第二章 实数（优质类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024新教材）

第二章 实数思维导图 【类型覆盖】 类型一、估算二次根式 【解惑】估算 的值在（     ） A．2和3 之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的大小估算，先估算出的范围即可． 【详解】解：∵, ∴ ∴的值在4和5之间， 故选：C． 【融会贯通】 1．估算的结果在（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，将原式化简为，估算的值范围，再减去2确定结果所在范围，即可作答． 【详解】解：， 故原式为， ∵， ∴， ∴， 的结果在1和2之间， 故选：B． 2．估算的整数部分 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据得到，进而可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是5， 故答案为：5． 3．如何估算（为不是平方数的正整数），记（其中为小于的最大平方数），则推导的思路如下： ，按照以上推导思路请估算 ；（结果精确到百分位） 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算．仿照题干中的推导思路，可得，即可求解． 【详解】解：令， ∴， ∴， ∴， ∴ 即 ∴． 故答案为： 类型二、二次根式的最值问题 【解惑】若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．要使为整数，需满足是完全平方数，由，即可确定n的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是整数，且n是整数， 则是完全平方数， ∴n的最小值为：6． 故选：D． 【融会贯通】 1．已知是正整数，则自然数n的最小值为（    ） A．20 B．10 C．8 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简，要使为正整数，必须为完全平方数．通过分解质因数分析的结构，确定的最小值． 【详解】解：将分解质因数，得．的最小值为，此时，满足条件．选项中对应选项B，且其他选项（如4、8、20）均无法使成为完全平方数．综上，自然数的最小值为10． 故选：B． 2．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 . 【答案】7 【分析】此题考查了二次根式的化简，二次根式的定义，关键是掌握．首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：， ∵是正整数，是整数， ∴是完全平方数， ∴n的最小值是7. 故答案是：7． 3．如图，在等腰中，，平分，平分，M，N分别为射线上的动点，若，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，轴对称的性质，角平分线的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键． 如图，作关于的对称点，则，当三点共线时最短即，当时最短，过点作，交的延长线于点，即与点重合时最短，过点作于点，根据等面积法求得，即可求解． 【详解】解：如图，作关于的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点， ∴，当三点共线时最小即， ∵当时，最短， ∴即为所求， ∵， 是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵平分， ∴ ∵， 设，则 在中， ∵ ∴ 解得 ∴ ∵ ∴ 故答案为：4． 类型三、秦九韶——海伦公式 【解惑】八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知如图，在中，，，，则边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的应用，根据a、b、c的值，求出p的值，代入公式计算即可求出S，再根据三角形面积公式即可求出边上的高． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 设边上的高的长为， ∴， ∴， 故选：C． 【融会贯通】 1．若一个三角形的三边长分别是a、b、c，记，那么三角形的面积为①，我们称①为海伦-秦九韶公式，在中，，，，则根据海伦-秦九韶公式求三角形ABC的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简、海伦 - 秦九韶公式的应用，熟练掌握海伦 - 秦九韶公式中半周长的计算及面积公式的代入运算是解题的关键．先依据三角形三边长度，利用公式算出半周长，再把以及三边与的差值代入海伦 - 秦九韶公式计算面积 ． 【详解】解： ∵ ，，， ∴ ． ∵ ，，，， ∴ ． 故选：A ． 2．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．已知的三边长为2，5，，则利用公式求得的面积是 ． 【答案】/ 【分析】根据面积公式代入计算即可． 本题考查了代数式的值，二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由的三边长为2，5，， 得 ． 故答案为：． 3．教材第16页的阅读与思考：海伦－秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，米，米，米，请你用海伦－秦九韶公式求的面积． 【答案】平方米 【分析】本题考查二次根式的运算，直接根据海伦－秦九韶公式求解，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵米，米，米， ∴， ∴（平方米）． 答：的面积是平方米． 类型四、整数、小数部分 【解惑】若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的运算．先估算得出，，，再利用二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， 即，， ∴． 故选：B． 【融会贯通】 1．若的整数部分和小数部分分别是，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算出整数部分后，然后即可得到小数部分．先求出的范围，再两边都乘以，再两边都加上，即可求出，把的值代入求出即可． 【详解】解：， ， ， ， 即的整数部分是， 的小数部分是， 即，， ， 故选：A． 2．