第二章 实数 单元测试-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版2024新教材）

第二章 实数 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求绝对值．根据绝对值的定义，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是0，即可求解． 【详解】解：的绝对值是． 故选：A 2．下列实数中，属于无理数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，无理数的概念，无限不循环小数是无理数，初中范围内涉及到的无理数有三种：开方开不尽的数，如；特定意义的数，如；特定结构的数，如．根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案． 【详解】A、是整数，属于有理数，选项错误； B、，结果为整数，属于有理数选项错误； C、是分数，可化为无限循环小数，属于有理数选项错误； D、无法化简为整数或分数，且6不是完全平方数，故是无限不循环小数，属于无理数，选项正确； 故选：D． 3．下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键． 根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数或因式；②被开方数不含分母，逐一判断即可． 【详解】解：选项A：，被开方数为分数，需分母有理化为，故不是最简二次根式； 选项B：，被开方数含分母，需化为，故不是最简二次根式； 选项C：，被开方数3无平方因子且不含分母，满足最简条件； 选项D：，可化简为整数，故不是最简二次根式． 故选：C． 4．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解；A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 5．已知，，求的值为（    ） A．1 B．5 C．1或5 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平方根和立方根，代数式求值，熟记平方根和立方根的定义是解题关键．先根据平方根和立方根的定义，求出，，再分别代入计算求绝对值即可． 【详解】解：，， ，， 当，时，； 当，时，； 综上可知，的值为1或5， 故选：C． 6．估算的结果应在（    ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，先估算的值，再计算的范围即可得到答案． 【详解】解： ∵，， ∴介于2和3之间， 又∵，， ∴在2.6到2.7之间； 当时，； 当时，， ∴的范围为到． 故的结果在到之间，位于9和10之间，选项D满足． 故选：D． 7．现对实数，定义一种运算：，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数的混合运算，先化简算术平方根和立方根，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解：， ， 故选：A． 8．若是整数，则正整数的最小值是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，解题关键是根据是正整数，确定整数的最小值即可． 【详解】解：∵是正整数，则整数的最小值为3， 故选：A． 9．若x，y为实数，且，则xy的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式的被开方数非负性是解题的关键． 根据二次根式的被开方数非负性，确定x的取值范围，进而求出x的值，代入原方程求出y的值，最后计算xy的值． 【详解】解：由题意，得， 解得． 将代入，得 解得：． ∴ 故选：C． 10．已知，则的值是（   ） A．13 B．15 C．17 D．19 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用、二次根式的性质、代数式求值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． 由完全平方公式可得，再对变形后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．有理数的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，解题的关键是掌握：如果一个正数的平方等于，那么这个正数叫做的算术平方根，非负数的算术平方根记作“”．据此解答即可． 【详解】解：有理数的算术平方根为． 故答案为：． 12．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，确定被开方数的取值范围，进而求解的取值范围． 【详解】解： 二次根式在实数范围内有意义， ， 解得． 故答案为： 13．比较大小： 2．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，先比较两个实数的平方的大小是解题的关键． 先比较两个数的平方，然后比较其大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 14．一个正方体纸盒的体积为，则其棱长是 ． 【答案】 【分析】此题是考查立方根的应用，会求一个数的立方根是解题的关键． 根据正方体的体积公式即可求出棱长． 【详解】解：设正方体的棱长为， ∴ ∴ 即棱长是． 故答案为：． 15．一个正常工作的灯泡其电阻为R，消耗的电功率为P，它两端的电压为U，满足关系式．现有一个能正常工作并标注电功率为的灯泡，其电阻为，则能使其正常使用的电压U为 ． 【答案】220 【分析】根据公式变形计算解答即可． 本题考查了跨学科计算，正确进行估算变形计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴（舍去）， 故答案为：220． 16．一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根、立方根的综合运用，先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案．熟记平方根、立方根定义是解决问题的关键． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， 分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； 的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为， 故答案为：． 17．实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ．    【答案】2 【分析】本题考查了实数与数轴，利用数轴得出，，进而化简即可． 【详解】解：由数轴，得，， ∴，，， ∴原式 ， 故答案为：2． 18．据说，我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座乘客很惊讶，忙问计算的奥妙．华罗庚是这样计算的： ①由，从而得出59319的立方根是一个两位数； ②由59319的个位数字是9，从而确定59319的立方根的个位数字是9； ③若划去59319后面的三位数319得到数59，而，从而确定59319的立方根的十位数字是3． 请你按照上面的方法确定110592的立方根为 ．（说明：若，则a叫做b的立方根） 【答案】48 【分析】本题主要考查了乘方运算，立方根的意义，本题是阅读型，熟练掌握题干中的方法和立方根的意义是解题的关键． 利用题干中的方法分步解答即可． 【详解】解：∵，从而得出110592的立方根是一个两位数； 又∵110592的个位数字是2，从而确定110592的立方根的个位数字是8； 划去110592后面的三位数592得到数110，而，，从而确定110592的立方根的十位数字是4． ∴110592的立方根为48． 故答案为：48． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算： （1）先把各二次根式化简，然后再进行合并即可； （2）原式根据二次根式的除法以及平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．求x的值 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根与立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根是解题的关键． （1）先将方程变形为，然后根据平方根即可求解； （2）由立方根求得，即可求解． 【详解】（1） ； （2） ． 21．已知的立方根为，4的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，无理数的估算，代数式求值，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据立方根，算术平方根的定义求出a，b的值，再根据无理数的估算求出c的值即可； （2）先代入求出代数式的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是， ∴， ∵4的算术平方根是， ∴， ∵， ∴即， ∴的整数部分是5， 又是的整数部分， ∴， 综上可知，，； （2）解：∵，，， ∴． ∴的平方根为． 22．学校有一个面积为60平方米，长宽比为的长方形菜地．同学们准备在菜地四周安装围栏，已知每米围栏的材料费用为35元． (1)请计算菜地的长和宽分别是多少米； (2)同学们计划申请1000元的预算用于购买围栏材料，请通过估算判断预算是否足够，并说明理由． 【答案】(1)菜地的长和宽分别是米，米 (2)预算不足，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用及实数的混合运算，关键是由题意得到关于x的方程． （1）设长方形菜地的长和宽分别是米，米，得到，求出（舍去负值），即可得到答案； （2）长方形菜地的周长米，求出围栏的材料总费用为（元），因此预算不足． 