第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用&专题1 巧用特殊角构造含30°角的直角三角形-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年八年级下册数学（湘教版 湖南专版）

第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用 国名师导学 基础过关 夐新知梳理 知识点1含30°角的直角三角形的性质 ①在直角三角形中，如果一个锐角等于 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.若AB=8,则 30°，那么它所对的直角边等于斜边 BC的长为 的 A.3 B.4 C.6 D.8 ②在直角三角形中，如果一条直角边等 于斜边的一半，那么它所对的角等于 ®例题引路 (第1题图) (第2题图) (第3题图) 【例1】（教材P6练习T2变式）如图，在 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC= △ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， 12cm,则AB的长为cm. AD⊥AC,交BC于点D.求证：BC=3AD. 3.如图，在四边形ACBD中，AD∥BC,AB⊥AC,且AC 号BC,则∠DAC的度数为 【名师点拨】由∠BAC=120°，AB= 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4,CD AC,得∠B=∠C=30°.由AD⊥AC 是高，求AD的长. 得CD=2AD,∠BAD=30°=∠B,故 AD=BD,即可得证 【学生解答】 知识点2含30°角的直角三角形的性质的应用 5.(2024·湘西期末)如图，衣架框内部可以近似看成一个 等腰三角形ABC.若AB=AC=28cm,D是BC的中点， ∠ABC=30°，则AD的长为 ( A.11 cm B.12 cm C.13 cm D.14 cm ④易错典例 【例2】若等腰三角形腰上的高等于腰 长的一半，则这个等腰三角形的顶角的 度数为 D 30C 【易错剖析】等腰三角形中有关边角的 (第5题图) (第6题图) 问题中，题中来给出图形，没有分三角 6.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下， 形为锐角三角形或纯角三角形讨论而 倒下部分与地面成30°角，则这棵树在折断前的高度为 致错. ( ) 【学生解答】 A.6 m B.9 m C.12m D.15m 3数学八年级下册配X灯版 ☑能力提升 12.(教材P5例3变式)如图，一条船上午8时 从海岛A出发，以15 n mile/h的速度向正 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3,∠B 北方向航行，上午10时到达海岛B处，分 30°，P是边BC上的动点，则AP的长不可 别从A,B两处望向灯塔C,测得∠NAC 能是 30°，∠NBC=60°. A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7 (1)求海岛B到灯塔C的距离： (2)若这条船继续向正北方向航行，求小船 何时与灯塔C的距离最短. (第7题图) (第8题图) 8.如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中 30 点，DE⊥AC于点E,EF∥AB,交BC于点 F.若AE=2,则△EFC的周长是( A.6 B.8 C.12 D.18 9.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC的垂直 平分线交AB于点E,垂足为D,连接CE.若 AE=1,BE=2,则DE的长为 D (第9题图) (第10题图) 10.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，CM平分 ∠ACB,交AB于点M,过点M作MN∥ BC,交AC于点N,且MN平分∠AMC.若 AN=2,则BC的长为 11.(教材P7习题T4变式)如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，M,D分别为 AB,BM的中点.