期中考前满分冲刺之优质压轴题-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版2024新教材）

期中考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、从图象中获取信息(选) 1．如图1，在直角梯形中，，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，点P运动的速度为2个单位长度/秒，若设点P运动的时间为x秒，的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则的面积为（　　） A．6 B．48 C．24 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象问题与三角形面积的求法等知识点，要求学生能够根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 根据题意，分析P的运动路线，分2个阶段分别讨论，可分别得处的值，进而可得的面积，即可得出答案． 【详解】解：根据图2可知当点P在上运动时，的面积不变，与面积相等；且不变的面积是在； 可知当时，点P恰好到点C处，此时P点运动3秒，即； 同理可得 ∴． 故选C． 2．如图是北京市某天的气温变化图，根据图象判断，以下说法正确的是（   ） A．从早上6时开始气温逐渐升高，直到15时达到当日最高气温接近 B．当日温度为的时间点有两个 C．当日气温均在以上 D．当日气温在以下的时长为12个小时 【答案】C 【分析】本题主要考查函数图象，熟练掌握函数的图象是解题的关键．根据函数图像可直接进行求解． 【详解】解：A、从早上6时开始气温逐渐下降，至9时以后才逐渐升高，该选项错误，不符合题意； B、当日温度为的时间点有3个，该选项错误，不符合题意； C、当日气温均在以上，该选项正确，符合题意； D、当日气温在以下的时长约为个小时，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象，熟练掌握函数图象表示的意义是解题的关键，根据动点从点出发，首先在上运动，此时随的增加而增大，当点在上运动时，不变，当点在上运动时，随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：点在上运动，即时，随着的增大而增大， 点在上运动，即时，， 当点在上运动，即时，随着的增大而减小， 故选：A． 4．某游泳池的横断面如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把游泳池蓄满水，下面的图象能大致表示水的深度（米）和注水时间（分）之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力，要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型，结合实际意义画出正确的图象．首先看图可知，随着的增大而增大，再根据游泳池的横断面上宽下窄可知，深水区随着的增大速度大于浅水区，从而得解． 【详解】解：观察图形可知：水的深度（米）与注水时间（分）之间的关系分为两段，每一段随着的增大而增大，故排除A、D选项， 根据游泳池的横断面上宽下窄可知：深水区随着的增大速度大于浅水区，故排除B选项，只有C选项符合题意． 故选：C ． 5．周六下午，小明从家去乐高编程班上课，时长2小时的课程结束后，小明以同样速度原路返回，如图正确描述这一过程的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查运动的图象，小明从家去上课，离家的距离越来越远，在上课的2小时内，离家的距离不变，故排除C选项，课程结束后，小明回家，离家的距离越来越小，可排除D选项，由于小明是以相同的速度返回，故B选项符合题意． 【详解】解：小明从家去上课，离家的距离越来越远，在上课的2小时内，离家的距离不变，小明回家时离家的距离越来越小，且小明是以相同的速度返回，所以B选项的图象能正确描述这一过程． 故选：B． 6．如图，在四边形中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是函数图象，解题的关键是根据点P到直线的距离来判断S与t的关系．根据点P的运动过程可知：的边始终不变，点P到直线的距离为的高，根据高的变化即可判断S与t的函数图象． 【详解】解：设点P到直线的距离为h， ∴的面积为：， 当P在线段运动时，此时h不断增大，S也不断增大； 当P在线段上运动时，此时h不变，S也不变； 当P在线段上运动时，此时h不断减小，S不断减少； 又因为匀速行驶且，所以在线段上运动的时间大于在线段上运动的时间． 故选：C． 类型二、坐标系中的规律(选) 1．如图，光标起始时位于处，沿图中所示的方向移动，光标的运动轨迹如图所示，光标第1次改变方向时，光标的位置是，那么光标第2025次改变方向时，光标的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查点坐标规律的探索，掌握移动的规律是解题的关键．由题知光标移动5次又回到点处，结合即可求解． 【详解】根据题意，光标移动5次又回到点处， ， 光标第2025次改变方向时，光标的位置是． 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，，……按这样的规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点坐标规律探索，由题意可得点（为正整数）的横坐标为，纵坐标为每个一循环，从而得出点的横坐标为，再由，得出点的纵坐标与的纵坐标相同为，由此即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵，，，，，……， ∴点（为正整数）的横坐标为，纵坐标为每个一循环， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标与的纵坐标相同，为， ∴点的坐标为， 故选：B． 3．在如图所示的方格纸上（小正方形的边长均为1），都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，且它们的斜边长分别为2，4，6，…．若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标规律的探索，掌握通过分析已知点的坐标，总结出不同类别偶数对应的坐标规律，再结合所求点的序号判断其坐标是解题的关键． 先找出点的坐标变化规律，再根据规律判断的坐标． 【详解】解：由题意，得，观察点的坐标变化发现当n为偶数，且n不是4的倍数，即n为2，6，10，…时，的坐标为；当n为偶数，且n是4的倍数，即n为4，8，12，…时，的坐标为． ， 点的坐标为． 故选：A． 4．2024年沙特阿拉伯国庆节期间，中国无人机表演团队震撼全球，6000架无人机编队划破夜空，展示了中国“智造”实力．无人机表演并非简单的编程或灯光秀，而是涉及到多项技术的深度融合．这其中就包括了精准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“”方向飞行，，，，…根据这个规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律．根据各个点的位置关系，可得点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，且，再根据第三象限内点的符号得出答案即可． 【详解】解：∵，，，…， 由坐标结合图形发现：点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在第一象限的角平分线上， ∵， ∴点在第三象限的角平分线上， ∴点． 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至，然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化——平移，规律型问题，解题的关键是根据第四象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题． 【详解】解：由题意可知， ∴第四象限中的点为， ∵， ∴的坐标是，即． 故选：D 6．如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上，向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，…，第n次移动到，则的面积是（   ） A． B．25 C． D．26 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积，数轴． 依据题意得，，由表示的数为2，表示的数为4，表示的数为6，…，可推导一般性规律：表示的数为，则表示的数为50，根据，从而计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，由表示的数为2，表示的数为4，表示的数为6，…， ∴可推导一般性规律：表示的数为， ∴表示的数为50， ∴， ∴． 故选：B． 类型三、正确结论的是(选、填) 1．如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，完全平方公式的应用，熟记勾股定理是解题的关键．①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可；②在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答；③将用和表示出来，再进行比较． 【详解】解：①过点作，交于点；过点作，交于点． ∵，， ， 又， ， 四边形为矩形， 同理可得，四边形也为矩形， ， 在中， 则， 故①正确，符合题意； ②∵， ， 在中，， ， ， 故②正确，符合题意； ③∵， ，， 又， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 故③正确，符合题意； 故选：D 2．如图，点在同一条直线上，点在点之间，点在直线同侧，，，，连接．设，给出下面三个结论∶①；② ；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．① ② B．① ③ C．② ③ D．① ② ③ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系，由“”证明，即可判断①；得出，，由勾股定理得出，再由三角形三边关系即可判断②；由勾股定理计算即可判断③． 【详解】解：， ， ， ， ，故①正确； ，， ， ， ，故②正确； ，故③错误， 综上所述，正确的有①②， 故选：A． 3．例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②比较大小：； ③变形：； ④计算； ⑤已知，，且，则所有可能的整数m的和为． 以上结论正确的是（    ） A．