专题12 找规律、新定义、动点问题与图形变换（新疆专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题12 找规律、新定义、动点问题与图形变换（原卷版） 考点1 找规律与新定义 1．（2022·新疆·中考真题）将全体正偶数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第10行第5个数是（    ） A．98 B．100 C．102 D．104 2．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ． 考点2 动点问题与图形变换 3．（2021·新疆·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，．点P从点A出发，以2cm/s的速度在矩形的边上沿运动，当点P与点D重合时停止运动．设运动的时间为（单位：s），的面积为S（单位：），则S随t变化的函数图象大致为（   ） 4．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．      5．（2023·新疆·中考真题）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．    6．（2022·新疆·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心将绕点D顺时针旋转与恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若，则 ． 7．（2021·新疆·中考真题）如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将按逆时针方向旋转得，连接EF，分别交BD，CD于点M，N．若，则 ． 8．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）如图1，是等边三角形，点D在边上，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线匀速运动，到达点A后停止，连接，设点P的运动时间为，为，当动点P沿匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示，有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点P沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2025·乌鲁木齐经开区·学业水平监测）如图1，在中，连接，，．动点从点出发，沿边匀速运动．运动到点停止．过点作交边于点，连接，．设，，与的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（  ） A． B． C． D． 10．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图1，在正方形中，，分别为边，上的动点，且．设，两点之间的距离为，的面积为，与的函数关系图象如图所示．已知点的横坐标为，则点的纵坐标为(   ) A． B． C． D． 12．（2025·乌鲁木齐水磨沟区·一模）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 13．（2025·乌鲁木齐一中·一模）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·乌鲁木齐兵一·模拟预测）在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，，连接、，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·乌鲁木齐·三月学业水平测试）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上的一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则下列结论中: ①；②；③tan∠EAF=；④正确的是（） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 16．（2025·吐鲁番市·三模）如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（    ） A． B． C． D． 17．（2025·吐鲁番市·一模）如图，等边的边长为，动点P从点A出发，以每秒的速度，沿A→B→C→A的方向运动，当点P回到点A时运动停止．设运动时间为x（秒），，则y关于x的函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 18．（2025·喀什地区·二模）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（　　） A． B． C． D． 19．（2025·和田地区·三模）如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小的正方形与交于点与交于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积等于正方形面积的四分之一； ④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 20．（2025·伊宁市·九年级阶段性质量抽测）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A．B．C．D． 21．（2025·乌鲁木齐市十三中·三模）如图，∠AOB=30°，OA=4，D为OA的中点，点P是射线OB上的一个动点，连结AP，DP，将△ADP沿DP折叠，折叠后得到△DPA'，当△DPA'与△ODP的重叠部分的面积恰好为△ODP面积的一半时，OP的长为 ． 22．（2025·乌鲁木齐·五月学业测试）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是 ． 23．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，当时，的值为 ． 24．（2025·乌鲁木齐·九年级适应性测试）如图，等边三角形中，，、分别是边、上的动点，且，则的最小值为 ． 25．（2025·乌鲁木齐市一中·模拟预测）榫卯被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，是中国传统木艺的灵魂．