1—3 探索勾股定理 一定是直角三角形吗 勾股定理的应用-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版2024新教材）

1—3 探索勾股定理 一定是直角三角形吗 勾股定理的应用 探索勾股定理 一、勾股定理的概念 勾股定理是一个基本的几何定理，它指出在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么勾股定理可以表示为：a² + b² = c²。 二、勾股定理的适用条件 勾股定理只适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，需要先确定题目中的三角形是否为直角三角形。如果不是直角三角形，需要构造直角三角形或者采用其他方法求解。 三、勾股定理的证明方法 勾股定理的证明方法有很多种，常见的有拼图法、面积法等。其中，拼图法是通过将直角三角形分割或补全成其他图形，然后比较面积来证明勾股定理；面积法是通过计算直角三角形及其相关图形的面积来证明。 一定是直角三角形吗 一、勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a、b、c，满足a²+b²=c²，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形。勾股定理逆定理的作用主要是判定某一个三角形是否是直角三角形，它实现了从“数”到“形”的转化，即通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形。 二、勾股数 1、勾股数定义：能构成直角三角形三条边的三个正整数。 2、常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41等。需要注意的是，这两组勾股数的整倍数也是勾股数，如3、4、5是勾股数，则6、8、10也必是勾股数。在考察勾股数时，若出现不熟悉数组，可利用勾股定理逆定理判断，即验证是否满足a²+b²=c²。 勾股定理的应用 一、勾股定理的应用 1.解决实际问题：利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题，如梯子滑动、风吹莲动、折竹抵地、台风和爆破、航行和信号塔、速度等问题。在解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题。 2.求第三边：已知直角三角形的任意两边，可以利用勾股定理求出第三边的长度。 3.最短路径问题：在某些情况下，可以通过构造直角三角形并利用勾股定理求出最短路径。例如，蚂蚁在台阶上爬行，可以将台阶展开成平面图形后，利用勾股定理求出最短路程。 二、题型示例 1.求梯子滑落高度：给出梯子的长度和梯子与墙面的初始距离，以及梯子顶端沿墙下滑的距离，要求计算梯子底端外移的距离。 2.求旗杆高度：通过测量与旗杆相关的线段长度，利用勾股定理求出旗杆的高度。 3.其他实际问题：如测量风筝的高度、计算蜘蛛捕获苍蝇的最短路线长度等。 巩固课内例1:公路距离问题 1．如图是中山公园一角的平面地图，利用软件测得起点到第一个拐角处点的距离为30米，点到终点的距离是30米，如果，那么与两点之间的距离大约是（   ） A．30米 B．35米 C．40米 D．42米 2．如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为300米，到公交车站（D点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（C点），使之到学校A及到车站D的距离相等，则商店C与车站D之间的距离是 米． 3．如图，在笔直的高速公路旁边有A，B两个村庄，A村庄到公路的距离村庄到公路的距离，现要在之间建一个服务区E，使得A，B两村庄到服务区E的距离相等． (1)若，试说明：； (2)若C，D两点间的距离为，求C，E两点间的距离． 巩固课内例2:直角三角形的证明 1．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．0.03，0.04，0.05 C．7，24，25 D．3，4，5 2．欲检验一矩形画框的两边是否垂直，若测得两边长分别为和，对角线为，则该画框 （填“合格”或“不合格”）． 3．如图，在四边形中，已知，，，，且，连接，判断的形状，并说明理由． 巩固课内例3:水深、葭长问题 1．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（   ） A．13尺 B．12尺 C．24尺 D．26尺 2．数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭(jiā)赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈(一丈等于十尺)的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，则水深为 尺． 3．《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈尺） 解决下列问题： (1)示意图中，线段的长为______尺，线段的长为______尺； (2)求芦苇的长度． 巩固课内例4:蚂蚁爬行问题——圆柱 1．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜（杯壁厚度不计），此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（   ） A． B． C． D． 2．如图，一个圆柱形食品盒，它的高等于，底面周长为，在盒外下底面的点处有一只蚂蚁，想沿盒壁爬行吃到正对面中部点处的食物，那么它至少需要爬行 ．（蚂蚁的大小忽略不计） 3．如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 类型一、勾股定理求解 1．如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成，则S的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 2．如图，三个四边形均为正方形，则字母所表示的值是 ． 3．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，求的值． 类型二、勾股树问题 1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 2．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ． 3． 项目背景 我校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容知识点，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：1．