①③④⑤ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化，解决二次根式的化简、比较大小和运算的问题，熟练掌握知识点是解题的关键． ①估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ②通过分母有理化，比较两个二次根式的倒数大小，即可解答； ③先分子分母同时乘以，减少分母的根式个数后再次有理化分母即可； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值； ⑤与b可以利用分母有理化化简，可得出，然后观察方程特点，求得m的值． 【详解】解：①∵a是的小数部分， ∴， ∴，故①错误； ②∵， ， 又∵， ∴， ∴，故②正确； ③ ，故③正确； ④∵ ∴ ，故④正确； ⑤∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， 即， ， 解得，故⑤错误． 综上所述：②③④正确， 故选：B． 4．如图，点、、在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了勾股定理三角形，全等的判定和性质，三角形三边关系，①过点作于点，根据平行线间的距离相等可得，得出，根据中，为斜边，为直角边，得出，即可判断①；②根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理得出，根据三角形三边关系得出，即可得出，判断②；③证明，根据勾股定理得出，求出，根据，得出，即可得出，判断③，④． 【详解】解：①过点作于点，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵在中，为斜边，为直角边， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即，故③正确； ∵ ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 5．如图，矩形中，，点F在的延长线上，，连接交于点M，点E在边上，，连接，点G为中点，连接交于点H．下列结论：①；②；③；④四边形的面积为，其中所有正确结论的序号为 ．    【答案】①②④ 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．通过证明∽，可得，可证，故正确；由勾股定理可求，由等腰三角形的性质可求，故正确；求出时是等边三角形，可判断③错误；分别求出，，，的长，即可求四边形的面积为，故正确，即可求解． 【详解】解：，，，， ，， ，， ∽， ， ，故正确； 连接，    ， ， 点是的中点， ，，，故正确； ∵， ， 若，则， ， ， ， 是等边三角形， ，与题意不符合，故错误； ，， ，   ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． ， ， ，， 四边形的面积， 故正确； 故答案为：． 6．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF、BE、C D．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③∠AFE＝45°；④．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】作AM⊥BD于点M，AN⊥EC于点N，证明△BAD≌△CAE（SAS），利用全等三角形的性质和勾股定理一一判断即可． 【详解】解：如图所示，作AM⊥BD于点M，AN⊥EC于点N，连接CD， ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴EC=BD，∠ABD=∠ACE， 故①选项正确， ∵∠BAC=90°， ∴∠ABC+∠ACB=90°， ∵∠ABD=∠ACE， ∴∠FBC+∠BCF=90°， ∴∠BFC=90， ∴BF⊥CF， 故②选项正确， ∵△BAD≌△CAE， ∴，BD=CE， ∵AM⊥BD，AN⊥EC， ∴AM=AN， ∴FA平分∠EFB， ∵BF⊥CF， ∴∠EFB=90°， ∴∠AFE=45°， 故③选项正确， ∵BF⊥CF， ∴∠BFC=∠EFB=∠CFD=∠EFD=90°， ∴，，，， ∴，， ∴， 故④选项正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 类型四、最值问题(选、填、解) 1．如图，在中，，，，点是线段上一动点，点在线段上，当时，的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点B关于的对称点，连接交于点P，则，可得的最小值为的长，过点作于点H，得到，从而得到，由勾股定理可得，再由，可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点，连接交于点P，则， ∴， ∴的最小值为的长， 过点作于点H， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称最值问题，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 2．如图，在中，，，取中点D，取上的一个动点E，连接，将沿翻折至，点是点的对应点，连接，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，线段的性质，由，的中点，得到，根据折叠的性质得到，连接，当点在线段上时，最短，根据勾股定理得到，于是得到结论，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：，的中点， ， 将沿翻折至，点是点的对应点， ， 如图，连接， 当上同一直线上时，最短， ，，， ， ， 的最小值为2， 故选：B． 3．如图，在矩形中，点、、、分别是边、、、上的动点（不与端点重合），若四点运动过程中满足、，且、，则四边形周长的最小值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形性质、平行四边形判定及最短路径问题，解题关键是准确作对称点并转化线段，易错点是对称点的位置或勾股定理计算失误；解题思路是运用对称思想与勾股定理，通过作对称点将折线转化为直线，利用两点之间线段最短求周长最小值． 【详解】解：由、及矩形性质， 可证是平行四边形，因此周长； 作点关于的对称点，关于的对称点； 则，； 周长; 当 、 、 、 、共线时，最小， 因为、，利用勾股定理可得： 最短周长 故答案为：． 4．如图，，点分别在边上，且，点、分别在边、上，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】作关于的对称点，关于的对称点，连接两对称点，交于．此时有最小值，根据线段垂直平分线性质和两点之间线段最短，，的长度就是所求的的最小值，勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：作关于的对称点，关于的对称点，连接两对称点，交于，连接，如图所示： ，，， 则， 由两点之间线段最短，当四点共线时，有最小值，为的长， ， ， 则是直角三角形， 在中，由勾股定理得， 即的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及轴对称的性质、两点之间线段最短、直角三角形判定、勾股定理等知识，根据题意，作出图形，利用轴对称的性质求出线段长是解题的关键． 5．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为和的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是 ． （2）应用：如图，“赵爽弦图”是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是 ． （3）类比迁移：已知，均为正数，且．求的最大值． （4）方法应用：已知，均为正数，且，，是三角形的三边长．求这个三角形的面积（用含，的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）利用给出的图形，标上必要的字母，可以推出，，得到，要使的值最小，则的值最小，根据两点之间线段最短可知，当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可． （2）设这个全等直角三角形的长边为，短边为，则，，， 由勾股定理得  ， 即，， 构造图形，设，，，， 可得，，  则有的最小值为的长，易证，得到，进而可求得的值． （3）构造图形如图，在矩形中，，，，，且于点，得到 ， ， 则有， 要使的值最大，需的值最大， 当，，三点共线时，的值最大，最大值为，易知，根据平行线分线段成比例，结合，可求得、的值，进而可求得的值． （4）构造图形，使得，，，，，， 则满足 ， ，，可得的面积即为所求， 根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）如图所示：，，，， 则，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长， 由勾股定理，得， 即的最小值是 故答案为：； （2）如图：设这个全等直角三角形的长边为，短边为，则，，， 由勾股定理得 ， 即， 由勾股定理得， 构造图形如下： 设，，，， 可得，， ， 的最小值为的长，如图所示， ， ，， ， ， ， 即的最小值为． （3）构造图形如图：在矩形中，，，，，且于点， 在中， 由勾股定理，得 ， 在中， 由勾股定理，得， ， 要使的值最大，需的值最大， ， 当，，三点共线时，的值最大，最大值为， 如图所示， ，， ， ，即， ， ， 即， ， ， ， ， ， 即的最大值为． （4）构造图形如图：，，，，，， ， ， ， 的面积即为所求， ． 即这个三角形的面积为． 【点睛】本题考查了线段和、线段差的最值问题，列代数式，勾股定理，三角形的面积，矩形的性质与判断，正方形的性质，两点之间线段最短，准确构造出符合题意的图形是解题的关键． 6．阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 【答案】（1），（2）17，（3）5 【分析】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，构造直角三角形解决问题，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键： （1）由于和都是直角三角形，故可由勾股定理求得； （2）若点C不在的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，，故当A、C、E三点共线时，的值最小； （3）仿照拓展应用构造直角三角形，利用勾股定理求解即可 【详解】解：（1）由勾股定理知， ∴ ， 故答案为：； （2）当A、C、E三点共线时，的值最小，如下图，    ∴； （3） 建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和， 则 ， 那么，代数式的最小值为5． 