下图结构为固定榫槽的连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当连接结构数分别有1个和2个时，总长度如图所示，则当有n个连接结构时，总长度为 ．      26．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，将菱形 沿对角线对折，点D与点 B 重合，，，G，H分别是，上的点，P，Q为上两点，沿 裁剪并展开，要使展开图是相邻两边长比为的矩形，则矩形的面积为 ． 27．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 s． 28．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，是等边三角形，，是边上的高，点为上的一动点，以为边作等边，连接，，则的最小值为 ． 29．（2015·乌鲁木齐一中·二模）如图，已知直线分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是 ．    30．（2025·乌鲁木齐·九年级三月学业测试）如图，将边长为的等边沿射线平移得到，点，分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当为直角三角形时， ．    31．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）如图，在中，，，为边上一动点（点除外），以为一边作正方形，连接，则；中，边上的高为；；当面积取最大值时，长为，以上结论正确的有 ．（写序号） 32．（2025·新疆吐鲁番·三模）如图，在等边三角形中，点P，Q  分别是，边上的动点（都不与线段端点重合），且，、相交于点．下列四个结论：①若，则 ；②若，，则；③；④若，则 的最小值为，其中正确的是 ． 33．（2025·新疆吐鲁番·二模）如图，E，F是正方形的边上的点，且，P是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是 ．    34．（2025·吐鲁番市·一模）如图，AB是的直径，M、N是异于A，B的两点，C是一动点，的角平分线交于点D，的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则E，C两点的运动路径长的比是 ． 35．（2025·新疆昌吉·一模）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为 ． 36．（2025·喀什地区·四月学业测试）如图，在中，，，分别是，上的点，将沿着折叠，使点落在边的中点（记为处．若，，则的长为 ． 37．（2025·喀什地区·三模）如图，矩形中，点G，E分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若，则 ． 38．（2025·喀什地区·二模）如图，，，点在上，四边形是矩形，连接，交于点，连接交于点．下列4个判断：①；②；③；④若点是线段的中点，则为等腰直角三角形，其中，判断正确的是 ．（填序号） 39．（2025·新疆喀什·一模）综合实践活动课上，小亮将一张面积为，其中一边为的锐角三角形纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形（如图2），则矩形的周长为 ． 40．（2025·和田地区·三模）已知矩形纸片，，，点P在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 41．（2025·新疆伊犁·模拟预测）正方形的边长为4，，分别是边，上的动点，且，连接，，交于点，连接，当的值最小时，点到的距离是 ． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 找规律、新定义、动点问题与图形变换（解析版） 考点1 找规律与新定义 1．（2022·新疆·中考真题）将全体正偶数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第10行第5个数是（    ） A．98 B．100 C．102 D．104 【答案】B 【详解】观察数字的变化可知： 第n行有n个偶数， 因为第1行的第1个数是： ； 第2行的第1个数是： ； 第3行的第1个数是：； … 所以第n行的第1个数是： ， 所以第10行第1个数是：， 所以第10行第5个数是： ． 故选：B． 2．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ． 【答案】15 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴ ， ∵不含项， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵均为的整数幂，为偶数， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15． 考点2 动点问题与图形变换 3．（2021·新疆·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，．点P从点A出发，以2cm/s的速度在矩形的边上沿运动，当点P与点D重合时停止运动．设运动的时间为（单位：s），的面积为S（单位：），则S随t变化的函数图象大致为（   ） 【答案】D 【详解】当点P在AB上运动时, S==6t，0≤t≤4； 当点P在BC上运动时, S==24，4＜t≤7； 点P在CD上运动, S=， 7＜t≤11， 故选D． 【点睛】本题考查了矩形中的动点面积函数图像问题，正确进行分类，清楚函数图像的性质是解题的关键． 4．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．      【答案】 【详解】解：， ∴对称轴为， 如图，设抛物线与x轴另一个交点为F，    当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， 在y轴上取点，连接，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 当E、C、F三点共线时，最小， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴当最小时，C的坐标为， 故答案为：． 5．