画出不同类型三角形形成的树形图；2．所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三    解决问题 任务一 小明画出了锐角，，，则______． 任务二 小金画出了直角，，，计算的值，并写出过程． 任务三 小山画出了钝角，，，则______． 项目总结 综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______三角形形成的总面积最大．（填锐角、直角或钝角）．这个猜想，聪明的同学你会证明吗． 类型三、构成直角三角形的是 1．由下列各组线段组成的三角形是直角三角形的是（   ） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．2，3，5 2．一个三角形花坛的三边长分别为，，，则这个花坛的面积是 . 3．根据以下信息，判断三角形的形状． (1)三角形的三边长，，满足，判断此三角形的形状． (2)如图，在中，于点，，，，判断的形状． 类型一、赵爽弦图 1．如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，若，，则小正方形的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边，斜边，则小正方形的边长为 ． 3．如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论．这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有_______．（填序号） ①方程思想    ②数形结合思想    ③分类讨论思想 类型二、折断问题 1．如图，有一根电线杆在离地面6米处断裂，电线杆顶部C落在离电线杆底部B点8米远的地方，则断裂之前电线杆的长度为（    ）米 A．10 B．12 C．16 D．18 2．如图，这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是 尺（1丈尺）． 3．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点处吹断，那么行人在距离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？ 类型三、隧道问题 1．一辆装满货物，宽为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠点A、B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且．则修建公路长度为 3．为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 类型四、梯子滑落问题 1．如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（   ） A．小于12.5米 B．大于12.5米 C．等于12.5米 D．大于等于12.5米 2．一只小猫爬楼梯，楼梯斜靠在墙上，楼梯底部距离墙角米（即），由于楼梯滑动，底部滑动了米（即），楼梯的高度为米（即），则楼梯下滑了 米．（即求的长）． 3．小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段)的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段的长)为1.5米． (1)求风筝的垂直高度(线段的长)； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到处，求他应该往回收线多少米？ 类型一、勾股定理的证明 1．勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样．下列各式能用如图所示的图形面积验证勾股定理的等式是（   ） A． B． C． D． 2．人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号） 3．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．    (1)如图②，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？ 类型二、折叠问题 1．如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为 ． 3．如图，把长方形的边折叠，使得点C落在边上，折痕交边于点E， (1)请用尺规作图的方法画出折痕（保留作图痕迹，不写画法）； (2)在长方形中，若，，则_____． 类型三、蚂蚁爬行问题—长方体 1．如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 2．如图，一只蚂蚁从底面为边长的正方形，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是 ． 3．如图，长方体的棱长，，假设昆虫甲从长方体内顶点以的速度在长方体的内部沿棱向下爬行．同时，昆虫乙从长方体内顶点以相同的速度在长方体的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 类型四、勾股定理与半圆结合问题 1．如图，直角三角形三边上的半圆面积分别为和，则为（　　） A．7 B．8 C． D．25 2．《几何原本》中曾介绍：在直角三角形中，对直角的边上所作的图形的面积等于夹直角边上所作与前图形相似且有相似位置的二图形面积的和．反之，如图，若以的三边长为直径分别向外作三个半圆，其中两个半圆面积之和等于第三个半圆面积（即），则可断定是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 3．探究一：如图1，P、Q、M均为正方形． （1）若图1中的为直角三角形，，正方形P的面积为3，正方形M的面积为，则正方形Q的面积为________； 探究二：图形变化： （2）如图2，为直角三角形，，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说明理由； （3）如图3，如果直角三角形两直角边长分别为5和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1—3 探索勾股定理 一定是直角三角形吗 勾股定理的应用 探索勾股定理 一、勾股定理的概念 勾股定理是一个基本的几何定理，它指出在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么勾股定理可以表示为：a² + b² = c²。 