类型五、蚂蚁爬行问题(选、填、解) 1．如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．米 【答案】C 【分析】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，解题关键是把长方体展开后用了勾股定理求出对角线的长度．昆虫有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）两个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的路径． 【详解】解：由题意得， 路径一： ； 路径二： ； 路径三： ； ∵， ∴5为最短路径． 故选：C． 2．如图，圆柱的底面圆的周长为，高为，一只蚂蚁沿外壁从点A爬行到上边缘与之正相对的点B最少要爬行（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：将圆柱体展开如图： 由题意，，， ∴，即蚂蚁沿外壁从点A爬行到上边缘与之正相对的点B最少要爬行； 故选D． 3．如图，在一张长方形纸板上放着一根长方体木块已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，则一只蚂蚁从点爬过木块到达点需要走的最短路程为 【答案】 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，掌握两点之间线段最短是关键． 解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为（米），宽为米． 于是最短路径为：（米）． 故答案为：米． 4．如图，圆柱的底面周长为，AC是底面圆的直径，高，点P 是上的中点．一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 【答案】 【分析】此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图． 首先画出圆柱的侧面展开图，根据高，，在中，根据勾股定理求出的长． 【详解】解：侧面展开图如图所示， 圆柱的底面周长为， ， ， 在中， ， ． 故答案为：． 5．为方便学生将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 探索蚂蚁从圆柱的下底面上的点A沿圆柱侧面爬到相对顶点B的最短路程 活动准备 同一尺寸的圆柱若干，皮尺，剪子，直尺 研究问题 如图1，一个圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃道上底面与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱爬行的最短路程是多少？ 设计方案 （1）将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开，确定展开图的形状，以及与圆柱的对应关系，； （2）在圆柱的侧面展开图中标出点B的位置； （3）在圆柱的侧面展开图中确定两点之间的最短路线，并计算它的长度． 确定思路 将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题 根据以上信息，解决下列问题： (1)圆柱的侧面展开图是__________； (2)在圆柱的侧面展开图中标出点B的位置并画出A、B两点之间的最短路线； (3)求蚂蚁沿圆柱从A爬到B的最短路程． 【答案】(1)长方形 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查立体几何中最短路线问题，把曲面上的最短路径问题转化为平面上的最短路径问题是解题的关键． （1）由题意得，将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开后，得到展开图的形状为长方形； （2）观察圆柱发现，A、B两点是相对的顶点，将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开后，点B位于长方形中与点A所在的线段的对边中点处，根据两点之间，线段最短，连接即可； （3）根据（2）中的位置，根据勾股定理进行求解计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开后，得到展开图的形状为：长方形， 故答案为：长方形； （2）解：观察圆柱发现，A、B两点是相对的顶点，将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开后，点B位于长方形中与点A所在的线段的对边中点处，根据两点之间，线段最短，连接，如图： （3）解：、、 ． 答：蚂蚁沿圆柱从A爬到B的最短路程为． 6．【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 【答案】（1）25；（2）；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 类型六、整数、小数部分(选、填、解) 1．若的小数部分是，那么的值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的计算，根据题意得出的值是解题关键．首先估算出的取值范围：，得出的小数部分，进一步代入求得数值即可． 【详解】解：∵ ∴， 的小数部分， ． 故选：B． 2．实数的整数部分为a，小数部分为b，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的估算、代数式求值、二次根式运算等知识，利用算术平方根的估算可知，即可得到a和b的值，然后代入计算解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴整数部分，小数部分为， ∴， 故选：B． 3．设实数的整数部分为a，小数部分为b．则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，熟练掌握无理数的估算，二次根式的混合运算是解题的关键．根据可得，，再代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴小数部分为， ∴，， ∴． 故答案为：3． 4．的整数部分为，小数部分为，则= ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及无理数整数部分与小数部分，熟练掌握无理数估算是解决问题的关键．先估算出，进而得到的整数部分为，小数部分为，代入代数式求值即可得到答案． 【详解】解：， ， 的整数部分为，小数部分为， ， 则， 故答案为：． 5．已知， (1)求的值； (2)若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求的值． 【答案】(1)17 (2) 【分析】本题考查了分母有理化、二次根式的混合运算以及无理数的小数部分，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，以及利用公式和小数部分的定义进行计算． （1）先对、进行分母有理化，再利用完全平方公式和平方差公式计算的值； （2）先确定的范围，从而得到、的范围，进而确定它们的小数部分、，再代入式子计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： 由（1）知， ， 又∵的小数部分为的小数部分为， ． 6．我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的小数部分______； (2)为的整数部分，为的小数部分，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，代数式求值，能确定一个无理数的整数部分和小数部分是解题的关键． （1）估算出的取值范围，进而可得出结论； （2）估算出的范围，然后可求得a、b的值，然后再求代数式的值即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是2，小数部分是； （2）解：， ， ， ． 类型七、赵爽弦图(选、填、解) 1．如图，这是小康根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．20 B．24 C．52 D．76 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理；“数学风车”的周长为，利用勾股定理将、求出即可. 【详解】解：∵“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍得到的， ∴， ∴， ∴， ∴“数学风车”的周长为. 故选：D. 2．数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，、、在同一直线上，设，，则正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质，熟练应用勾股定理是解题的关键．设，则，根据全等的性质可得，利用线段之间的数量关系可表示出的长，进而列式用、表示出，从而表示出，，在中，利用勾股定理表示出 ，从而得解． 【详解】解：设，则， 四个直角三角形全等， ， ， ， ，， 在中， ， 正方形的面积为 ． 故选：B． 3．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，即四个直角三角形的面积和，从而不难求得的值． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴． 故答案为：24． 4．如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边，点在上，，则中间正方形的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键．根据图形分析可得小正方形的边长为，据此即可求解． 【详解】解：，，， ， 中间正方形的边长为， 中间正方形的面积为． 故答案为：． 5．勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，据不完全统计，勾股定理的证明方法有400多种． (1)请用图1证明勾股定理； (2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了勾股定理的几何背景和勾股定理的应用，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键． （1）利用大正方形的面积的不同表示方法进行证明即可； （2）先由“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求得，设，则，再由勾股定理得，可得关于x的方程，解方程再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108， ， 设，则， 在中，， ． 