若的整数部分是a，小数部分是b，则的值是 【答案】 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，二次根式的混合运算，夹逼法求出的范围，进而求出的值，再根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． 3．阅读下面的文字，解答问题， 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，根据这一原则，求解下列各题： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a，b的值； (2)若，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)，2 (2) 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算无理数的值，再根据不等式的性质进行计算．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． （1）先估计的近似值，然后判断的小数部分a，的整数部分b，即可得到a、b的值； （2）先估计的近似值，然后判断的近似值，并求得x、y的值，最后求的相反数． 【详解】（1）解：， ． 的小数部分． ， ． ， 的整数部分． （2）解：， ．且x是整数，， ，， ∴， 的相反数为． 类型五、化简求值 【解惑】先化简，再求值：其中． 【答案】，40 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，根据运算法则先化简二次根式再代入计算即可． 【详解】解：原式． ， 将代入得：． 【融会贯通】 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了二次根式的化简求值． 先化简二次根式，再计算加减，最后将代入计算即可． 【详解】原式 将代入得：原式． 2．已知：，．求值： (1)，； (2)． 【答案】(1) (2)38 【分析】本题考查的是二次根式的加法，二次根式的乘法运算及完全平方公式的应用． （1）把，代入，，再进行计算即可； （2）根据整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 3．在解决问题“已知，求的值”时，小蓝是这样分析与解答的： ， ， ，， ， ． 请你根据小蓝的分析解答过程，解决如下问题： (1)化简：______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）把二次根式分母有理化即可； （2）根据题中给出的例子进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ，即， ， ． 类型六、复合二次根式化简 【解惑】【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题． 【实践探究】 （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，则________，________； （2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简________． 【答案】（1）；；（2）或；（3） 【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式； （2）根据题意，展开得到，然后根据，m，n为正整数进行求解； （3）先设，m，n为正整数，再由例题的方法求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：；． （2） 由 得， 又，m，n为正整数 或 （3）设，m，n为正整数 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【融会贯通】 1．观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，得，故，即可作答． （2）因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意 ． （2）解：∵， ∴， 即，． 2．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键． （1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出、； （2）在（1）的基础上，求出，，根据，，均为整数，分两种情况求出，； （3）设，两边平方并结合题意计算得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，(，，，均为整数）， ，， 故答案为：，； （2）解：， ，(，，均为整数）， ，， ， ①，，， ②，，， 综上所述：或； （3）解：设， 则 ， ∴原式． 3．阅读下面材料： ①计算：． ②化简：． 解：设，； ，； ，，且； ，； ； ． 完成下列问题： (1)计算： ； ； (2)解方程：； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的应用，完全平方公式的应用； （1）直接分母有理化化简，把化为再进一步化简即可； （2）设，，可得，，可得，再进一步求解即可； （3）设，可得，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：∵， 设，， ∴，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根． （3）解：∵①， 设②， ∴①②得，①②得， ∴③，④， ∴③④得， ③④得， 解得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型七、分母有理化 【解惑】请解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【答案】(1)①； ② (2)，理由见解析 (3)， 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． （1）根据二次根式的有理化和运算法则解答即可； （2）把二次根式分子有理化后，比较分母的大小关系即可得到结论； （3）把二次根式分子有理化后，求出，再求出最大值即可． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：，； （2）解：由， ， 又∵， ∴． ∴， （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值， 故答案为：，． 【融会贯通】 1．