（2023·新疆·中考真题）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．    【答案】/ 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，    ∵在中，，，， ∴， ∴， 在中， ∵将沿折叠得到，当点恰好落在上时， ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 设， ∴ 在中， ∴ 解得：（负整数） 故答案为：． 6．（2022·新疆·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心将绕点D顺时针旋转与恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若，则 ． 【答案】 【详解】连接DQ， ∵绕点D顺时针旋转与完全重合， ∴DF=DE，∠EDF=90°，， ∴∠DFQ=∠DEQ=45°，∠ADF=∠CDE， ∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴∠DAQ=∠BAQ=45°， ∴∠DFQ=∠DAQ=45°， ∴∠DFQ、∠DAQ是同一个圆内弦DQ所对的圆周角， 即点A、F、Q、D在同一个圆上（四点共圆）， ∴∠FDQ=∠FAQ=45°，∠AQF=∠ADF， ∴∠EDQ=90°-45°=45°，∠DQE=180°-∠EDQ-∠DEQ=90°， ∴FQ=DQ=EQ， ∵A、B、C、D是正方形顶点， ∴AC、BD互相垂直平分， ∵点Q在对角线AC上， ∴BQ=DQ， ∴BQ=DQ=FQ=EQ， ∵∠AQF=∠ADF， ∠ADF=∠CDE， ∴∠AQF=∠CDE， ∵∠FAQ=∠PED=45°， ∴， ∴， ∴， ∵BQ=DQ=FQ=EQ，∠DQE=90°， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2021·新疆·中考真题）如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将按逆时针方向旋转得，连接EF，分别交BD，CD于点M，N．若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥DC，∠A=∠BCD=∠ADC=90°， AB=BC= CD=DA=1，． ∵△DAE绕点D逆时针旋转得到△DCF， ∴CF=AE，DF=DE，∠EDF=∠ADC=90°． 设AE=CF=2x，DN=5x， 则BE=1-2x，CN=1-5x，BF=1+2x． ∵AB∥DC， ∴． ∴． ∴． 整理得，． 解得，，（不合题意，舍去）． ∴． ∴． 过点E作EP⊥BD于点P，如图所示， 设DP=y，则． ∵， ∴． 解得，． ∴． ∴在Rt△DEP中， ．即 ． 故答案为： 8．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）如图1，是等边三角形，点D在边上，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线匀速运动，到达点A后停止，连接，设点P的运动时间为，为，当动点P沿匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示，有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点P沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：由图知当动点P沿匀速运动到点C时，， 作于点E， 是等边三角形，点D在边上，， ，， ∴， ∴， ∴. 故①正确； 当时，，, ， 是等边三角形， ∴， ∴. 故②正确； 当时，且时，最小， ，， ∴， ∴最小为，即y能取到， 故③错误； 动点P沿匀速运动时， ∵， ∴， 由①知：，由， ∴， 当时，过D作，由③可知：，，则， ∴， ∴， ， 故④错误； 综上所述，正确的有①②． 故选：B． 9．（2025·乌鲁木齐经开区·学业水平监测）如图1，在中，连接，，．动点从点出发，沿边匀速运动．运动到点停止．过点作交边于点，连接，．设，，与的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：延长至，使，连接，连接交于， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 当、、三点共线时，最小， 即最小， 当运动到时，最小， 由图得：当时，， 此时与重合，与重合， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 当时， ， 函数图象最低点坐标为， 故选：B． 10．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ， ， 归纳类推得：（其中为正整数）， ∴， ∴， 故选：D． 11．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图1，在正方形中，，分别为边，上的动点，且．设，两点之间的距离为，的面积为，与的函数关系图象如图所示．已知点的横坐标为，则点的纵坐标为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知，当时，， 此时点与重合，点与重合， ， 解得， 如图，在延长线上取一点，使， ，，， ， ，， ， ， ，即， ， ， ， 当时，则， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ，即， 点的纵坐标为， 故选：B． 12．（2025·乌鲁木齐水磨沟区·一模）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 13．（2025·乌鲁木齐一中·一模）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵菱形，， ∴ 又∵， ∴是等边三角形， ∵，， ∴ ∴ ∴ 当时，重合部分为， 如图所示， 依题意，为等边三角形， 运动时间为，则， ∴ 当时，如图所示， 依题意，，则 ∴ ∴ ∵ ∴当时， 当时，同理可得， 当时，同理可得， 综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线； 故选：D． 14．