【详解】（1）解：设长方形菜地的长和宽分别是米，米， 由题意得到：， ∴（舍去负值）， 答：菜地的长和宽分别是米，米； （2）预算不足，理由如下： ∵长方形菜地的周长（米）， ∴围栏的材料总费用为（元）， ∵， ∴预算不足． 23．【阅读】古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式，这一公式称为海伦公式．即：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为：． 【问题解决】在中，，，，请用海伦公式求的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，先求出p的值，再利用海伦公式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ． 24．为增强手机的安全性，洋洋设置了手势密码图．如图1，两个相邻（上下或左右）密码点间的距离均为，手指沿顺序解锁． (1)求按此解锁一次的路径长； (2)请你在图2中设计一种手势密码，使解锁一次的路径长为． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，化简二次根式，熟记勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理求出与的长即可推出结果； （2）作一个腰长为2的等腰直角三角形即可． 【详解】（1）解：连接， 在和中， ，， ∴按此解锁一次的路径长为： ； （2）解：如图（答案不唯一）， ∵， ∴， ∴解锁一次的路径长为． 25．在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)的整数部分为4， 小数部分为． (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，立方根和算术平方根以及平方根的定义，审清题意掌握相关概念是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法求解即可； （2）根据题意立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，再仿照题意求出c的值，然后代入求其值，最后根据平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为4， ∴的小数部分为． （2）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴的整数部分是3， ∴， ∴， ∴的平方根是． 26．通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 【阅读材料】 例如，比较与的大小． 解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）． （构造图形）， （三角形任意两边之和大于第三边）． ，，（勾股定理），． 【问题解决】 （1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）； A．类比思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由； 【拓展探究】 （3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________． （要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形） 【答案】（1）D；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了实数大小比较、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键． （1）依据题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想，故可得解； （2）依据题意，在正方形网格中，构造线段，再利用两点之间，线段最短，从而可以判断得解； （3）依据题意，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则，从而，，，又是A关于的对称点，故．再根据两点之间线段最短，，可得当P在F时，取最小值为．又，可得．进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想． 故答案为：D； （2）由题意，在正方形网格中，如图1，构造线段． ∵两点之间，线段最短， ∴． ∵，， ，， ∴． ∴； （3）由题意，如图2，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则， ∴， ， ． 又∵是A关于的对称点， ∴． 又根据两点之间线段最短，， ∴． ∴． ∴当P在F时，取最小值为． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴当时，取最小值为． 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 实数 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 2．下列实数中，属于无理数的是（   ）． A． B． C． D． 3．下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，求的值为（    ） A．1 B．5 C．1或5 D．无法确定 6．估算的结果应在（    ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 7．现对实数，定义一种运算：，则等于（   ） A． B． C． D． 8．若是整数，则正整数的最小值是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 9．若x，y为实数，且，则xy的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．不能确定 10．已知，则的值是（   ） A．13 B．15 C．17 D．19 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．有理数的算术平方根为 ． 12．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 13．比较大小： 2．（填“”“”或“”） 14．一个正方体纸盒的体积为，则其棱长是 ． 15．一个正常工作的灯泡其电阻为R，消耗的电功率为P，它两端的电压为U，满足关系式．现有一个能正常工作并标注电功率为的灯泡，其电阻为，则能使其正常使用的电压U为 ． 16．一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为 ． 17．实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ．    18．据说，我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座乘客很惊讶，忙问计算的奥妙．华罗庚是这样计算的： ①由，从而得出59319的立方根是一个两位数； ②由59319的个位数字是9，从而确定59319的立方根的个位数字是9； ③若划去59319后面的三位数319得到数59，而，从而确定59319的立方根的十位数字是3． 请你按照上面的方法确定110592的立方根为 ．（说明：若，则a叫做b的立方根） 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．计算： (1)； (2)． 20．求x的值 (1) (2)． 21．已知的立方根为，4的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 22．学校有一个面积为60平方米，长宽比为的长方形菜地．同学们准备在菜地四周安装围栏，已知每米围栏的材料费用为35元． (1)请计算菜地的长和宽分别是多少米； (2)同学们计划申请1000元的预算用于购买围栏材料，请通过估算判断预算是否足够，并说明理由． 23．【阅读】古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式，这一公式称为海伦公式．即：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为：． 【问题解决】在中，，，，请用海伦公式求的面积． 24．为增强手机的安全性，洋洋设置了手势密码图．如图1，两个相邻（上下或左右）密码点间的距离均为，手指沿顺序解锁． (1)求按此解锁一次的路径长； (2)请你在图2中设计一种手势密码，使解锁一次的路径长为． 25．在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 26．通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 【阅读材料】 例如，比较与的大小． 解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）． （构造图形）， （三角形任意两边之和大于第三边）． ，，（勾股定理），． 【问题解决】 （1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）； A．类比思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由； 【拓展探究】 （3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________． （要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$