我们知道，因此，像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以上各小题． (1)计算：； (2)比较：与的大小； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）分子、分母同时乘以，进行分母有理化即可求解； （2）根据材料提示，先根据分母有理化化简，再将两数作差进行比较即可； （3）根据材料提示，分别进行分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： ∴； （3）解： ． 2．比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 因为，所以， 即． 仔细研读上面的解题方法，完成下列问题： (1)试比较与的大小； (2)尝试计算：． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）仿照题干的方法，将转化为，将转化为，比较大小即可； （2）先进行分母有理化，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； ． 因为， 所以， 即． （2） ． 3．阅读下列解题过程： ； ． 请解答下列问题： (1)观察上面解题过程，计算 ； (2)请直接写出的结果．（） (3)利用上面的解法，请化简：． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，利用平方差公式进行分母有理化是解题关键． （1）根据平方差公式，进行分母有理化即可； （2）根据平方差公式，进行分母有理化即可； （3）根据平方差公式，进行分母有理化，根据实数与二次根式的运算法则计算可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ； （3）解： ． 类型八、规律问题 【解惑】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：______； (2)写出第个等式：______；（用含的等式表示） (3)根据上面的结论计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则，得出规律是解此题的关键． （1）结合第1至第4个等式，即可得出答案； （2）根据题目中所给式子呈现的规律，即可得出答案； （3）根据（2）中得出的规律，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，可得； 故答案为：； （2）根据题意，可得第个等式：； 故答案为：； （3）原式 ． 【融会贯通】 1．观察下列等式： 第1个等式； 第2个等式 第3个等式； … 根据你所发现的规律，解决下列问题： (1)填空______； (2)猜想______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)计算． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查数式规律问题，实数的运算，结合已知条件总结出规律是解题的关键． (1)根据题干中的已知等式即可求得答案； (2)根据已知等式总结规律即可； (3)根据所的规律先化简再算乘法即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）（n为正整数， 故答案为：； （3）原式． 2．学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了算术平方根，数字的变化类，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据题干所给式子进行计算，并得出规律即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律计算即可； （3）利用（1）中得出的规律，计算即可得解． 【详解】解：（1）①第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， ②第n个：， 故答案为：；； （2）、 ； （3）符合上述规律， ， 3．观察下面的变形规律： ， ， ， … 解答下面的问题： (1)计算：________； (2)若n为正整数，请你猜想________； (3)计算： 【答案】(1) (2) (3)2024 【分析】本题考查平方差公式，分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解； （2）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解； （3）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解： ． 类型九、新定义问题 【解惑】定义新运算：对于任意实数，都有，例如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义实数运算，涉及二次根式混合运算法则等知识，读懂题意，理解新定义运算公式，代值后由二次根式混合运算求解是解决问题的关键． （1）根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案； （2）先计算，再根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ． 【融会贯通】 1．我们已经学习了平方根和立方根．若，则叫的二次方根（平方根），可表示为．若，则叫的三次方根（立方根），可表示为．平方根具有性质如：正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．请阅读材料，观察下表，类比上述的定义和性质完成以下问题： … 1 16 81 … … … 【定义】（1）若，则叫的________①_________，可表示为______②______； 【性质】（2）请概括①的性质； 【应用】（3）若，直接写出的值： 【拓展】（4）解方程：． 【答案】（1）①四次方根；②；（2）正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解平方根和立方根定义． （1）类别平方根和立方根定义进行求解即可； （2）仿照平方根的性质进行概括即可； （3）根据四次方根定义进行求解即可； （4）利用四次方根的定义解方程即可． 【详解】解：（1）根据表格可知：若，则叫的四次方根，可表示为； （2）正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； （3）若，则； （4）， ∴， ∴， ∴． 2．【阅读材料】对任意一个实数，定义：表示不超过的最大整数，表示的非负纯小数部分，即．