（2025·乌鲁木齐兵一·模拟预测）在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，，连接、，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作A（0，2）关于x轴的对称点A’（0，-2） 过A’作A’E∥x轴且A’E=CD=2，故E（2，-2） 连接BE交x轴与D点 过A’作A’C∥DE交x轴于点C， ∴四边形CDEA’为平行四边形， 此时AC+BD最短等于BE的长， 即AC+BD=A’C+BD=DE+BD=BE== 故选B． 15．（2025·乌鲁木齐·三月学业水平测试）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上的一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则下列结论中: ①；②；③tan∠EAF=；④正确的是（） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【详解】解：∵正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，CE＝BE＝1， ∵AF⊥DE， ∴∠DAF+∠ADN＝∠ADN+∠CDE＝90°， ∴∠DAN＝∠EDC， 在△ADF与△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（ASA）， ∴DF＝CE＝1， ∵AB∥DF， ∴△ABM∽△FDM， ∴， ∴S△ABM＝4S△FDM；故①正确； 根据题意可知：AF＝DE＝AE＝， ∵ ×AD×DF＝×AF×DN， ∴DN＝ ， ∴EN＝，AN＝， ∴tan∠EAF＝，故③正确， 作PH⊥AN于H． ∵BE∥AD， ∴， ∴PA＝， ∵PH∥EN， ∴， ∴AH＝， ∴PH= ∴PN＝，故②正确， ∵PN≠DN， ∴∠DPN≠∠PDE， ∴△PMN与△DPE不相似，故④错误． 故选A． 16．（2025·吐鲁番市·三模）如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：通过已知可得到第6、7、8行的从左到右第一个数分别为 ∴第7、8行的从左到右第二个数分别为：， ∴第8行从左到右的第三个数为： 故选：B ． 17．（2025·吐鲁番市·一模）如图，等边的边长为，动点P从点A出发，以每秒的速度，沿A→B→C→A的方向运动，当点P回到点A时运动停止．设运动时间为x（秒），，则y关于x的函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】解：如图，过C作CD⊥AB于点D， 则cm，cm， 当点P在AB上时，，cm，cm， ∴， 该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线； 当时，即点P在线段BC上时，cm； 则， ∴该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为； 当 时，即点P在线段CA上，此时，cm， 则， ∴该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为直线； 故选：C． 18．（2025·喀什地区·二模）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10， 符合此要求的只有： 故选C． 19．（2025·和田地区·三模）如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小的正方形与交于点与交于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积等于正方形面积的四分之一； ④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：①∵四边形是正方形 ∴，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴， ∴， 故结论①正确； ②设与相交于点T，如图1所示： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故结论③正确； ④过点O作于点H，如图2所示： ∵是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得： ∵，，， ∴， ∴ ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴ 即， 故结论④正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③④． 故选：D． 20．（2025·伊宁市·九年级阶段性质量抽测）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】①当时， ∵正方形的边长为， ∴； ②当时， ， 所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合， 故选A． 21．（2025·乌鲁木齐市十三中·三模）如图，∠AOB=30°，OA=4，D为OA的中点，点P是射线OB上的一个动点，连结AP，DP，将△ADP沿DP折叠，折叠后得到△DPA'，当△DPA'与△ODP的重叠部分的面积恰好为△ODP面积的一半时，OP的长为 ． 【答案】2或/2或2 【详解】解：①若PA′与为OA交于点F，连接A′O，如图． ∵点D是AO的中点， ∴OD=AD=2． 由折叠可得A′D=AD=2， 由题可得S△DFP=S△ODP=S△ADP=S△A′DP， ∴DF=OD=OF，PF=A′P=A′F． ∴四边形A′DPO是平行四边形， ∴OP=A′D=2； ②若DA′与BO交于点G，连接AA′，交DP与H，如图． 同理可得GP=OP=OG，DG=DA′=×2=1． ∵OD=AD， ∴DG=AP=1， ∴AP=2， 过点A作AC⊥OB于点C， ∵∠AOB=30°，OA=4， ∴AC=2， ∴点P与点C重合， ∴OP=OC=2． 故答案为：2或2． 22．（2025·乌鲁木齐·五月学业测试）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，取中点，连接并延长，交于， ∴是的中位线， ∴且 ， ∴点的运动轨迹是线段， 如图，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴的最小值为， 由勾股定理得，， 故答案是：． 23．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，当时，的值为 ． 【答案】0，4或 【详解】解：如图，以点为圆心，长为半径画圆，交于点，交于点，过点作交于点， 根据题意，结合图形可知，， 由图2点可得，假设长为，由勾股定理得， 即 解得, ∴， 根据等面积法可得， 由勾股定理得， 根据垂径定理得， 即此时； ， 结合图形可得此时； 当点与点重合时，,此时； 综上，或或， 故答案为：0，4或． 24．（2025·乌鲁木齐·九年级适应性测试）如图，等边三角形中，，、分别是边、上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：取中点，中点，作，使，作，交延长线于点， 点是中点，点是中点， ，， ， ， 又等边三角形， ， ， 又， ， ， ，当点在线段上时取最小值，长度为线段的长， ，， ，，， ， 故答案为：． 25．（2025·乌鲁木齐市一中·模拟预测）榫卯被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，是中国传统木艺的灵魂．下图结构为固定榫槽的连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当连接结构数分别有1个和2个时，总长度如图所示，则当有n个连接结构时，总长度为 ．      【答案】/ 【详解】解：当连接结构数为1时，总长度为，当连接结构数为2时，总长度为，则每增加1个连接结构，总长度增加，结合图可知，每个连接结构的长度为， ∴当连接结构数为1时，总长度为， 当连接结构数为2时，总长度为， 当连接结构数为n时，总长度为， 故答案为：． 26．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，将菱形 沿对角线对折，点D与点 B 重合，，，G，H分别是，上的点，P，Q为上两点，沿 裁剪并展开，要使展开图是相邻两边长比为的矩形，则矩形的面积为 ． 【答案】或 【详解】解：∵四边形为菱形，， ， 如图，当展开图是相邻两边长比为的矩形时， 有两种情况满足． ①， 设，则，， 即， ， 此时展开图矩形的边长分别为和 4 ，面积为， ②， 设，则，， 即， ，此时展开图矩形的边长分别为 2 和，面积为． 综上所述，矩形的面积为或． 故答案为：或． 27．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 s． 【答案】或或 【详解】解：由题可知是边上的中线，所以不会出现，则可分两种情况讨论： ①当时，如图，过作，交延长线于点， ， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得（舍去）或， ∴ 此时； ②当时，且在线段上，如图，过作于点， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 此时； ③当时，且在线段延长线上，如图，过作于点， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得（舍去）或， 即此时与重合， ∴， ∴， 此时； 综上，的值为或或； 故答案为：或或． 28．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，是等边三角形，，是边上的高，点为上的一动点，以为边作等边，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：是等边三角形， 是边上的高， ，，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 如图，作点关于的对称点，连接，交的延长线，连接，此时的值最小，最小值为的长， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 29．（2015·乌鲁木齐一中·二模）如图，已知直线分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是 ．    【答案】﹣1，4，， 【详解】解：设点P的坐标为，    则点Q为，点B为（0，3）， 当点P在点Q上方时，BQ==a， PQ=﹣a2+2a+5﹣（﹣a+3）=﹣a2+a+2， ∵PQ=BQ， ∴a=﹣a2+a+2， 整理得：a2﹣3a﹣4=0， 解得：a=﹣1或a=4， 当点P在点Q下方时，BQ==a， PQ=﹣a+3﹣（﹣a2+2a+5）=a2﹣a﹣2， ∵PQ=BQ， ∴a=a2﹣a﹣2， 整理得：a2﹣8a﹣4=0， 解得：a=4+2或a=4﹣2． 综上所述，a的值为：﹣1，4，4+2，4﹣2． 故答案为﹣1，4，4+2，4﹣2． 30．（2025·乌鲁木齐·九年级三月学业测试）如图，将边长为的等边沿射线平移得到，点，分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当为直角三角形时， ．    【答案】或/8或4 【详解】解：如图，当时，      ∵， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 故将向右平移个单位即可， ∴； 如图，当时，    ∵，是等边三角形，点，分别为，的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 故将向右平移个单位即可， ∴； 故答案为：或． 31．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）如图，在中，，，为边上一动点（点除外），以为一边作正方形，连接，则；中，边上的高为；；当面积取最大值时，长为，以上结论正确的有 ．（写序号） 【答案】 【详解】解：过作于点，分别过作，交延长线于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故正确； 如图，过作于点，连接，当点与点重合时，即三点共线时， ∵为中点， ∴， ∴，故不一定正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，即时，面积取最大值， 此时，故正确； 综上可知：正确， 故答案为：． 32．（2025·新疆吐鲁番·三模）如图，在等边三角形中，点P，Q  分别是，边上的动点（都不与线段端点重合），且，、相交于点．下列四个结论：①若，则 ；②若，，则；③；④若，则 的最小值为，其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，过P作交于D， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴；故①正确； 过B作于E， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，或，故②错误； 在等边中，，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．故③正确； 以为边作等边三角形，连接，交于点，如图所示， ∴，， ∵， ∴ ， ∴点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形的中心M， 设于圆M交点，即为的最小值， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴，   ∴，   即的最小值为，故④正确． 综上：正确的有①③④． 故答案为：①③④． 33．（2025·新疆吐鲁番·二模）如图，E，F是正方形的边上的点，且，P是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是 ．    【答案】 【详解】解：如图所示，在上截取，过点H作交于G，连接，连接交于， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、P、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值， ∴当有最小值时，点P与点重合， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．      34．（2025·吐鲁番市·一模）如图，AB是的直径，M、N是异于A，B的两点，C是一动点，的角平分线交于点D，的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则E，C两点的运动路径长的比是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接EB．设OA=r． ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵E是△ACB的内心， ∴∠AEB=135°， 作等腰Rt△ADB，AD=DB，∠ADB=90°，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是， ∵∠MON=2∠GDF，设∠GDF=α，则∠MON=2α， ：=：=， 故答案为：． 35．（2025·新疆昌吉·一模）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为 ． 【答案】5 【详解】解：，， ． ， ． ， ． ， ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， 解得， ， ， ． 故答案为∶5． 36．（2025·喀什地区·四月学业测试）如图，在中，，，分别是，上的点，将沿着折叠，使点落在边的中点（记为处．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：连接交于点，如图， 在中，，，， 由勾股定理，得， 点是边的中点， ， ，， 将沿着折叠，使点落在边的中点处， ，， ，， 又，， ，， ，， 即，， 解得，， 在中， 由勾股定理，得． 故答案为：． 37．（2025·喀什地区·三模）如图，矩形中，点G，E分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若，则 ． 【答案】 【详解】矩形中，GC=4，CE =3，∠C=90， ∴GE=， 根据折叠的性质：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE =∠C=90， ∴BG=GF=GC=4， ∴BC=AD=8， ∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180， ∴∠AGE=90， ∴Rt△EGFRt△EAG， ∴，即， ∴， ∴DE=， ∴， 故答案为：． 38．（2025·喀什地区·二模）如图，，，点在上，四边形是矩形，连接，交于点，连接交于点．下列4个判断：①；②；③；④若点是线段的中点，则为等腰直角三角形，其中，判断正确的是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【详解】解：四边形是矩形， ， ， （等腰三角形的三线合一），则①正确； ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ，则②错误； ， （等腰三角形的三线合一）， 在和中，， ， ， 设， ， ， ， ， ，则③正确； ， ， 连接， 点是线段的中点， ， 在和中，， ， ， 为等腰三角形， ， ，即， 为等腰直角三角形，则④正确； 综上，判断正确的是①③④， 故答案为：①③④． 39．（2025·新疆喀什·一模）综合实践活动课上，小亮将一张面积为，其中一边为的锐角三角形纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形（如图2），则矩形的周长为 ． 【答案】48 【详解】解：如图，当点G，H分别是的中点时，可以拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形， ∴，， ∴，； ∴； 延长交于K， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴矩形矩形的周长为； 故答案为：48． 40．（2025·和田地区·三模）已知矩形纸片，，，点P在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或2 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 当时，如图所示： ∵， ∴点在上， 根据折叠可知：，， 设，则， ∴， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 当，如图所示： 根据折叠可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上分析可知：或2． 故答案为：或2， 41．（2025·新疆伊犁·模拟预测）正方形的边长为4，，分别是边，上的动点，且，连接，，交于点，连接，当的值最小时，点到的距离是 ． 【答案】 【详解】解：在正方形中， ，，， ， ， ， 点P在以为直径的圆上． 如图，设的中点为，则：当点，，在同一条直线上时，有最小值． ∵正方形的边长为4， ，， ． 过点作于点， ， ， ， ， ， 即：点到的距离是； 故答案为：． 1 / 55 学科网（北京）股份有限公司 $$