求证：CD⊥AB. 图思维拓展 13.○渗透分类讨论思想如图， 在△ABC中，∠C=90°，∠A= 30°，AB=40cm.动点P从 点A出发，在AB边上沿A→B方向匀速 运动，速度为p=2cm/s:动点Q从点B出 发，在BC边上沿B→C方向匀速运动，速 度为o=1cm/s.当点P到达点B时，P,Q 两点同时停止运动.当点P运动 时，△PBQ为直角三角形 第1章直角三角形4■ 专题一巧用特殊角构造含30°角的直角三角形教材延伸·通性通法】 类型1连线段构造含30°角的直角三角形 类型3作垂线构造含30°角的直角三角形 1.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 名师点拨：下列情况中，往往道过作垂线构造含30° 120°，D为BC的中点，DE⊥AC于点E.若 角的直角三角形，原则是“不破坏”特殊角： AE=2,则CE的长为 ①含特殊角(30°，60°，120°，150)的非直角三角形： A.2 B.4 C.6 D.8 30 (第1题图) (第2题图) (∠B=60°也造用) 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠C=30°，D ②含120°，15（底角）角的等腰三角形. 为AB的中点，过点D作DE⊥AB,交BC 于点E.若DE=2,则CE的长为 30 1309 3.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=6,∠A 5 120°，∠B=60°，∠C=150°，求AD的长. (∠B=∠ACB=30°也造用) 5.如图，在△ABC中，∠A=150°，AB=20,AC 30,则△ABC的面积为 ( A.100 B.120 C.150 D.180 (第5题图) (第6題题图) 6.如图，睿睿同学用圆规BOA画一个半径为 8cm的圆，测得此时∠O=60°.为了画一个 半径更大的同心圆，固定A端不动，将B端 类型2延长两边构造含30°角的直角三角形 向左移至B处，此时测得∠B'O'A=120°，则 4.如图，在四边形ABCD中，AD=4,BC=1, 点O到直线AB的距离为cm. ∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD 的长 7.(教材P29复习题T7变式)如图，∠AOP= ∠BOP=15°，PD⊥OB于点D,PC∥OB,交 OA于点C.若PD=6,则OC的长为 601 (第7题图) (第8题图) 8.如图，已知∠AOB=60°，点C在边OA上， OC=14,点D,E在边OB上，CD=CE.若 DE=6,则OD的长为 5数学八年级下册配灯版5.D6.B7.D8.D9.110.12 A伊-B厅-12一.在△D中，由匀股定理，得AD=C- 参考答案 1山，证绸：在R△ABC中，乙AH=0∠A=测，5C=专AkM =13-14-x),1一x=1型一14一r,解餐x=,A0 第1章直角三角形 为A君的中点M安A-比义D为M的中点，心L,每 vT--2.s2w-·AD-×1tx2-t 11直角三角形的性质和判定(1) CD⊥AB. 12.解：(1)w十1 受（g当8-5时万-第得用-0，这是第0 第1革时直角三角利的性情和料定 12.屏：1由题意，得AB=5×g=0(mmie).:∠NB风-40，∠NAC 名师异学 30.∠ACB=∠NHC-∠NAC=.∠ACB=∠NAC∴BC=AB 个三角形.a原式=()+（受）+()++（平=+号+ 0生余一半8互余 -0nmie:从阁岛B到灯事C的是离为0n=6《2)过点C作CP⊥ 【例1】f明，∠A-0,∠B-40,∠ACB-180-∠A=∠B-90. ++106 AB于点P,果∠BP℃0，此时小船与灯塔C的距离最规，”∠NBC :M为边AB的中点.BM=C=号AB&∠M#=∠#=0 60.÷∠PH-w-∠NB心-3o.hP--BC-1Bnmk.:15+15- 大单元整合锈利用②般定理在数艳上表示实数【狱材延伸·忍宾慢标】 ·∠EC-∠MCB+∠B-8的.“∠ACE-10,÷ZMEC-∠A.+ 任务1：解：知图，作R△O8,0冰-8.AB-3,0A-OB+AB一 1(,上午11时小相与灯塔C的第离最短 ∠ACE-s∠MEC-∠EMC.E-GM. 压，以点O为圆《，A的长为争轻面第，交数轴千点E,F,瑞点B.下即 【例21C 13,0或16【第析J:∠C=0,∠A=30AB=0m.B-号A月 为所求， LC2.55志4o4.直角 29m,∠=0-∠A=0.山题意，得BQ=rm,AP=2,∴，BP 支.证明：：ED⊥AB,∠ADE-0,∠A+∠1-0：∠1-∠2， AB-AP-440-2r)m分两种情配甘论，D当∠EQP-0时，∠BPQ ∠A十∠2=：.△ABC是直角三角形 90-∠H=的.BP=2BQ,罪40一2-22，解每1=10.④当∠BPQ=0 4.37.D8.D100°10.g 时，∠QP==∠U=30,,.BQ=2BP,即t=2(4u-2),解得=14.第 11.证用，：AD⊥BC,-∠BED+∠EBD=0.:BF平分∠AC, 上质述，当点P岳动0爱16时，△PBQ为直角三角形 任务2：解：1》娃图.点P即为新架.25一1 ,∠A8E=∠EBD.∠1-∠BBD,∠1-∠2..∠BD=∠2.∴.∠2 堂题一巧用辆殊尾构造名3尾的直角三角形载村旺种·通性透法】 ∠ABE一0，△AC是直角三角形. 1.C2.8 12.解：《1D2)∠BDC-58,·∠DAP-∠BDC-∠APD-831,解：连接AC?A形=C,∠H=时，△A以是等边三角形.AC台 AP平分∠B4C,.∠BAP=∠DAP=11 AB=i,∠BAC=∠B=0,六∠ACD=∠CD-∠ACB0, 13《1证明：：CD,BE分联是边AB,AC上的高，，∠BD-∠BC ∠CAD=∠HAD-∠=0.∠D=0-∠CAD=0,AD 90.:M是BC的中点，DM-号BC,E-号CDM-EM义“N 2AC=12. 4,解，延长AD,C交于点E.∠A-30,∠H一g0,AE-BE,∠E- 任务3，解，1应一正(2①如图®所示.②如图D,点A表示一0,5 是DE的中点.MN主E(2)解：∠DE一1附-∠A理由如下：由 0-∠1=60，：∠1D0=129.∠EDC=180°-∠A0=0, 点B表乐-3+而∴-05>-a+v5 ,得DM-EM-IM-CM-是，-∠AC-∠DM,∠ACB- ∠D-180一∠E-∠EID-60,÷△EDC是等边三角B,六CD- ∠CEM,'∠AC+∠ACB=180°-∠A,∠D+∠NE=(18O (E-DE设CD=F.期AE一上+4，E=上士+1.r+1=(上+)，解得士 2∠A)+(183-2∠ACB)=360-2(∠AHC+∠AI)=50 =2CD=2. 用 2180-∠A)g∠A.∠DNE=180°-（∠HMD+∠GE)m10°- 5.C6.47.128.4 2∠4. 【,2直角三角形的性两和判定(】) 4 3寸32012方3 【触会宽通】0 第1深时均段定理 图④ 第？课时念和角的直角三角形的提情反异总用 名年号学 革2来时与盘定厘竹实际总用 名师导肇 平方和 【例1】日 0一半80 【鳞1】解：Cp是边AB上的高，六.∠A风=∠B=时，：AD= 【例2】解，1》0[2》延长BA,交抽面P点N,刚∠HN℃一0”.易得ON 【例1证用：？A胜-AC,ZAC-13.·∠B-∠-(180-∠BAC) A-C示-17-8-1.D-8一CF-8-8-15 30H描，AN-组m,CN=(一ON-0n设AB一zcm,期C-(E AB=AD叶BD-15+4v5 +G0m,BN-(+40)在R△BCN中，N+CN-C,x -30.”AD⊥C,∠D,4C-0.CD-2AD,∠BAD-∠BAC 【例1】引a复，11而 40)十60=(r十0了，解得r=40,A=40rm:C=100em, ∠DAC=0=∠H..AD=BB.,=BD+CD=AD+2AD=AD 1.目2.5.B4.05.18 1.C-2.43.104.260 【例2】33发150 6.解在△AC中，∠C=0,u2+行=2,10a=,春=15，e 5.期，由题道，得∠DB=0,HD=8m,BC=17m,DE=A出=1,6，在 1.B1.83.12 4.解，在△A0中，∠ACB=0,∠A=30,“,∠B=90-∠A=G0, ,a+6=17,c5a7,h=2一g■24(3)设g=3r.则 Rt△D中，DBC一D一后m.CE=D+DE=1M4m答： AB==8.CD是△AC的高，，∠C=0.,∠)=0 .(8r)十4r尸=40，解程1=（负值已含去》..。=21,0-32. 风筝的高度CE为1,6m 7,D8B9,B10.5 4.D7.C8.5a ∠B=30.D=以=2，&AD=AB-BD=6 11.解：设D-x,则CD-1H一上在表△AD中，由匀股奖用.得AD一 生.解：在Rt△AC中，：C=17m,AC=gm,.A=V一= -1 2 3