则．例：，其中，；，其中，． 【解答问题】 (1)________； (2)若，求整数的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1)6 (2)10，11 (3)12 【分析】本题考查了实数的新定义运算，无理数的估算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据实数的新定义直接解答即可； （2）由数的新定义可得，求出不等式的解集进而即可求解； （3）根据实数的新定义分别求出和的值，进而代入计算即可求解； 【详解】（1）解：∵， ， ， 故答案为：6； （2）解：∵， ， 解得：， ∴整数的值为 10，11 ； （3）解：， ， ， 原式 ． 3．【定义新概念】我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 如图1．已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”． 【新概念性质探究】通过探究，小艾同学探索并证明了“垂美四边形”的如下性质： 性质：垂美四边形四条边之间的数量关系如图1，，由勾股定理可知， 中，，中，， 同理，， 则， 即； 【应用新概念和性质解决问题】： (1)如图2，，分别是中、边上的中线，，垂足为，若，则________． (2)如图3，在长方形中，为中点，若四边形为“垂美四边形”，且，求的长； (3)如图4，是四边形内一点，，，，与交于点，与交于点，与交于点． ①求证：四边形是“垂美四边形”； ②若，，，求的长． 【答案】(1)20 (2) (3)①见解析；② 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质与判定，二次根式的性质；掌握定理内容并熟练运用是解题关键； （1）根据三角形中位线定理求出，根据“垂美四边形”的定义可得出，然后把，即可求解； （2）根据长方形的性质和勾股定理可求出，由题意可得，根据“垂美四边形”的定义得出，即可求解； （3）①先证明，可得，再证，得出四边形是垂美四边形； ②根据“垂美四边形”定义以及定理即可求解． 【详解】（1）解∶∵，分别是中、边上的中线，， ∴，，， ∵， ∴四边形是“垂美四边形” ∴， ∴， ∴， 故答案为：20； （2）解：∵四边形是长方形， ∴；， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为“垂美四边形”， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； （3）①证明：∵， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形； ②解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 解得，（舍去），， 即的长为． 类型十、华罗庚猜数问题 【解惑】跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚（1910-1985） 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，，又∵，∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 位数； ②它的立方根的个位数字是 ； ③19683的立方根是 ． (2)求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【答案】(1)①两；②7；③27 (2)48 【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． （1）仿照例题，进行推理得结论； （2）先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论． 【详解】（1）解：①，， 又， ， 能确定19683的立方根是个两位数． ②∵19683的个位数是3， 又， 能确定19683的立方根的个位数是7， ③如果划去19683后面的三位683得到数19， 而，则，可得， 由此能确定19683的立方根的十位数是2， 因此19683的立方根是27． （2）解：∵，， 又∵， ∴， ∴能确定110592的立方根是个两位数． ∵110592的个位数是2， 又∵， ∴能确定110592的立方根的个位数是8． 若划去110592后面的三位592得到数110， 而， 则， 可得， 由此确定110592的立方根的十位数是4， 因此110592的立方根是48． 【融会贯通】 1．阅读下列材料，并解决问题 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ ∵，， ∴是两位数， ∵的个位数是9 ∴的个位数是9， 如果划去后面的三位得到数，而，，由此确定的十位数是3， 所以． 请你应用以上方法计算的立方根（要求写出解答过程）． 【答案】67 【分析】本题主要考查了立方根的意义、数字变化的规律，熟练掌握题干中的解答方法是解题的关键． 利用题干中的解答步骤解答即可． 【详解】解：∵，， ∴是两位数， ∵的个位数是， ∴的个位数是， 如果划去后面的三位得到数， 而，，由此确定的十位数是， ∴，即的立方根是． 2．我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？有一种方法如下： 第一步   确定立方根的数位 ， ，即59319的立方根是一个两位数； 第二步  确定立方根的个位上的数字 0~9十个整数的立方如下表． 数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 观察发现：0~9十个整数的立方的个位数字是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某一个，且无重无漏． 的个位数字是9，而能确定的个位数字是9； 第三步   确定立方根的十位上的数字 我们知道被开方数的小数点向左（或向右）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位．数字59319太大，为了便于确定十位数字，可以先将求的问题转化为求的问题，再移动小数点得的值． 经验证 根据以上材料，解答下列问题． (1)3375的立方根是一个___________位数，其立方根的个位数字是___________； (2)已知238328是整数的立方，按照上述方法求． 【答案】(1)两；5 (2) 【分析】题目主要考查立方根的计算求解规律，理解题意是解题关键． （1）根据题干中的例题求解即可； （2）结合题意确定的立方根是两位数；能确定的个位数字是2．再求解计算即可． 