二、勾股定理的适用条件 勾股定理只适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，需要先确定题目中的三角形是否为直角三角形。如果不是直角三角形，需要构造直角三角形或者采用其他方法求解。 三、勾股定理的证明方法 勾股定理的证明方法有很多种，常见的有拼图法、面积法等。其中，拼图法是通过将直角三角形分割或补全成其他图形，然后比较面积来证明勾股定理；面积法是通过计算直角三角形及其相关图形的面积来证明。 一定是直角三角形吗 一、勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a、b、c，满足a²+b²=c²，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形。勾股定理逆定理的作用主要是判定某一个三角形是否是直角三角形，它实现了从“数”到“形”的转化，即通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形。 二、勾股数 1、勾股数定义：能构成直角三角形三条边的三个正整数。 2、常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41等。需要注意的是，这两组勾股数的整倍数也是勾股数，如3、4、5是勾股数，则6、8、10也必是勾股数。在考察勾股数时，若出现不熟悉数组，可利用勾股定理逆定理判断，即验证是否满足a²+b²=c²。 勾股定理的应用 一、勾股定理的应用 1.解决实际问题：利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题，如梯子滑动、风吹莲动、折竹抵地、台风和爆破、航行和信号塔、速度等问题。在解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题。 2.求第三边：已知直角三角形的任意两边，可以利用勾股定理求出第三边的长度。 3.最短路径问题：在某些情况下，可以通过构造直角三角形并利用勾股定理求出最短路径。例如，蚂蚁在台阶上爬行，可以将台阶展开成平面图形后，利用勾股定理求出最短路程。 二、题型示例 1.求梯子滑落高度：给出梯子的长度和梯子与墙面的初始距离，以及梯子顶端沿墙下滑的距离，要求计算梯子底端外移的距离。 2.求旗杆高度：通过测量与旗杆相关的线段长度，利用勾股定理求出旗杆的高度。 3.其他实际问题：如测量风筝的高度、计算蜘蛛捕获苍蝇的最短路线长度等。 巩固课内例1:公路距离问题 1．如图是中山公园一角的平面地图，利用软件测得起点到第一个拐角处点的距离为30米，点到终点的距离是30米，如果，那么与两点之间的距离大约是（   ） A．30米 B．35米 C．40米 D．42米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是熟练运用勾股定理进行计算．连接，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接 ∵，起点到第一个拐角处点的距离为30米，点到终点的距离是30米，即米，米， ∴米， 故选：D． 2．如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为300米，到公交车站（D点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（C点），使之到学校A及到车站D的距离相等，则商店C与车站D之间的距离是 米． 【答案】312.5 【分析】过点A作AB⊥l于B，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：过点A作AB⊥l于B， 则AB=300，AD=500． ∴BD==400， 设CD=x，则CB=（400-x）， 根据勾股定理得：x2=（400-x）2+3002， 整理得：x2=160000+x2-800x+3002， 解得：x=312.5． 答：商店与车站之间的距离为312.5米， 故答案为：312.5． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解决本题的难点是构造已知长度的线段所在的直角三角形，利用勾股定理求解． 3．如图，在笔直的高速公路旁边有A，B两个村庄，A村庄到公路的距离村庄到公路的距离，现要在之间建一个服务区E，使得A，B两村庄到服务区E的距离相等． (1)若，试说明：； (2)若C，D两点间的距离为，求C，E两点间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定，以及勾股定理的应用，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）先根据余角的性质证明，然后根据可证； （2）设，则，根据，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ 又∵ ∴ 在在中： ∴ （2）解：设，则 在中，，即：， 在中，，即  ， 又∵， ∴   解得 即C，E两点间的距离. . 巩固课内例2:直角三角形的证明 1．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．0.03，0.04，0.05 C．7，24，25 D．3，4，5 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 根据勾股定理的逆定理，判断各组数中最大数的平方是否等于另两数的平方和。若相等，则能构成直角三角形；否则不能。 【详解】A、，，故不是直角三角形，故此选项符合题意； B、，故是直角三角形，故此选项不合题意； C、，故是直角三角形，故此选项不合题意； D、，故是直角三角形，故此选项不合题意． 故选：A． 2．欲检验一矩形画框的两边是否垂直，若测得两边长分别为和，对角线为，则该画框 （填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理计算即可判断画框的两边是否垂直，掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴画框的两边垂直， 故答案为：合格． 3．如图，在四边形中，已知，，，，且，连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 先由勾股定理得出，再证得即可由勾股定理的逆定理得出是直角三角形． 【详解】解：是直角三角形，理由如下： 在中，，，， 由勾股定理可得， 在中，，，， 即， 又， ， 由勾股定理的逆定理可得是直角三角形． 巩固课内例3:水深、葭长问题 1．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（   ） A．13尺 B．12尺 C．24尺 D．