出或，或直线与平面相交即可判断. 【详解】由 ， ，，根据线面平行的判定定理可知，故A正确； 由 ，，可知或，故B错误； 由 ， ， ，，可知或，故C错误； ， ， ， ，，且， 则可能或，或直线 与平面相交，故D错误. 故选：A 6. 已知点，将向量绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设向量与正半轴夹角为，则，由题可知，利用三角和角公式求值即可. 【详解】设向量与正半轴夹角为，则， 向量绕原点逆时针旋转得到，则， 又， ， 所以. 故选：A. 7. 在正方形ABCD中，已知是AB中点，现以DE为折痕将折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，此时三棱锥外接球的体积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据条件可知三角形DEC的外心为即为球心，然后表示出半径计算即可. 【详解】由题意，当平面垂直平面时，三棱锥的高有最大值，此时体积最大. 是直角三角形，取斜边DE的中点，则为直角三角形ADE的外心，设等腰三角形DEC的外心为，连接OG，则直线平面， 则，即为三棱锥的外接球的球心， 在中，， 则，得， 由正弦定理可知，外接球半径 则其体积为. 故选：B 8. 在一组数3，3，8，11，28中插入两个整数，，使得新的一组数极差为原来极差的两倍，且众数和中位数保持不变，则的最大值为（ ） A. 57 B. 58 C. 60 D. 61 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得插入的两个数不可能都是；可得一个为，另一个数不小于8，由极差加倍，则另一个数为，若插入的两个数是不等的且不是，，，，且极差为，进而可得，进而可求的最大值. 【详解】若插入两个整数后众数不变，则插入的数可以是“两个都是”，或是“一个为，另一个不是”， 或是“两个不等的且不是，，”． ①因为新的一组数极差加倍，所以插入的两个数不可能都是； ②因为中位数保持不变，若插入的数“一个为，另一个不是”，则一个为，另一个数不小于， 又因为极差加倍，则另一个数为，此时； ③若插入的两个数是不等的且不是，，，，且极差为，中位数保持不变， 则两个数可以为 ，，，，，，， 所以，的最大值为． 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一分钟跳绳是中考体育选考项目之一.小明在平时训练时通常会将自己训练成绩记录下来，以此评估自己的训练成果.小明记录了他在3月份的10次训练成绩和4月份的20次训练成绩.通过计算，他发现3月份的训练成绩的平均值为177，方差为5.4；4月份的训练成绩的平均值为186，方差为6.3.下列结论正确的是（ ） A. 小明这两个月的30次训练成绩的平均数为181.5 B. 小明这两个月的30次训练成绩的平均数为183 C. 小明这两个月的30次训练成绩的方差为6 D. 小明这两个月的30次训练成绩的方差为24 【答案】BD 【解析】 【分析】计算出两个月的30次训练的平均数，进而代入层抽样的样本方差公式进行计算即可. 【详解】对于AB，这两个月的30次训练的平均数为，故A错误，B正确； 对于CD，故这两个月的30次训练的方差为，故C错误，D正确. 故选：BD. 10. 如图，四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点．则平面的一个充分条件可以为（ ） A B. 平面 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】连接，通过中位线定理证明，将平面转化为平面.所以寻找平面内与或垂直的直线即可 【详解】 连接交于点O， 选项A，分别为的中点， ， A选项，∵底面为菱形，， 又，且，平面，平面 平面，A正确 选项B，平面，且平面，， ∵底面为菱形，， 又，平面，平面 平面 平面，B正确 选项C，，∵底面为菱形，， 条件不足以证明平面，C错误 选项D，，且为中点， ∵底面为菱形，， 又，平面，平面 平面 平面，D正确 故选：ABD 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则只有一解 B. 若，则为钝角三角形 C. 若的外心为O，，，则 D. 若，则的形状是直角三角形 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据三角形解的个数得判定即可判断；对于B，由向量数量积的定义可得即可判断；对于C，根据的外心为，所以为垂直平分线的交点，再利用数量积的定义即可求；对于D，由正弦定理及正弦和角公式化简可得，即可得判定的形状是直角三角形或等腰三角形. 【详解】对于A，因为，所以只有一解，故A正确； 对于B，， 又，所以，则为钝角三角形，故B正确； 对于C，的外心为，所以为垂直平分线的交点， ，故C错误； 由正弦定理得， ， 即， 所以或， 所以的形状是直角三角形或等腰三角形，故D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个公司共有名210员工，要采用按比例分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为30的样本．已知某部门有70名员工，那么从这一部门抽取的员工人数为______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据分层抽样的概念列出比例式求解即可. 【详解】设这一部门抽取的员工人数为， 由题意可知，解得， 所以从这一部门抽取的员工人数为， 故答案为： 13. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求解复数的模长. 【详解】因为复数对应的点的坐标是， 所以 故答案为：． 14. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的外接球体积为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，由此作出圆锥的外接球的草图，根据勾股定理即可求出外接球半径，然后再根据球的体积公式，即可求出结果． 【详解】由于圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆， 所以圆锥的底面圆周长为，母线长为2， 所以圆锥底面圆的半径，圆锥的高为， 所以圆锥的轴截面为边长为2的正三角形， 作出圆锥的外接球的草图，如下： 则，设外接球的半径为，则， 在中，， 所以，解得， 所以圆锥的外接球的体积为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，，O为坐标原点． （1）求向量与的夹角； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求得，然后由向量夹角的计算公式求解即可； （2）计算出，结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由题意，因为， 所以，解得， 所以， 所以向量与的夹角的余弦值为， 故向量与的夹角为； 【小问2详解】 因为，与的夹角为， 所以的面积为. 16. 已知函数的图象经过，，三点，且的最小值为． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可求出最小正周期，从而可得，再结合，可求得，，再结合，从而可求解. （2）结合（1）中结论再利用整体代换法即可求解. 【小问1详解】 ）由题意的图象经过，三点，且的最小值为， 可得的最小正周期，则，解得． 则， 由， 故，， 又因为，所以． 故． 【小问2详解】 由于，所以， 故，． 所以函数值域为． 17. 已知复数，则 （1）当实数m取什么值时，z是实数； （2）当实数m在什么范围时，z在复平面内对应的点在第二象限． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的类型得到方程和不等式，求出答案； （2）根据所在象限得到不等式组，求出答案. 【小问1详解】 由题意得且，解得； 【小问2详解】 由题意得，解得， 故当时，z在复平面内对应的点在第二象限. 18. 某高中举行了一次知识竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，依次分为五组()．请根据下面的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a的值； （2）从样本数据在两个小组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，其中.已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的95和81这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【答案】（1） （2） （3）88；19 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出. （2）求出两个小组的频率比，结合分层抽样求出两个区间内各抽取的人数，再借助组合计数问题求出概率. （3）求出剔除两个数据后的平均数，再利用方差的定义求出方差. 【小问1详解】 依题意，， 所以. 【小问2详解】 由频率分布直方图知：在两个小组内的学生人数比为， 所以抽取7名学生中，来自的分别为2人、5人， 随机选出2人，两人恰好来自不同小组的概率. 【小问3详解】 依题意，，， 剔除的两个为的数后余下数据的平均数为， 此时方差为. 19. 如图，在直三棱柱中，是棱的中点，，，． （1）求三棱柱的外接球的体积； （2）求直线与平面所成的角的余弦值； （3）求二面角的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意找出外接球的球心，再用勾股定理求出半径，进而即可求出外接球的体积； （2）先根据线线垂直，线面垂直的性质及勾股定理证明是直线与平面所成的角，从而求出其余弦值，进而即可得到答案． （3）取的一点，使，且连接，从而根据线面垂直，线线垂直的性质证明是二面角的平面角，再根据勾股定理，余弦定理及三角函数的定义求出，，，进而根据余弦定理求出，进而即可得到答案． 【小问1详解】 取的中点，取的中点，连接，且交于， 由，且，则是等腰直角三角形， 所以是的外心，同理是的外心， 所以是直三棱柱的外接球的球心， 又， 则外接球的半径为， 三所以棱柱外接球的体积是． 【小问2详解】 在直三棱柱中，平面， 又平面，则， 由，且，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 由是棱的中点， 则，， 则，所以， 又，，平面， 所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 由平面，则， 又，， 则， 所以直线与平面所成的角余弦值是． 【小问3详解】 取的一点，使，且连接， 由（2）有， 又平面平面，所以是二面角的平面角， 在中，有，，， 由余弦定理有， 则，， 则， 所以，， 在中，有，，， 则，所以， 所以， 所以在中， 由余弦定理得， 在中，有，，， 则由余弦定理有， 又，所以， 故二面角的平面角是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $