1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ） 暑假巩固练习2024-2025学年湘教版八年级数学下册

湘教版八年级下册 1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ） 暑假巩固 一、直角三角形中两锐角互余 1.如图，在中，，则与∠A互余的角有（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝45°，则∠C的度数为（　　） A.35° B.40° C.45° D.50° 3.如图，，于点，则图中互余的角有（    ）对．    A.3 B.4 C.5 D.6 4.（23-24八年级上·广西河池期中）在中，已知一个锐角度数为，另一个锐角度数为      ． 5.在Rt△中，锐角，则另一个锐角         ． 6.如图，在中，，，于点D，求的度数． 7.如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求．    二、有两个锐角互余的三角形是直角三角形 1.下列对的判断，错误的是（   ） A.若，，则是等边三角形 B.若，则是直角三角形 C.若，，则是等腰三角形 D.若，，则 2.下列说法中错误的是（    ） A.三角形的中线、角平分线、高线都是线段 B.边数为的多边形内角和是 C.两锐角互余的三角形是直角三角形 D.三角形的一个外角大于任何一个内角 3.根据下列条件不能判断是直角三角形的是（    ） A.∠B=50° ，∠C=40° B.∠B=∠C=45° C.∠A，∠B，∠C的度数比为5：3：2 D.∠A-∠B=90° 4.由三角形内角和定理得到结论：有两个角             的三角形是直角三角形． 5.把下面的证明过程补充完整． 已知：如图，在中，，平分，为边上一点，连接，交于点，且． 求证：． 证明：∵（已知）， 又∵（          ）， ∴（等量代换）， ∵平分（已知）， ∴（             ）， ∵（已知）， ∴（            ）， ∴（等量代换）， ∴       （有两个角互余的三角形是直角三角形）， ∴（垂直的定义）. 6.如图，都是的高，在上载取，在射线上截取，连接． (1)求证：； (2)若与交于点H，求证：为直角三角形． 7.如图，在中，D是AB上一点，，．求证：是直角三角形． 三、直角三角形斜边上的中线性质 1.在中，，斜边，则斜边上的中线等于（　　　） A.2 B.4 C.8 D.16 2.如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（    ）    A.25 B.10 C.5 D. 3.如果直角三角形斜边上的中线和高分别是6和5，那么它的面积是（   ） A.10 B.15 C.20 D.30 4.如图，在中，是斜边上的中线，若，则       ．    5.（22-23八年级上·浙江宁波期中）如图，已知直角三角形的斜边，则斜边上的中线         ．    6.如图，在中，，是边上的中线，于点D，交的延长线于点E，若，求的度数．    7.如图，是的斜边上的中线，． (1)求的度数． (2)若，求的周长． 四、含30°角的直角三角形的性质 1.如图，在中，，，边的垂直平分线交于点D．若，则的长为（    ） A. B.4 C.6 D.8 2.年月日，贵南高铁全线通车，其中有一隧道全线长，如图，在隧道进口处的正西方处有一人，高铁从处沿北偏西的方向穿过隧道，在出口处鸣笛，出口处在处的正北方，已知声音在空气中的传播速度为，经过_________秒进口处的人能够听到鸣笛声？不考虑其他因素 （　　） A. B. C. D. 3.如图，在中，，，交于点，，则的长是（　　） A.12 B.10 C.8 D.6 4.如图，等边△的边长为，动点从点出发以的速度沿向点匀速运动，过点作，交边于点，以为边作等边△，使点，在异侧，当点落在边上时，点需移动        ． 5.在△中，，平分，一个等边三角形如图摆放，交于点．若，，则等边三角形的边长为              ． 6.如图，在中，，是斜边上的中线，过点A作于点F，交于点E．    (1)求证：； (2)若，求证：． 7.如图，已知，平分．，分别在射线，上．    (1)在图（）中，当时，求证：； (2)若把（）中的条件“”改为，其他条件不变（）所示．则（）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 五、含30°角的直角三角形的性质的实际应用 1.如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点，取，，．如果要使，，三点在同一直线上，那么开挖点离点的距离是（    ） A. B. C. D. 2.如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从高地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（　　） A.米 B.米 C.米 D.12米 3.如图，数学活动课上，为测量学校与河对岸农场之间的距离，在学校附近选一点，用测量仪器测得，，，则学校与农场之间的距离为（    ） A. B. C. D. 4.图1是一个地铁站人口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为         ． 5.如图，一艘渔船向东航行，8点到达O处，灯塔A在其北偏东60°方向，距离16海里，10点到达B处，灯塔A在其正北方向，此时渔船与灯塔A相距        海里． 6.某轮船由西向东航行，在A处测得小岛的方位是北偏东，又继续航行16海里后，在处测得小岛的方位是北偏东，求：    此时轮船与小岛的距离是多少海里？ 小岛P方圆7.5海里内有暗礁，若该船继续向东航行，是否有触礁的危险，请说明理由. 7.如图，一条船上午8时从海岛A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛处，分别从A，B处望灯塔，测得，．若这条船到达海岛处后，继续向正北方向航行，还要经过多长时间，船与灯塔之间的距离最短？    湘教版八年级下册 1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ） 暑假巩固（参考答案） 一、直角三角形中两锐角互余 1.如图，在中，，则与∠A互余的角有（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，找出与∠A互余的角． ∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高线， ∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD＝90°， ∴与∠A互余的角有2个． 故选：B． 2.在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝45°，则∠C的度数为（　　） A.35° B.40° C.45° D.50° 【答案】C 【解析】根据直角三角形的两锐角互余即可得到结论． ∵∠A=90°， ∴∠B+∠C=90°， ∵∠B=45°， ∴∠C=90°-45°=45°， 故选：C． 3.如图，，于点，则图中互余的角有（    ）对．    A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】根据余角的定义以及直角三角形两锐角互余的性质解答即可． ∵， ∴与互余，与互余． ∵， ∴，． ∴与互余，与互余． 故选：B． 4.（23-24八年级上·广西河池期中）在中，已知一个锐角度数为，另一个锐角度数为      ． 【答案】. 【解析】本题考查了直角三角形两个锐角互余．根据在直角三角形中两个锐角互余计算即可． 根据题意，另一个锐角． 故答案为：． 5.在Rt△中，锐角，则另一个锐角         ． 【答案】/40度 【解析】根据直角三角形两锐角互余，即可求解． 在Rt△ 中， ∵锐角， ∴另一个锐角 ． 故答案为： 6.如图，在中，，，于点D，求的度数． 【答案】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7.如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求．    【答案】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 二、有两个锐角互余的三角形是直角三角形 1.下列对的判断，错误的是（   ） A.若，，则是等边三角形 B.若，则是直角三角形 C.若，，则是等腰三角形 D.若，，则 【答案】D 【解析】利用等边三角形的性质（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）即可判断A；三个角的度数之比为，利用三角形内角和为计算求解即可判断B；利用三角形内角和为求解未知角度数即可判断C；根据等腰三角形的性质（等边对等角）即可判断D． 选项A：∵，， ∴是等边三角形，故本选项正确，不符合题意． 选项B：∵，， ∴最大角的度数是． ∴是直角三角形，故本选项正确，不符合题意． 选项C：∵，， ∴． ∴． ∴是等腰三角形，故本选项正确，不符合题意． 选项D：∵， ∴． ∵， ∴． ∴，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 2.下列说法中错误的是（    ） A.三角形的中线、角平分线、高线都是线段 B.边数为的多边形内角和是 C.两锐角互余的三角形是直角三角形 D.三角形的一个外角大于任何一个内角 【答案】D 【解析】根据三角形的性质求解即可． A．三角形的中线、角平分线、高线都是线段，说法正确，不符合题意； B．边数为n的多边形内角和是，说法正确，不符合题意； C．两锐角互余的三角形是直角三角形，说法正确，不符合题意； D．三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，说法错误，符合题意． 故选：D． 3.根据下列条件不能判断是直角三角形的是（    ） A.∠B=50° ，∠C=40° B.∠B=∠C=45° C.∠A，∠B，∠C的度数比为5：3：2 D.∠A-∠B=90° 【答案】D 【解析】A．是直角三角形，因为∠B+∠C=90°,根据有两个锐角互余的三角形是直角三角形,可知是直角三角形； B．是直角三角形．因为∠B+∠C=90°，根据有两个锐角互余的三角形是直角三角形,可知是直角三角形； C．是直角三角形．因为∠A:∠B:∠C=5:3:2，∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A=90°，故是直角三角形; D．由∠A−∠B=90°可知∠A为钝角，故∠B，∠C均为锐角，没有角是直角， 故选D. 4.由三角形内角和定理得到结论：有两个角             的三角形是直角三角形． 【答案】互余（或和为90°） 【解析】根据互余的定义和三角形内角和定理即可得到答案． 有两个角互余的三角形是直角三角形． 故答案是：互余（或和为90°）． 5.把下面的证明过程补充完整． 已知：如图，在中，，平分，为边上一点，连接，交于点，且． 求证：． 证明：∵（已知）， 又∵（          ）， ∴（等量代换）， ∵平分（已知）， ∴（             ）， ∵（已知）， ∴（            ）， ∴（等量代换）， ∴       （有两个角互余的三角形是直角三角形）， ∴（垂直的定义）. 【答案】对顶角相等；角平分线定义；直角三角形两个锐角互余；ADC 【解析】根据对顶角性质、角平分线性质和直角三角形定义可推出∠ADC． 证明：∵（已知）， 又∵（ 对顶角相等 ）， ∴（等量代换）， ∵平分（已知）， ∴（ 角平分线定义 ）， ∵（已知）， ∴（ 直角三角形两个锐角互余 ）， ∴（等量代换）， ∴ADC （有两个角互余的三角形是直角三角形）， ∴（垂直的定义）. 故答案为：对顶角相等；角平分线定义；直角三角形两个锐角互余；ADC. 6.如图，都是的高，在上载取，在射线上截取，连接． (1)求证：； (2)若与交于点H，求证：为直角三角形． 【答案】证明：（1）∵都是的高， ∴， ∵， ∴∠ABD=∠ACG, 又∵， ∴. （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形． 7.如图，在中，D是AB上一点，，．求证：是直角三角形． 【答案】证明：在中，D是AB上一点，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形． 三、直角三角形斜边上的中线性质 1.在中，，斜边，则斜边上的中线等于（　　　） A.2 B.4 C.8 D.16 【答案】B 【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得． 如图，在中，，斜边， 斜边上的中线， 故选：B． 2.如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（    ）    A.25 B.10 C.5 D. 【答案】C 【解析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长． ∵在中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线， ∴， 故选：C． 3.如果直角三角形斜边上的中线和高分别是6和5，那么它的面积是（   ） A.10 B.15 C.20 D.30 【答案】D 【解析】根据直角三角形斜边上的中线先求出斜边长，再利用三角形的面积进行计算即可解答． ∵直角三角形斜边上的中线是6， ∴斜边长为2×6= 12， ∵直角三角形斜边上的高是5， ∴直角三角形的面积为×12×5=30， 故选：D． 4.如图，在中，是斜边上的中线，若，则       ．    【答案】 【解析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可． ∵是直角三角形，是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5.（22-23八年级上·浙江宁波期中）如图，已知直角三角形的斜边，则斜边上的中线         ．    【答案】6 【解析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质计算即可． ∵直角的斜边， ∴斜边上的中线， 故答案为：6． 6.如图，在中，，是边上的中线，于点D，交的延长线于点E，若，求的度数．    【答案】解：，， ， ，是边上的中线， ， ， ． 7.如图，是的斜边上的中线，． (1)求的度数． (2)若，求的周长． 【答案】解：（1）∵，， ∴． （2）∵是的斜边边上的中线，且， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴的周长为15． 四、含30°角的直角三角形的性质 1.如图，在中，，，边的垂直平分线交于点D．若，则的长为（    ） A. B.4 C.6 D.8 【答案】B 【解析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的特征；由线段垂直平分线的性质得，由三角形外角的性质得，再由直角三角形的特征即可求解；掌握性质是解题的关键． 边的垂直平分线交于点D， ， ， ， ， ． 故选：B． 2.年月日，贵南高铁全线通车，其中有一隧道全线长，如图，在隧道进口处的正西方处有一人，高铁从处沿北偏西的方向穿过隧道，在出口处鸣笛，出口处在处的正北方，已知声音在空气中的传播速度为，经过_________秒进口处的人能够听到鸣笛声？不考虑其他因素 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，由题意得，，，，根据直角三角形的性质求得，于是得到，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 由题意得，，，， ∴， ， ， 答：经过秒进口处的人能够听到鸣笛声， 故选：B． 3.如图，在中，，，交于点，，则的长是（　　） A.12 B.10 C.8 D.6 【答案】D 【解析】得，，，可得，由，，可知等腰三角形，，，△是等腰三角形，即，由此即可求解． 根据题意得，得，，， ∴， ∵，， ∴△是等腰三角形，， ∴， ∵，即， ∴， ∴△是等腰三角形，即， ∴， 故选：． 4.如图，等边△的边长为，动点从点出发以的速度沿向点匀速运动，过点作，交边于点，以为边作等边△，使点，在异侧，当点落在边上时，点需移动        ． 【答案】 【解析】本题通过动点问题考查等边三角形的性质、含的直角三角形性质、全等三角形的判定与性质的运用等知识． 设点需移动秒，点落在边上，如图所示， △是等边三角形， ， ， ，， ，，， △△， ，， ， ，即，解得， 故答案为：． 5.在△中，，平分，一个等边三角形如图摆放，交于点．若，，则等边三角形的边长为              ． 【答案】5 【解析】本题考查了等腰三角形的性质、一元一次方程，等边三角形的性质、含角的直角三角形的特征. 设， ，平分，， ，， △是等边三角形， ，， ， ， ，， ， 解得：， ， 等边三角形的边长为5， 故答案为：5． 6.如图，在中，，是斜边上的中线，过点A作于点F，交于点E．    (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】证明：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴∠B=∠DCB， ∴. （2）由（1）可得， ∵， ∴，则平分， ∵， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴为等边三角形，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7.如图，已知，平分．，分别在射线，上．    (1)在图（）中，当时，求证：； (2)若把（）中的条件“”改为，其他条件不变（）所示．则（）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴. （2）解：结论成立． 理由如下：在上截取，连接，    ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 五、含30°角的直角三角形的性质的实际应用 1.如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点，取，，．如果要使，，三点在同一直线上，那么开挖点离点的距离是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了邻补角的定义，含角的直角三角形的性质，解题的关键是判断出是直角三角形．根据邻补角的定义求出，然后判断出是直角三角形，最后根据角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解． ， ， ， 是直角三角形， 开挖点离点的距离：(m)， 故选：B． 2.如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从高地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（　　） A.米 B.米 C.米 D.12米 【答案】D 【解析】根据含有角的直角三角形的性质计算即可． ∵， ∴， 这棵树在折断前的高度为（米）． 故选D． 3.如图，数学活动课上，为测量学校与河对岸农场之间的距离，在学校附近选一点，用测量仪器测得，，，则学校与农场之间的距离为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】直接利用直角三角形的性质得出，进而利用直角三角形中所对直角边是斜边的一半，即可得出答案． ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 4.图1是一个地铁站人口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为         ． 【答案】 【解析】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质的应用． 过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 如图所示过作于，过作于， 则中，， 同理可得，， 又点与之间的距离为， 通过闸机的物体的最大宽度为， 故答案为：76． 5.如图，一艘渔船向东航行，8点到达O处，灯塔A在其北偏东60°方向，距离16海里，10点到达B处，灯塔A在其正北方向，此时渔船与灯塔A相距        海里． 【答案】8 【解析】本题考查了含角直角三角形的性质，根据题意，直接应用此性质即可完成． 由题意知，，海里， 则(海里). 故答案为：8． 6.某轮船由西向东航行，在A处测得小岛的方位是北偏东，又继续航行16海里后，在处测得小岛的方位是北偏东，求：    此时轮船与小岛的距离是多少海里？ 小岛P方圆7.5海里内有暗礁，若该船继续向东航行，是否有触礁的危险，请说明理由. 【答案】解:（1）过点P作于点，    ， 且， ， ， （海里）． （2）由（1）知，海里， ， ， 该船继续向东航行，没有触礁的危险． 7.如图，一条船上午8时从海岛A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛处，分别从A，B处望灯塔，测得，．若这条船到达海岛处后，继续向正北方向航行，还要经过多长时间，船与灯塔之间的距离最短？    【答案】解：根据题意，得（海里）. ，， ， ， 海里， 如图，过点作于点，    根据垂线段最短，线段的长为船与灯塔之间的最短距离，. 又， ， 在中，， （海里）， （小时）， 答：还要经过1小时，船与灯塔之间的距离最短． 学科网（北京）股份有限公司 $$