26尺 【答案】A 【分析】本题考查正确勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题是学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设芦苇长为尺，水深尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设芦苇长为尺，水深尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 即芦苇的长度13尺． 故选：A． 2．数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭(jiā)赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈(一丈等于十尺)的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，则水深为 尺． 【答案】12 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，    因为尺，所以尺， 在中，， 解之得， ∴水深为(尺)． 故答案为：12． 3．《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈尺） 解决下列问题： (1)示意图中，线段的长为______尺，线段的长为______尺； (2)求芦苇的长度． 【答案】(1)， (2)尺 【分析】（1）直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，且边长为尺的正方形，为中点，即可得出答案； （2）根据题意，可知的长为尺，则尺，设芦苇长尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】（1）由题意可得：尺，尺， 故答案为：，； （2）设芦苇长尺， 则水深尺， 在中， ， 解得：， 则（尺）， 答：芦苇长尺． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合以及表示出直角三角形的各边长． 巩固课内例4:蚂蚁爬行问题——圆柱 1．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜（杯壁厚度不计），此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用、轴对称的性质、圆柱的侧面展开图，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．圆柱形玻璃杯的侧面展开图的一半为长方形，作点关于的对称点，过点作于点，连接，先求出，的长，再利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，圆柱形玻璃杯的侧面展开图的一半为长方形，作点关于的对称点，过点作于点，连接， 由题意得：，，，， ∴， ∴， 即蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故选：A． 2．如图，一个圆柱形食品盒，它的高等于，底面周长为，在盒外下底面的点处有一只蚂蚁，想沿盒壁爬行吃到正对面中部点处的食物，那么它至少需要爬行 ．（蚂蚁的大小忽略不计） 【答案】26 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，解答此题的关键是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，作出B关于边的对称点D，然后利用勾股定理求出的长，再算出时间． 【详解】解：如图所示： 作B关于边的对称点D，连接，蚂蚁走的最短路径是， ∵底面周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：26． 3．如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【答案】蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 【分析】本题主要考查利用勾股定理求最短路径，熟练掌握利用勾股定理求最短路径是解题的关键．把圆柱体展开，连接，然后可知和，进而可由两点之间，线段最短可知即为所求 【详解】解：如解图，圆柱体的展开图为长方形， 所以， 由题意可知，， 所以在 中， 由勾股定理得，， 所以 ， 则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 类型一、勾股定理求解 1．如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成，则S的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理及其应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据勾股定理，结合正方形面积与边长的关系求解． 【详解】解：设面积为、、的正方形的边长分别为、、． ∴，， ． ∵是直角三角形，， ∴ ． ∵为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长， ∴；； ． ∴ ． 故选：A． 2．如图，三个四边形均为正方形，则字母所表示的值是 ． 【答案】144 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：由勾股定理得：， 故答案为：144． 3．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，求的值． 【答案】12 【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．利用勾股定理的几何意义解答． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ， ∴． 类型二、勾股树问题 1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 分别设正方形的边长为，得到，，，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，分别设正方形的边长为， 由勾股定理得，， 正方形的面积， 故选：A． 2．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ． 【答案】2026 【分析】本题主要考查勾股定理，由题目条件和所画出来的图形正确找出规律是解题的关键．分别计算出第一，第二，第三代勾股树中所有正方形的面积，得出第代勾股树中所有正方形的面积为进行分析计算． 【详解】解：由题意可知，第一代勾股树中所有正方形的面积为； 第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为……， 则第代勾股树中所有正方形的面积为， ∴第2025代勾股树中所有正方形的面积为． 故答案为：2026． 3． 项目背景 我校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容知识点，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：1．画出不同类型三角形形成的树形图；2．所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三    解决问题 任务一 小明画出了锐角，，，则______． 任务二 小金画出了直角，，，计算的值，并写出过程． 任务三 小山画出了钝角，，，则______． 项目总结 综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______三角形形成的总面积最大．（填锐角、直角或钝角）．这个猜想，聪明的同学你会证明吗． 【答案】任务一：；任务二：，过程见解析；任务三：；项目总结：钝角，证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题关键．任务一：先求出，再利用正方形的面积公式求解即可得；任务二：先利用勾股定理求出的长，再利用正方形的面积公式求解即可得；任务三：过点作，交延长线于点，设，则，，，，在中，利用勾股定理可得的值，再利用正方形的面积公式求解即可得；项目总结：分别求出三个任务中的的值，由此即可得． 【详解】解：任务一：由题意可知，，， ，， ， 故答案为：． 任务二：由题意可知，①， ，， ，即， ②， 联立①②得：， 则． 任务三：如图，过点作，交延长线于点， 则， 设，则， ，， ， 在中，，即， 解得， ， 则， 故答案为：． 项目总结：组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大．证明如下： 在任务一中，， 在任务二中，， 在任务三中，， ， ∴周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大． 类型三、构成直角三角形的是 1．由下列各组线段组成的三角形是直角三角形的是（   ） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．2，3，5 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为3，4，4的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴长为3，4，5的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意； C、∵， ∴长为3，4，6的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为2，3，5的三条线段不可以组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．一个三角形花坛的三边长分别为，，，则这个花坛的面积是 . 【答案】84 【分析】根据得到三角形是直角三角形，根据直角三角形的面积公式解答即可. 本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的面积，熟练掌握定理是解题的关键. 【详解】解：由， 故该三角形是直角三角形， 故直角三角形的面积为， 故答案为：84. 3．根据以下信息，判断三角形的形状． (1)三角形的三边长，，满足，判断此三角形的形状． (2)如图，在中，于点，，，，判断的形状． 【答案】(1)等腰三角形 (2)直角三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、因式分解的应用、勾股定理与勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理与勾股定理的逆定理是解题关键． （1）先利用因式分解可得，再根据可得，由此即可得； （2）先利用勾股定理可得，，则可得，再利用勾股定理的逆定理即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是三角形的三边长， ∴， ∴， ∴，即， ∴此三角形是等腰三角形． （2）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 类型一、赵爽弦图 1．如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，若，，则小正方形的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理等，先求出大正方形的面积为，由勾股定理得，求出小正方形的面积，即可求解；能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：正方形的面积为：， ， ， 小正方形的面积是， 故选：A． 2．我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边，斜边，则小正方形的边长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理的证明、勾股定理、正方形的面积，根据题意和勾股定理，可以求得直角三角形的另一条直角边，再根据小正方形的面积大正方形的面积四个直角三角形的面积，代入数据计算即可． 【详解】解：∵直角三角形较短的直角边，斜边， ∴另一条直角边为， ∵小正方形的面积大正方形的面积四个直角三角形的面积， ∴小正方形的面积为：， ∴小正方形的边长为7， 故答案为：7． 3．如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论．这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有_______．（填序号） ①方程思想    ②数形结合思想    ③分类讨论思想 【答案】(1)见解析 (2) (3)①② 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的推导以及勾股定理得结构特征． （1）根据梯形面积公式求得，根据割补法求出，联立等式并化简即可； （2）根据勾股定理可得，，据此即可求得答案． （3）结合解题过程即可求得答案． 【详解】（1）证明：观察图形可知或． 所以． 整理，得，即； （2）解：因为，所以． 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 所以， 解得； （3）解：在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有①方程思想，②数形结合思想， 故答案为：①②. 类型二、折断问题 1．