将，代入，可得， 解得， 小正方形的边长，， 风车图案的面积为． 6．在学习“第8章整式乘法”这一章内容时，我们通过用不同的方法计算同一个图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，这种解决问题的方法称之为“等面积法”．而这种“数形结合”的方式是人们研究数学问题的常用思想方法． （1）如图1，已知长方形纸片的长为b，宽为a，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式__________． 【类比探究】 （2）连接每个长方形的一条对角线（如图2），得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”．如图3，“赵爽弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．你能根据图3，应用“等面积法”得出与直角三角形两直角边a、b和斜边c有关的等式吗？请你化简后，写出这个等式__________． 【迁移应用】 （3）在中，a、b为直角边，c为斜边，已知，，求的面积； （4）如图4，四边形中，线段，，在中，，，其周长为n，当n为何值时， 的面积为定值，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）的面积为；（4）当时， 的面积为定值． 【分析】本题考查了勾股定理的证明，三角形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定理和面积公式的面积解题． （1）分别用两种方法表示出大正方形的面积即可得出结论； （2）分别用两种方法表示出大正方形的面积即可得出结论； （3）根据图形结合完全平方公式和（2）的结论计算即可求解； （4）由（2）的结论推出，即，再根据长方形的面积为定值列出关于x、y的式子求解即可． 【详解】解：（1）大正方形的面积为：或， 则这个等式是； （2）大正方形可看作边长为的正方形，也可看作4个全等的直角三角形和一个小正方形的面积和，且小正方形边长为． ，同时也有 所以， 整理得； （3）∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积； （4）∵，，周长为n， ∴， 在中，， ∴， ∴ ， ∵长方形的面积为定值， ∴与x、y无关， ∴， ∴， ∴当时， 的面积为定值． 类型八、函数中的行程问题(选、填、解) 1．小格和小致参加某社团新型小车直道竞速（匀速）稳定性测试，两人均从地出发至地，小格先出发3秒后小致才出发，最终小格先到达地．如图，轴代表小格出发的时间，轴代表两人之间的距离，下列说法错误的是（　　） A．小格的速度为60米/秒 B．小致的速度为40米/秒 C．小格到达地时，小致距离地还有880米 D．两地之间的距离为1500米 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的实际应用，由小格3秒行驶180米，可得小格的速度；由小格出发13秒后两人相距380米，可得小致的速度；首先求出两地的距离，再根据小致的速度和运动时间可得小致距离地的距离；根据小格的速度和行驶时间可得的距离． 【详解】解：∵小格3秒行驶180米， ∴（米/秒），故A正确，不符合题意； ∵（米/秒）， ∴（米/秒），故B正确，不符合题意； ∵（米），（米）， ∴（米）， ∴小致距离地还有620米，故C错误，符合题意； ∵（米）， ∴两地之间的距离为1500米，故D正确，不符合题意． 故选：C． 2．在劳动节期间，甲、乙两人相约一起去爬山，爬山过程中，甲先爬了100米后，乙才开始追赶甲，乙爬了2分后，速度变成甲爬山速度的3倍，甲、乙两人距地面的高度y（米）与乙爬山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息有下列说法：①甲的爬山速度为10米/分；②；③当乙爬了分后，甲、乙相遇；④甲、乙相遇后，甲再经过1分与乙相距20米，其中正确的有（   ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是根据数量关系列出函数解析式． ①根据图象可知道山的高度和所用时间，即可求出甲爬山的速度；②当时，根据高度初始高度速度时间，即可得出关于的函数关系，令可求出相应的值，即可得到的值；③先求出甲、乙距离底面函数解析式，再根据路程之间的关系列出方程求解即可；④求出两个解析式后，分别根据时间计算出相应的函数值，作差即可求解． 【详解】解：①甲的爬山高度是 米，用时 20 分钟，故速度是米／分，故①正确； ②当时，， 当时，，故，故②正确； ③乙提速后距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式为： ， 甲爬山全程中，距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式为： ， 当时， 解得：；故③正确； ④令， ， 甲乙相遇后，甲再经过 1 分钟与乙相距 20 米，故④正确； 综上，①②③④均正确， 故选：D． 3．如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 时间就追上甲． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂函数图象，熟练掌握待定系数法是解题关键．先分别求出线段所在直线的函数解析式、线段所在直线的函数解析式，再联立，求出它们的交点，则可得乙追上甲的时间点，然后减去乙出发的时间即可得． 【详解】解：设线段所在直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则线段所在直线的函数解析式为， 设线段所在直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则线段所在直线的函数解析式为， 联立，解得， 即乙在2点半的时候追上甲， 由函数图象可知，乙是在2点出发， 则乙从出发到追上甲所用时间为， 故答案为：． 4．如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是 ． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图像依次判断即可． 【详解】，汽车在行驶途中停留了小时，结论正确； 总路程，汽车在整个行驶过程的平均速度是，结论正确； 汽车共行驶了，结论错误； 汽车行驶3小时后的速度，出发离出发地，结论正确． 故答案为：． 5．态度决定一切，细节决定成败，好的习惯非常重要．小明是一个丢三落四的孩子，星期一早晨小明去距家1500米的学校上学，走到距家900米的地方发现忘带语文书，于是借路人的手机给爸爸打电话，打完电话后爸爸立刻从家骑电瓶车出发，小明减速慢行，爸爸在距离学校300米的铁路公园追上了小明（借打电话和沟通时间忽略不计），爸爸把书交给小明后，爸爸以原速原路返回家中，同时小明加快了速度，结果按原定时间到达学校，小明和爸爸距家的路程y（单位：米）与小明出发时间x（单位：分钟）之间的函数图象如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)a的值为 ，爸爸骑车的速度为 ，小明打电话前的速度为 ； (2)求出所在直线的函数解析式； (3)直接写出爸爸出发后多长时间与小明相距500米． 【答案】(1)1200，， (2) (3)分钟或分钟 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是正确理解函数图象，求出函数解析式． （1）根据函数图象即可求解； （2）先求出坐标，再由待定系数法求解函数解析式； （3）分两种情况讨论，分别是爸爸和小明相遇前和相遇后，列方程求解即可． 【详解】（1）解：；爸爸骑车的速度为；小明打电话前的速度为， 故答案为：1200，，； （2）解：，， ∴， 设直线， 则， 解得， ∴直线 （3）解：设爸爸出发后分钟与小明相距500米， ①爸爸和小明相遇前： 解得； ②爸爸和小明相遇后： 解得， ∴爸爸出发后分钟或分钟与小明相距500米． 6．一条笔直公路上依次有A、B、C三地，甲车从B地匀速行驶到A地，到达A地因故停留1小时，然后按原路原速返回到C地（调头时间忽略不计）：乙车在甲车出发1小时后，从A地匀速行驶到C地，到达C地后停止行驶，在行驶的过程中．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与乙车行驶时间（小时）函数图象如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车行驶的速度为___________千米/时，B、C两地相距的路程是___________千米； (2)求甲车从A地驶向B地的过程中，y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)请直接写出甲车出发多少小时，两车相距40千米． 【答案】(1)120，120 (2)； (3)甲车出发2小时或2.4小时或小时，两车相距40千米． 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据图象知点表示当乙出发时，甲已经出发距B地120千米，据此可求得甲车行驶的速度；再求得各路段的距离； （2）先求得点，，利用待定系数法求解即可； （3）分四种情况讨论，根据题意结合图形列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 先明确折线N-P-R-E-F是甲车的对应图象，线段是乙车的对应图象， 其中，x(小时)表示乙车的行驶时间，y(千米)表示甲车距各自出发地的路程； 点表示当乙出发时，甲已经出发距B地120千米； 又∵乙车在甲车出发1小时后出发，则甲车行驶1小时的路程为120千米， ∴(千米/小时)， 故甲车行驶的速度为120千米/小时； 段表示甲车在A地滞留1个小时， 点P表示甲车到达乙地， 此时，则甲车的行驶时间为小时； ∴B、A两地的距离为(千米)； 点M表示乙车达终点C地，则A、C两地的距离为480千米， ∴B、C两地的距离为 (千米)； 故答案为：120，120； （2）解：点P表示甲车到达A地，B、A两地相距360千米， 则点， 段表示甲车在A地滞留1小时，则点； 点E表示甲车由A地返回B地，用时(小时)， ∴点， 则甲车从A地返回B地对应线段为， 设的解析式为， 将点，代入得，， 解得， ∴的解析式为； （3）解：由图象可知， ∴点， ∴乙车的速度为(千米/小时)， 设甲车出发t小时，两车相距40千米，则乙车行驶小时； 由（1）知，B、A两地距离360千米，B、C两地相距120千米，A、C两地相距480千米，甲车的速度为120千米/小时， ①在甲车由B→A过程中(此时两车相向而行）， 当时，甲车列达A地，（）， 由题意得或， 解得或； ②在甲车在A地滞留1小时时，此时， 当时，甲到达A地， 此时乙与A地的距离也就是它的路程为， ∴此段甲、乙两车不可能相距40千米，舍去； ③在甲车由A→C且乙车到达终点之前(两车同向而行)，乙车到达终点C时，即点M处，， 故此时，此段时，乙车先到达终点C， 由题意得， 解得，此段不符合题意舍去； ④乙车到达终点之后()， 此时乙车停在C地， 当甲，乙两车相距40千米时， 由题意得， 解得； 综上，甲车出发2小时或2.4小时或小时，两车相距40千米． 