【详解】（1）解：， ，即3375的立方根是一个两位数； 的个位数字是5，而， 能确定的个位数字是5； 故答案为：两；5； （2），且， 的立方根是两位数； 的个位数字是8，而． 能确定的个位数字是2． 而． ， ． 3．我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口说出：39． 你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？ (1)以下步骤是华罗庚迅速准确地计算出结果的过程，请补充完整： 第一步：，可以确定是___________位数； 第二步：由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是___________； 第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由于，可以确定的十位上的数是___________； 第四步：由此求得___________． (2)已知287496也是一个整数的立方，请利用上面的方法求出它的立方根． 答：它的立方根是___________位数；它的立方根的个位数是___________；它的立方根的十位上的数是___________；故287496的立方根是___________． 【答案】(1)两；9；3；39 (2)两；6；6；66 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根， 对于（1），根据可知其立方根是两位数，再根据确定立方根的个位数字，然后根据夹逼思想确定个数数字即可得出答案； 对于（2），仿照（1）解答即可． 【详解】（1）解：第一步：，, ∴， ∴可以确定是两位数； 第二步：由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是9； 第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由于，可以确定十位上的数是3； 第四步：由此求得． 故答案为：两；9；3；39； （2）解：第一步：，同理可以确定是两位数； 第二步：由287496的个位上的数是6，可以确定的个位上的数是6； 第三步：如果划去287496后面的三位496得到数287，而，由于，可以确定十位上的数是6； 第四步：由此求得． 所以它的立方根是两位数；它的立方根的个位数是6；它的立方根的十位上的数是6；故287496的立方根是66． 故答案为：两；6；6；66． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 实数思维导图 【类型覆盖】 类型一、估算二次根式 【解惑】估算 的值在（     ） A．2和3 之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【融会贯通】 1．估算的结果在（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 2．估算的整数部分 ． 3．如何估算（为不是平方数的正整数），记（其中为小于的最大平方数），则推导的思路如下： ，按照以上推导思路请估算 ；（结果精确到百分位） 类型二、二次根式的最值问题 【解惑】若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【融会贯通】 1．已知是正整数，则自然数n的最小值为（    ） A．20 B．10 C．8 D．4 2．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 . 3．如图，在等腰中，，平分，平分，M，N分别为射线上的动点，若，则的最小值为 ． 类型三、秦九韶——海伦公式 【解惑】八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知如图，在中，，，，则边上的高为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若一个三角形的三边长分别是a、b、c，记，那么三角形的面积为①，我们称①为海伦-秦九韶公式，在中，，，，则根据海伦-秦九韶公式求三角形ABC的面积是（   ） A． B． C． D． 2．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．已知的三边长为2，5，，则利用公式求得的面积是 ． 3．教材第16页的阅读与思考：海伦－秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，米，米，米，请你用海伦－秦九韶公式求的面积． 类型四、整数、小数部分 【解惑】若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【融会贯通】 1．若的整数部分和小数部分分别是，则（　　） A． B． C．2 D． 2．若的整数部分是a，小数部分是b，则的值是 3．阅读下面的文字，解答问题， 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，根据这一原则，求解下列各题： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a，b的值； (2)若，其中x是整数，且，求的相反数． 类型五、化简求值 【解惑】先化简，再求值：其中． 【融会贯通】 1．先化简，再求值：，其中． 2．已知：，．求值： (1)，； (2)． 3．在解决问题“已知，求的值”时，小蓝是这样分析与解答的： ， ， ，， ， ． 请你根据小蓝的分析解答过程，解决如下问题： (1)化简：______； (2)若，求的值． 类型六、复合二次根式化简 【解惑】【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题． 【实践探究】 （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，则________，________； （2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简________． 【融会贯通】 1．观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 2．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 3．阅读下面材料： ①计算：． ②化简：． 解：设，； ，； ，，且； ，； ； ． 完成下列问题： (1)计算： ； ； (2)解方程：； (3)若，求的值． 类型七、分母有理化 【解惑】请解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【融会贯通】 1．我们知道，因此，像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以上各小题． (1)计算：； (2)比较：与的大小； (3)化简：． 2．比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 因为，所以， 即． 仔细研读上面的解题方法，完成下列问题： (1)试比较与的大小； (2)尝试计算：． 3．阅读下列解题过程： ； ． 请解答下列问题： (1)观察上面解题过程，计算 ； (2)请直接写出的结果．（） (3)利用上面的解法，请化简：． 类型八、规律问题 【解惑】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：______； (2)写出第个等式：______；（用含的等式表示） (3)根据上面的结论计算： 【融会贯通】 1．观察下列等式： 第1个等式； 第2个等式 第3个等式； … 根据你所发现的规律，解决下列问题： (1)填空______； (2)猜想______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)计算． 2．学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 3．观察下面的变形规律： ， ， ， … 解答下面的问题： (1)计算：________； (2)若n为正整数，请你猜想________； (3)计算： 类型九、新定义问题 【解惑】定义新运算：对于任意实数，都有，例如． (1)求的值； (2)求的值． 【融会贯通】 1．我们已经学习了平方根和立方根．若，则叫的二次方根（平方根），可表示为．若，则叫的三次方根（立方根），可表示为．平方根具有性质如：正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．请阅读材料，观察下表，类比上述的定义和性质完成以下问题： … 1 16 81 … … … 【定义】（1）若，则叫的________①_________，可表示为______②______； 【性质】（2）请概括①的性质； 【应用】（3）若，直接写出的值： 【拓展】（4）解方程：． 2．【阅读材料】对任意一个实数，定义：表示不超过的最大整数，表示的非负纯小数部分，即．则．例：，其中，；，其中，． 【解答问题】 (1)________； (2)若，求整数的值； (3)若，，求的值． 3．【定义新概念】我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 如图1．已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”． 【新概念性质探究】通过探究，小艾同学探索并证明了“垂美四边形”的如下性质： 性质：垂美四边形四条边之间的数量关系如图1，，由勾股定理可知， 中，，中，， 同理，， 则， 即； 【应用新概念和性质解决问题】： (1)如图2，，分别是中、边上的中线，，垂足为，若，则________． (2)如图3，在长方形中，为中点，若四边形为“垂美四边形”，且，求的长； (3)如图4，是四边形内一点，，，，与交于点，与交于点，与交于点． ①求证：四边形是“垂美四边形”； ②若，，，求的长． 类型十、华罗庚猜数问题 【解惑】跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚（1910-1985） 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，，又∵，∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 位数； ②它的立方根的个位数字是 ； ③19683的立方根是 ． (2)求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【融会贯通】 1．阅读下列材料，并解决问题 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ ∵，， ∴是两位数， ∵的个位数是9 ∴的个位数是9， 如果划去后面的三位得到数，而，，由此确定的十位数是3， 所以． 请你应用以上方法计算的立方根（要求写出解答过程）． 2．我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？有一种方法如下： 第一步   确定立方根的数位 ， ，即59319的立方根是一个两位数； 第二步  确定立方根的个位上的数字 0~9十个整数的立方如下表． 数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 观察发现：0~9十个整数的立方的个位数字是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某一个，且无重无漏． 的个位数字是9，而能确定的个位数字是9； 第三步   确定立方根的十位上的数字 我们知道被开方数的小数点向左（或向右）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位．数字59319太大，为了便于确定十位数字，可以先将求的问题转化为求的问题，再移动小数点得的值． 经验证 根据以上材料，解答下列问题． (1)3375的立方根是一个___________位数，其立方根的个位数字是___________； (2)已知238328是整数的立方，按照上述方法求． 3．我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口说出：39． 你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？ (1)以下步骤是华罗庚迅速准确地计算出结果的过程，请补充完整： 第一步：，可以确定是___________位数； 第二步：由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是___________； 第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由于，可以确定的十位上的数是___________； 第四步：由此求得___________． (2)已知287496也是一个整数的立方，请利用上面的方法求出它的立方根． 答：它的立方根是___________位数；它的立方根的个位数是___________；它的立方根的十位上的数是___________；故287496的立方根是___________． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$