如图，有一根电线杆在离地面6米处断裂，电线杆顶部C落在离电线杆底部B点8米远的地方，则断裂之前电线杆的长度为（    ）米 A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．在直角三角形中利用勾股定理求出的长，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：在中，米，米， ∴（米）， 故这根高压电线杆断裂前高度为：（米）． 故选：C． 2．如图，这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是 尺（1丈尺）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．设长为x尺，则尺，直接根据勾股定理列方程，求解即可． 【详解】解：设长为x尺，则尺， 在中，尺， ， ， 解得：， 则折断处离地面（即）的高度是尺． 故答案为：． 3．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点处吹断，那么行人在距离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1) (2)行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）设长为，则长，由勾股定理可得，解方程即可得到答案； （2）由题意可得，则．利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，， 设长为，则长， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴； 答：旗杆距地面处折断． （2）解：如图， 由题意可得， ∴． 在中，， ∵， ∴， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 类型三、隧道问题 1．一辆装满货物，宽为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用，根据图形，可得，根据勾股定理求出，则，根据题意，则卡车的外形小于，即可． 【详解】解：由图形可得，（米），（米）， ∵， ∴， 解得：（米）， ∵， ∴（米）， ∴卡车的外形不得高于米． 故选：C． 2．如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠点A、B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且．则修建公路长度为 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，通过计算可得出，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据的面积公式可得，，从而求出的长． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴修建的公路的长是． 故答案为：12． 3．为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)这辆小汽车没有超速，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴； （2）解：结合（1）可得小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 答：这辆小汽车没有超速． 类型四、梯子滑落问题 1．如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（   ） A．小于12.5米 B．大于12.5米 C．等于12.5米 D．大于等于12.5米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边中线性质，是解题的关键． 先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，由M是的中点，所以中，． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵M是的中点， ∵， M是的中点， ∴中，． 故选：C． 2．一只小猫爬楼梯，楼梯斜靠在墙上，楼梯底部距离墙角米（即），由于楼梯滑动，底部滑动了米（即），楼梯的高度为米（即），则楼梯下滑了 米．（即求的长）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理分别求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：在中，， 在中， ∴米 故答案为：． 3．小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段)的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段的长)为1.5米． (1)求风筝的垂直高度(线段的长)； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到处，求他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为21.5米 (2)他应该往回收线8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． (1)利用勾股定理求出的长，即可解决问题； (2)根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米； （2）解：如图，设下降到， 由题意可知，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线8米． 类型一、勾股定理的证明 1．勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样．下列各式能用如图所示的图形面积验证勾股定理的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键． 根据大正方形的面积等于四个直角三角形面积的和加上小正方形的面积计算． 【详解】解：大正方形的边长为，面积为， 小正方形的边长为，面积为， 四个直角三角形的面积都为， 所以， 故选：A． 2．人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，解题的关键是理解题意，掌握利用等面积法进行证明．分别求出①②③④的面积，进行化简即可得． 【详解】解：①长方形的面积：， ②， ③， 整理，得， ④， 整理，得， 故答案为：③④． 3．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．    (1)如图②，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)原路长6.5千米 【分析】本题主要考查勾股定理及等积法，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据梯形面积为或，则有等式，然后问题可求解； （2）设千米，则千米，然后根据勾股定理可得方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴梯形的面积为或， ∴， ∴， 即； （2）解：设千米，则千米， 在中，，即， 解得，即， 答：原路长千米． 类型二、折叠问题 1．如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：A． 2．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，连接，，，折叠得到，设，则，在和中，，进而得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图①，连接，，， ∵将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕， ∴垂直平分，，， ∴，， 设，则，   在和中， ∴， 即， 解得． 故线段的长为． 故答案为：． 3．如图，把长方形的边折叠，使得点C落在边上，折痕交边于点E， (1)请用尺规作图的方法画出折痕（保留作图痕迹，不写画法）； (2)在长方形中，若，，则_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠的性质，尺规作一个角的平分线，解题的关键是熟练掌握利用尺规作角平分线及勾股定理和折叠的性质． （1）以点B为圆心，为半径画弧，与交于点，即为点，连接，作的平分线，交于点E，折痕即为点； （2）先根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：即为所求 （2）解：∵纸四边形为长方形， ∴, ，， 连接， 根据折叠可知，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可知，， 即， 解得：， ∴， 故答案为． 类型三、蚂蚁爬行问题—长方体 1．如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，勾股定理，长方体的展开图，理解题意、掌握立方体的展开图是解题关键． 将长方体展开，连接，根据两点之间线段最短，即可求解． 【详解】解：将长方体展开，连接， 根据两点之间线段最短，共有种情况： ①如图， ，， 由勾股定理，得：； ②如图， ，， 由勾股定理，得：； ③如图， ，， 由勾股定理，得：； ， 蚂蚁需要爬行的最短距离是． 故选：B． 2．如图，一只蚂蚁从底面为边长的正方形，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是 ． 【答案】/13厘米 【分析】本题考查了勾股定理的应用、平面展开图—最短路径问题正确找到最短路径是解题关键． 先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图1所示展开时： ， 此时； 如图2所示展开时： 此时． ∵， ∴它需要爬行的最短路线的长是， 故答案为：． 3．如图，长方体的棱长，，假设昆虫甲从长方体内顶点以的速度在长方体的内部沿棱向下爬行．同时，昆虫乙从长方体内顶点以相同的速度在长方体的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】昆虫乙至少需要才能捕捉到昆虫甲 【分析】本题考查勾股定理的应用．将长方体的侧面部分展开，若昆虫乙在点处捕捉到昆虫甲，连接交于点，则当时，用时最短．设昆虫甲从顶点沿棱向顶点爬行的同时，昆虫乙从顶点按路径爬行捕捉到昆虫甲需要．在中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：将长方体的侧面部分展开，如图所示． 若昆虫乙在点处捕捉到昆虫甲，连接交于点， 则当时，用时最短． 设昆虫甲从顶点沿棱向顶点爬行的同时，昆虫乙从顶点按路径爬行捕捉到昆虫甲需要，则． 由题意可知，， ∵在中，． ， 解得． 昆虫乙至少需要才能捕捉到昆虫甲． 类型四、勾股定理与半圆结合问题 1．如图，直角三角形三边上的半圆面积分别为和，则为（　　） A．7 B．8 C． D．25 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据图形结合勾股定理可知：大半圆的面积等于两个小半圆的面积之和，进行求解即可． 【详解】解：设直角三角形的三边分别为， 则：， 由图可知：， ∴； 故选C． 2．《几何原本》中曾介绍：在直角三角形中，对直角的边上所作的图形的面积等于夹直角边上所作与前图形相似且有相似位置的二图形面积的和．反之，如图，若以的三边长为直径分别向外作三个半圆，其中两个半圆面积之和等于第三个半圆面积（即），则可断定是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理即可得出结论，如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 【详解】解：，，， ， ，即， 是直角三角形， 故答案为：直角． 3．探究一：如图1，P、Q、M均为正方形． （1）若图1中的为直角三角形，，正方形P的面积为3，正方形M的面积为，则正方形Q的面积为________； 探究二：图形变化： （2）如图2，为直角三角形，，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说明理由； （3）如图3，如果直角三角形两直角边长分别为5和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）能，面积为，过程见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，以直角三角形三边为边长的图形面积，圆的面积公式，三角形面积，正方形面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式结合勾股定理，可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和； （2）根据圆的面积公式结合勾股定理，可发现大半圆的面积是两个小半圆的面积和； （3）由（2）可得，阴影部分的面积等于直角三角形的面积，据此解答即可求解． 【详解】解：（1）为直角三角形，， ， 由题意得：，， ， 故答案为：； （2），理由如下： 是直角三角形，， ， ，，， ， ； （3）设以AC为直径的半圆面积为，以BC为直径的半圆面积为，以AB为直径的半圆面积为， 由（2）可知，，，， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$