类型九、坐标系中的面积与新定义(解) 1．如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的负半轴上，的面积等于18． (1)求点的坐标； (2)如图1，点从点出发，沿轴负方向运动，速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为，试用含的式子表示（表示的面积），并直接写出的取值范围； (3)如图2，若点在上，点在上，与交于点C，过点作交直线于点，交轴于点，当的面积等于的面积时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质． （1）先求出，根据三角形面积公式求出，最后根据点B在x轴的负半轴上即可求出点的坐标； （2）分点P在上、点P在的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算即可； （3）过点作于，根据三角形面积公式求出，证明，，得到，即可求出点D的坐标． 【详解】（1）解：， 点B在x轴的负半轴上， 点B的坐标为； （2）解：当点P在上时， 当点P在的延长线上时， ∴ （3）解：过点作于， ， ， ， ， 在和中， （）， ， ， ， 在和中， （）， ， 点D的坐标为． 2．如图1，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴，到轴的距离为，点的坐标为，点在轴上点的右侧，且，过点作平行于轴的直线，点是直线上的一个动点． (1)若点在第一象限，且到轴的距离为． ①则点的坐标为______； ②如图2，连接、、，平移线段，使点到点的位置、点到点的位置，则点的坐标为______． (2)平移图2中的线段，点始终在直线上，设点的纵坐标为． ①在点运动的过程中，若线段与轴有一个交点，求点的纵坐标的取值范围； ②当三角形的面积等于时，求点的坐标． 【答案】(1)①；② (2)①；②或 【分析】本题考查了平移的性质，三角形、梯形的面积公式及利用割补法求面积，掌握平移的性质是解本题的关键． （1）①先确定出，进而求出，求出，即可求出答案； ②先判断出点A向右平移个单位，向上平移1个单位到点，即可求出答案； （2）①找出当点平移到轴上时和当点平移到轴上时，的值，即可求出答案； ②分两种情况，由平移的性质，利用割补法，即可分别求出答案． 【详解】（1）解：①点A在轴正半轴，到轴的距离为， ， ， 点在轴上点A的右侧，且， ， ， 过点作平行于轴的直线， 点的横坐标为， 点在第一象限，且到轴的距离为， 点， 故答案为：； ②由平移得，点平移到点， 点A向右平移个单位，向上平移1个单位到点， 点向右平移个单位，向上平移1个单位到点， ， ， 故答案为：； （2）解：由（1）知，，， ①当点平移到轴上时，点向下平移个单位，此时， 当点平移到轴上时，点向下平移2个单位， 点也向下平移2个单位，此时， 当线段与轴有一个交点时，点的纵坐标的取值范围是， 故答案为：； ②， ， 由（1）知，， 如备用图，当点在轴上方时，， 三角形的面积等于，， ， 解得， 点， ， ； 当点在轴下方时，， 如备用图2：过点作直线，于点， 三角形的面积等于，，，， ， 解得， 点， ， ， 即点或． 3．如图1，在平面直角坐标系中；，且满足，过作轴于． (1)___________，___________，三角形的面积___________； (2)若过作交轴于，，分别平分，，如图2，求的度数； (3)在轴上存在点，使得三角形和三角形的面积相等，则点坐标为___________． 【答案】(1)，5，20 (2) (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质确定的值，进而可知点的坐标，即可求得三角形的面积； （2）过点作，结合角平分线的定义、平行线的性质，分别证明，，利用角平分线性质求解即可； （3）设点，分当点在轴上方和点在轴下方两种情况讨论，过点作，过点作于点，过点作于点，利用求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三角形的面积． 故答案为：，5，20； （2）过点作，如下图， ∵，， ∴， ∴ ∴， 同理，， 又∵平分，平分 ， ∴， ∴； （3）设点，分两种情况讨论： 当点在轴上方时，如图， 过点作，过点作于点，延长交于点， 由题意， 则，，，， ∵， ∴， 解得，即； 当点在轴下方时，如图， 过点作，过点作于点，延长交于点， 由题意，， 则，，，， ∵， ∴， 解得，即． 综上所述，点坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、坐标与图形、平行线的性质、角分线的定义以及一次函数的应用等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 4．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“条件距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“条件距离”为；若，则点与点的“条件距离”为． 例如：点，点，因为，所以点与点的“条件距离”为，也就是如图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点）． (1)已知点，为轴上的一个动点， ①若点与点的“条件距离”为2，写出满足条件的点的坐标； ②直接写出点与点的“条件距离”的最小值； (2)已知点、、、，在的边上存在点，使得点、的“条件距离”为2，用、表示符合条件的点的位置． 【答案】(1)①； ②1； (2)当时，；当时，． 【分析】（1）①根据点位于轴上，可以设点的坐标为，由“条件距离”的定义可以确定，据此可以求得的值，可得点坐标；②设点的坐标为，根据，得出点与点的“条件距离”的最小值为1； （2）根据题意分类讨论，当，则点、的“条件距离”为；当，则点、的“条件距离”为，分别求出、所满足的范围，结合点在的边上，用、表示符合条件的点的位置． 【详解】（1）解：由题意得，设， ①则， 点与点的“条件距离”为2， ，即，解得： ，解得： 点坐标为 ②由题意得，， 点与点的“条件距离”的最小值为 点与点的“条件距离”的最小值为1． （2） 当，则 或 同时，， ，即 点满足：或，且 结合图像， 若，，满足条件的点在的边上，符合条件的坐标为， 若，，满足条件的点在的边上，符合条件的坐标为满足，的所有点坐标； 当，则 或 同时，，即 点满足：或，且； 结合图像， 若，，满足条件的点在的边上，没有满足条件的点； 若，，满足条件的点在的边上，没有满足条件的点； 综上所述，符合条件的点的位置为： 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查了有关平面直角坐标系点坐标的新定义题，对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件，理解题中“条件距离”的定义是正确解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于y轴．给出如下定义：点先关于y轴对称得点，再将点关于直线l对称得点，则称点是点P关于y轴和直线l的二次反射点． (1)已知，，，则它们关于y轴和直线l的二次反射点，，的坐标分别是______，______，______； (2)若点D的坐标是，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点，求线段的长； (3)已知点，，，，以线段为边在x轴上方作正方形，若点P，Q关于y轴和直线l的二次反射点分别为，，且线段与正方形的边有公共点，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)； (3)或． 【分析】本题主要考查了动点问题，新定义——二次反射点．熟练掌握新定义，关于坐标轴对称的点坐标特征，关于平行于坐标轴的直线对称的点坐标特征，平行于坐标轴的动线段相交特征，是解题的关键． （1）由，得，得； 由，得，得，由，得，得，； （2）根据D，得，得，得； （3）根据，，二次反射点的定义得出，根据，，求出，或． 【详解】（1）解：∵， ∴点A关于y轴对称点的坐标为， ∵关于直线l对称的点， ∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标， ∵， ∴点B关于y轴对称点的坐标为， ∵直线l经过点，且平行于y轴． ∴关于直线l对称的点为， ∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标， ∵， ∴点C关于y轴对称点的坐标为， ∵关于直线l对称的点， ∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标； 故答案为：（3，0）；； （2）解：∵点D的坐标是， ∴点D关于y轴对称点的坐标为， ∴关于直线l对称的点， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，或， ∴，或． 故a的取值范围为：或． 6．在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到两坐标轴的距离之和等于点到两坐标轴的距离之和，则称，两点为同族点．如下图中的点，两点即为同族点． (1)已知点的坐标为． 在点，，中，为点的同族点的是 ； 若点在轴上，且，两点为同族点，则点的坐标为 ； (2)已知直线：与轴交于点，与轴交于点，点为直线上的一个动点． 若点为线段上一点时，已知点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线，直线上存在点，使得点，两点为同族点，求的取值范围； 若以，，，为顶点的正方形上存在点，使得点，两点为同族点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，；或； (2)；或 ． 【分析】（）把各点的横纵坐标的绝对值相加，得，则是A的同族点； 因为点在轴上，所以设，则，可得结论； （）首先证明点的横坐标与纵坐标的绝对值之和为定值，然后画出图形即可解决问题； 找出特殊位置进行判断即可； 本题考查了一次函数、同族点的定义，坐标与图形，点到坐标轴的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题． 【详解】（1）∵点A的坐标为， ∴ 则点，，中，，，， ∴点的同族点的是，， 故答案为：，； ∵点在轴上， ∴点的纵坐标为0，设，则， ∴， ∴或， 故答案为：或； （2）由题意，直线与轴交于，与轴交于， 点在线段上，设其坐标为， 则有：，，且， ∵点到轴的距离为, 点到轴的距离为，则， ∴点的同族点满足横纵坐标的绝对值之和为，即点N在图中所示的正方形上， ∵点坐标为，点在直线上， ∴； 如图， 则由题意得： 或． 类型十、一次函数中的特殊三角形与动点求t(解) 1．如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线与轴相交于点，与轴交于点． (1)求的值及的面积； (2)点在轴上，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标； (3)点在轴上，若点是直线上的一个动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或或 (3)或 【分析】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用． 将点的坐标代入函数解析式求得的值，根据直线方程求得点的坐标，然后求得相关线段的长度，由三角形的面积公式解答； 根据等腰三角形的性质和两点间的距离公式解答； 分类讨论：点在轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，列出方程，利用方程求得点的坐标即可． 【详解】（1）解：将点代入直线，得 ， 解得， ． 当时，． ，． 当时，， ， ，， ； （2）如图， 当时，点与点关于轴对称，故C符合题意； 当时，由，得到，由得到、． 综上所述，符合条件的点的坐标是或或； （3）， ， ． 由知，， ； 当点在轴下方时，， ， 点在轴下方， ． 当时，代入得，， 解得． ； 当点在轴上方时，， ， 点在轴上方， ． 当时，代入得，， 解得． ． 2．【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点， ①则点坐标为______；点坐标为______； ②，是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是______； （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图3，直线的图象与轴，轴分别交于、两点，直线与轴交于点．点、分别是直线和直线上的动点，点的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）①；；②；（2）；（3）或 【分析】（1）①分别令和求解即可； ②过A作于，证明得到，利用勾股定理求得，根据垂线段最短得的最小值是的长，进而可求解； （2）在图2中，过B作交直线l于C，过C作轴于D，证明是等腰直角三角形，则，证明得到，，进而求得，然后利用待定系数法求解即可； （3）过点过点P作轴于S，过点Q作于T，证明．分两种情况，由全等三角形的性质得，，可得点Q的坐标，将点Q的坐标代入求得n的值，即可求解． 【详解】解：（1）①当时，得：； 当时，得：， 解得， ∴点A坐标为，点B坐标为， 故答案为：；； ②在图1中，过A作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点A坐标为，点B坐标为， ∴， ∴， ∴， 在中，； ∵D是正比例函数图象上的动点， ∴根据垂线段最短，得的最小值是的长， 故的最小值是， 故答案为：； （2）在图2中，过B作交直线l于C，过C作轴于D， 则， ∴， ∴， ∵直线绕点A逆时针旋转得到直线l， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∴， ∴，， 当时，， 当时，由得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 设直线l对应的函数表达式为， 将、代入， 得， 解得， ∴直线l对应的函数表达式为； （3）直线的图象与x轴，y轴分别交于、， 分以下两种情况： 当时，如图3，过点P作轴于S，过点Q作，交延长线于T， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入得，， 解得， ∴，， ∴点Q的坐标为； 当时，过点P作轴于S，过点Q作，交延长线于T， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入得，， 解得：， ∴点Q的坐标为． 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，边落在轴上，且，动点以个单位每秒的速度从点出发沿射线方向运动，运动时间为．         (1)求点的坐标； (2)在点的运动过程中，连接，设的面积为，用含的代数式表示，并直接写出的取值范围； (3)在点的运动过程中是否存在某一时刻，使是以为斜边的直角三角形？如存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P坐标为 【分析】（1）由勾股定理和已知条件得出，求出，，得出，即可得出结果； （2）分两种情况：①当点P在线段上时，②当点P在射线上时，利用两个三角形等高求解即可． （3）先利用待定系数法求出的解析式，设，由勾股定理得出，解方程求出，进一步即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：，或（舍去）， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为 （2）解：分两种情况：①当点P在线段上时， 由（1）知：， ∴，， ∵， ∴， ∵和等高， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ②当点P在射线上时，即， 同理可得出：， ， ∴ 综上： （3）解：存在，点P坐标为； 由（1）知：，，， ∴，，， 设的解析式为：， 则， 解得， ∴的解析式为：， 设， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴ ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的综合题，一次函数的实际应用，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 4．在平面直角坐标系中的位置如图所示，O为坐标原点，，的面积等于24． (1)求点B的坐标； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，运动时间为秒，过点P作x轴的垂线交直线于点E，连接AE．若的面积为S，请用含t的代数式表示S； (3)在（2）的条件下，过点作的垂线交轴于点，交于点，当时，在第一象限内是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点B的坐标为 (2) (3)存在，或 【分析】本题考查动点的函数解析式，全等三角形的判定和性质，图形与坐标，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性得出，再由三角形的面积得到，即可求解； （2）分点P在上和点P在延长线上两种情况利用三角形的面积差计算即可； （3）先证明，得到，然后连接，证明，可得到点E的坐标为，然后分两种情况，利用三角形的全等解题即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， 解得：， ∴， ∴点B的坐标为； （2）解：如图，当点P在上时，， ∵， ∴， 又∵过作轴垂线交直线于点， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点P在延长线上时，， ； ∴与的关系式为； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点F的坐标为， 连接， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即点P与A重合， ∴， ∴点E的坐标为， 如图，以为腰的等腰直角，过点作轴，交过点、作轴的垂线于点，两点，即，， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； 如图，以为腰的等腰直角，过点作轴，交过点、作轴的垂线于点，两点，即，， 同理可得， ∴，， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 5．如图1，在中，于点D，，，动点E从点B出发，沿射线BC以的速度匀速运动，到达点D时停留后以原速度继续运动．如图2为的面积S（）随时间t（s）的变化图像． (1)填写图2中数据：______，______，______，______； (2)时，求t的值； (3)当动点E从点B出发时，动点F同时从点C沿边以的速度向终点B运动，当点F到达终点B后，点E也随之停止运动，当时，求t的值． 【答案】(1)，，， (2)或 (3)或 【分析】本题是三角形的综合题，考查了三角形的面积的计算公式，一元一次方程的应用以及分类讨论，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． （1）由三角形的面积公式可求出，由图2可求出，由三角形的面积公式可求出，由的长度与点运动的速度以及到达时停留以原速度继续运动即可求出； （2）先求出，，计算出，，求出，分情况：①当在上时；②当在延长线上时，分别讨论即可求出的值； （3）由三角形的面积公式可求出，分别当在的左侧时，以及在右侧时，求出的值． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）得：，， ， ，， ， ， 当在上时， ， ； 当在延长线时， ， 是到达点时停留1s后以原速度继续运动， 综上所述，当或时，． （3）解：， 时，， ， 当在的左侧时，， ， 当在的右侧时，， ， 综上所述，当或时，． 6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，点，点的解． (1)请直接写出A、B两点的坐标A（ ， ），B（ ， ）； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，连接，设点P的运动时间为t秒，△AOP的面积为S，用含t的式子表示△AOP的面积S； (3)在（2）的条件下，当时，点P停止运动，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，，当点P停止运动时，点M从点P出发以每秒0.5个单位长度的速度沿向终点C运动（当点M运动至点C时停止运动），连接、，求点M运动多少秒时，△AOP与△MBC的面积相等． 【答案】(1)0，4；2，0 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，一次函数的应用，勾股定理： （1）解出关于m，n的方程，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，点P在x轴的正半轴，当时，点P在x轴的负半轴， （3）先求出分两种情况讨论：当点M在上时，当点M在上时，即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 当时，点P在x轴的正半轴，此时， ∴； 当时，点P在x轴的负半轴，此时， ∴； 终上所述，； （3）解：当时，，此时， ∵点B的坐标为，， ∴， 如图，当点M在上时， ∴， 即，解得：， 此时点M运动的时间为； 如图，当点M在上时，过点M作轴于点N，此时点M到x轴的距离为，即， 根据题意得：， 在中，， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴点M运动的时间为； 综上所述，点M运动或秒时，与的面积相等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、从图象中获取信息(选) 1．如图1，在直角梯形中，，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，点P运动的速度为2个单位长度/秒，若设点P运动的时间为x秒，的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则的面积为（　　） A．6 B．48 C．24 D．12 2．如图是北京市某天的气温变化图，根据图象判断，以下说法正确的是（   ） A．从早上6时开始气温逐渐升高，直到15时达到当日最高气温接近 B．当日温度为的时间点有两个 C．当日气温均在以上 D．当日气温在以下的时长为12个小时 3．如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 4．某游泳池的横断面如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把游泳池蓄满水，下面的图象能大致表示水的深度（米）和注水时间（分）之间关系的是（   ） A． B． C． D． 5．周六下午，小明从家去乐高编程班上课，时长2小时的课程结束后，小明以同样速度原路返回，如图正确描述这一过程的图象是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（　　） A． B． C． D． 类型二、坐标系中的规律(选) 1．如图，光标起始时位于处，沿图中所示的方向移动，光标的运动轨迹如图所示，光标第1次改变方向时，光标的位置是，那么光标第2025次改变方向时，光标的位置是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，，……按这样的规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．在如图所示的方格纸上（小正方形的边长均为1），都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，且它们的斜边长分别为2，4，6，…．若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．2024年沙特阿拉伯国庆节期间，中国无人机表演团队震撼全球，6000架无人机编队划破夜空，展示了中国“智造”实力．无人机表演并非简单的编程或灯光秀，而是涉及到多项技术的深度融合．这其中就包括了精准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“”方向飞行，，，，…根据这个规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至，然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上，向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，…，第n次移动到，则的面积是（   ） A． B．25 C． D．26 类型三、正确结论的是(选、填) 1．如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 2．如图，点在同一条直线上，点在点之间，点在直线同侧，，，，连接．设，给出下面三个结论∶①；② ；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．① ② B．① ③ C．② ③ D．① ② ③ 3．例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②比较大小：； ③变形：； ④计算； ⑤已知，，且，则所有可能的整数m的和为． 以上结论正确的是（    ） A．①③④⑤ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤ 4．如图，点、、在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 5．如图，矩形中，，点F在的延长线上，，连接交于点M，点E在边上，，连接，点G为中点，连接交于点H．下列结论：①；②；③；④四边形的面积为，其中所有正确结论的序号为 ．    6．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF、BE、C D．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③∠AFE＝45°；④．其中正确结论的序号是 ． 类型四、最值问题(选、填、解) 1．如图，在中，，，，点是线段上一动点，点在线段上，当时，的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，取中点D，取上的一个动点E，连接，将沿翻折至，点是点的对应点，连接，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在矩形中，点、、、分别是边、、、上的动点（不与端点重合），若四点运动过程中满足、，且、，则四边形周长的最小值等于 ． 4．如图，，点分别在边上，且，点、分别在边、上，则的最小值是 ． 5．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为和的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是 ． （2）应用：如图，“赵爽弦图”是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是 ． （3）类比迁移：已知，均为正数，且．求的最大值． （4）方法应用：已知，均为正数，且，，是三角形的三边长．求这个三角形的面积（用含，的代数式表示） 6．阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 类型五、蚂蚁爬行问题(选、填、解) 1．如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．米 2．如图，圆柱的底面圆的周长为，高为，一只蚂蚁沿外壁从点A爬行到上边缘与之正相对的点B最少要爬行（    ） A． B． C． D． 3．如图，在一张长方形纸板上放着一根长方体木块已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，则一只蚂蚁从点爬过木块到达点需要走的最短路程为 4．如图，圆柱的底面周长为，AC是底面圆的直径，高，点P 是上的中点．一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 5．为方便学生将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 探索蚂蚁从圆柱的下底面上的点A沿圆柱侧面爬到相对顶点B的最短路程 活动准备 同一尺寸的圆柱若干，皮尺，剪子，直尺 研究问题 如图1，一个圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃道上底面与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱爬行的最短路程是多少？ 设计方案 （1）将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开，确定展开图的形状，以及与圆柱的对应关系，； （2）在圆柱的侧面展开图中标出点B的位置； （3）在圆柱的侧面展开图中确定两点之间的最短路线，并计算它的长度． 确定思路 将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题 根据以上信息，解决下列问题： (1)圆柱的侧面展开图是__________； (2)在圆柱的侧面展开图中标出点B的位置并画出A、B两点之间的最短路线； (3)求蚂蚁沿圆柱从A爬到B的最短路程． 6．【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 类型六、整数、小数部分(选、填、解) 1．若的小数部分是，那么的值为（ ） A．1 B． C． D． 2．实数的整数部分为a，小数部分为b，则（   ） A． B． C． D． 3．设实数的整数部分为a，小数部分为b．则的值为 ． 4．的整数部分为，小数部分为，则= ． 5．已知， (1)求的值； (2)若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求的值． 6．我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的小数部分______； (2)为的整数部分，为的小数部分，求的值． 类型七、赵爽弦图(选、填、解) 1．如图，这是小康根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．20 B．24 C．52 D．76 2．数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，、、在同一直线上，设，，则正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 3．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ． 4．如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边，点在上，，则中间正方形的面积为 ． 5．勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，据不完全统计，勾股定理的证明方法有400多种． (1)请用图1证明勾股定理； (2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 6．在学习“第8章整式乘法”这一章内容时，我们通过用不同的方法计算同一个图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，这种解决问题的方法称之为“等面积法”．而这种“数形结合”的方式是人们研究数学问题的常用思想方法． （1）如图1，已知长方形纸片的长为b，宽为a，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式__________． 【类比探究】 （2）连接每个长方形的一条对角线（如图2），得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”．如图3，“赵爽弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．你能根据图3，应用“等面积法”得出与直角三角形两直角边a、b和斜边c有关的等式吗？请你化简后，写出这个等式__________． 【迁移应用】 （3）在中，a、b为直角边，c为斜边，已知，，求的面积； （4）如图4，四边形中，线段，，在中，，，其周长为n，当n为何值时， 的面积为定值，并说明理由． 类型八、函数中的行程问题(选、填、解) 1．小格和小致参加某社团新型小车直道竞速（匀速）稳定性测试，两人均从地出发至地，小格先出发3秒后小致才出发，最终小格先到达地．如图，轴代表小格出发的时间，轴代表两人之间的距离，下列说法错误的是（　　） A．小格的速度为60米/秒 B．小致的速度为40米/秒 C．小格到达地时，小致距离地还有880米 D．两地之间的距离为1500米 2．在劳动节期间，甲、乙两人相约一起去爬山，爬山过程中，甲先爬了100米后，乙才开始追赶甲，乙爬了2分后，速度变成甲爬山速度的3倍，甲、乙两人距地面的高度y（米）与乙爬山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息有下列说法：①甲的爬山速度为10米/分；②；③当乙爬了分后，甲、乙相遇；④甲、乙相遇后，甲再经过1分与乙相距20米，其中正确的有（   ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 3．如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 时间就追上甲． 4．如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是 ． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 5．态度决定一切，细节决定成败，好的习惯非常重要．小明是一个丢三落四的孩子，星期一早晨小明去距家1500米的学校上学，走到距家900米的地方发现忘带语文书，于是借路人的手机给爸爸打电话，打完电话后爸爸立刻从家骑电瓶车出发，小明减速慢行，爸爸在距离学校300米的铁路公园追上了小明（借打电话和沟通时间忽略不计），爸爸把书交给小明后，爸爸以原速原路返回家中，同时小明加快了速度，结果按原定时间到达学校，小明和爸爸距家的路程y（单位：米）与小明出发时间x（单位：分钟）之间的函数图象如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)a的值为 ，爸爸骑车的速度为 ，小明打电话前的速度为 ； (2)求出所在直线的函数解析式； (3)直接写出爸爸出发后多长时间与小明相距500米． 6．一条笔直公路上依次有A、B、C三地，甲车从B地匀速行驶到A地，到达A地因故停留1小时，然后按原路原速返回到C地（调头时间忽略不计）：乙车在甲车出发1小时后，从A地匀速行驶到C地，到达C地后停止行驶，在行驶的过程中．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与乙车行驶时间（小时）函数图象如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车行驶的速度为___________千米/时，B、C两地相距的路程是___________千米； (2)求甲车从A地驶向B地的过程中，y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)请直接写出甲车出发多少小时，两车相距40千米． 类型九、坐标系中的面积与新定义(解) 1．如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的负半轴上，的面积等于18． (1)求点的坐标； (2)如图1，点从点出发，沿轴负方向运动，速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为，试用含的式子表示（表示的面积），并直接写出的取值范围； (3)如图2，若点在上，点在上，与交于点C，过点作交直线于点，交轴于点，当的面积等于的面积时，求点的坐标． 2．如图1，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴，到轴的距离为，点的坐标为，点在轴上点的右侧，且，过点作平行于轴的直线，点是直线上的一个动点． (1)若点在第一象限，且到轴的距离为． ①则点的坐标为______； ②如图2，连接、、，平移线段，使点到点的位置、点到点的位置，则点的坐标为______． (2)平移图2中的线段，点始终在直线上，设点的纵坐标为． ①在点运动的过程中，若线段与轴有一个交点，求点的纵坐标的取值范围； ②当三角形的面积等于时，求点的坐标． 3．如图1，在平面直角坐标系中；，且满足，过作轴于． (1)___________，___________，三角形的面积___________； (2)若过作交轴于，，分别平分，，如图2，求的度数； (3)在轴上存在点，使得三角形和三角形的面积相等，则点坐标为___________． 4．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“条件距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“条件距离”为；若，则点与点的“条件距离”为． 例如：点，点，因为，所以点与点的“条件距离”为，也就是如图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点）． (1)已知点，为轴上的一个动点， ①若点与点的“条件距离”为2，写出满足条件的点的坐标； ②直接写出点与点的“条件距离”的最小值； (2)已知点、、、，在的边上存在点，使得点、的“条件距离”为2，用、表示符合条件的点的位置． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于y轴．给出如下定义：点先关于y轴对称得点，再将点关于直线l对称得点，则称点是点P关于y轴和直线l的二次反射点． (1)已知，，，则它们关于y轴和直线l的二次反射点，，的坐标分别是______，______，______； (2)若点D的坐标是，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点，求线段的长； (3)已知点，，，，以线段为边在x轴上方作正方形，若点P，Q关于y轴和直线l的二次反射点分别为，，且线段与正方形的边有公共点，直接写出a的取值范围． 6．在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到两坐标轴的距离之和等于点到两坐标轴的距离之和，则称，两点为同族点．如下图中的点，两点即为同族点． (1)已知点的坐标为． 在点，，中，为点的同族点的是 ； 若点在轴上，且，两点为同族点，则点的坐标为 ； (2)已知直线：与轴交于点，与轴交于点，点为直线上的一个动点． 若点为线段上一点时，已知点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线，直线上存在点，使得点，两点为同族点，求的取值范围； 若以，，，为顶点的正方形上存在点，使得点，两点为同族点，直接写出m的取值范围． 类型十、一次函数中的特殊三角形与动点求t(解) 1．如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线与轴相交于点，与轴交于点． (1)求的值及的面积； (2)点在轴上，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标； (3)点在轴上，若点是直线上的一个动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标． 2．【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点， ①则点坐标为______；点坐标为______； ②，是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是______； （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图3，直线的图象与轴，轴分别交于、两点，直线与轴交于点．点、分别是直线和直线上的动点，点的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，边落在轴上，且，动点以个单位每秒的速度从点出发沿射线方向运动，运动时间为．         (1)求点的坐标； (2)在点的运动过程中，连接，设的面积为，用含的代数式表示，并直接写出的取值范围； (3)在点的运动过程中是否存在某一时刻，使是以为斜边的直角三角形？如存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 4．在平面直角坐标系中的位置如图所示，O为坐标原点，，的面积等于24． (1)求点B的坐标； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，运动时间为秒，过点P作x轴的垂线交直线于点E，连接AE．若的面积为S，请用含t的代数式表示S； (3)在（2）的条件下，过点作的垂线交轴于点，交于点，当时，在第一象限内是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点，若不存在，请说明理由． 5．如图1，在中，于点D，，，动点E从点B出发，沿射线BC以的速度匀速运动，到达点D时停留后以原速度继续运动．如图2为的面积S（）随时间t（s）的变化图像． (1)填写图2中数据：______，______，______，______； (2)时，求t的值； (3)当动点E从点B出发时，动点F同时从点C沿边以的速度向终点B运动，当点F到达终点B后，点E也随之停止运动，当时，求t的值． 6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，点，点的解． (1)请直接写出A、B两点的坐标A（ ， ），B（ ， ）； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，连接，设点P的运动时间为t秒，△AOP的面积为S，用含t的式子表示△AOP的面积S； (3)在（2）的条件下，当时，点P停止运动，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，，当点P停止运动时，点M从点P出发以每秒0.5个单位长度的速度沿向终点C运动（当点M运动至点C时停止运动），连接、，求点M运动多少秒时，△AOP与△MBC的面积相等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $