第10章 数的开方（复习课件）数学华东师大版2024八年级上册

单元复习课件 第10章 数的开方 华师大版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握平方根、算术平方根、立方根的意义. 3.有理数和无理数统称为实数.实数与数轴上的点之间有着一一对应关系. 2. 在实数范围内，任意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.任意一个实数有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数. 单元学习目标 实 数 有理数 无理数 实际问题 平方根 立方根 算术平方根 立方 平方 单元知识图谱 算术平方根 平方根 立方根 表示方法 被开方数 性 质 正数 0 负数 是本身 规律 a ≥ 0 a ≥ 0 a 为任意数 正数(一个) 0 无 0、1 互为相反数(两个) 正数(一个) 0 0 无 负数(一个) 0 0、1、-1 平方根、算数平方根以及立方根的相关知识 考点串讲 用计算器求一个正数 a 的算术平方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入 . 1. 用计算器求一个正数的算术平方根 用计算器求算术平方根、立方根 2. 用计算器求立方根 用计算器求一个数 a 的立方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入 . a EXE 3 EXE a 考点串讲 实数 实数的概念：有理数与无理数的统称 分类 有理数 无理数 正有理数 负有理数 0 正无理数 负无理数 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 0 正实数 负实数 考点串讲 数轴上的一个点都表示一个______。 实数 实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 实数 实数的大小比较 实数的简单运算 与有理数的运算法则、运算律等相同。 估算法、平(立)方法、作差法(或分析法)、数轴法等。 对数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大. 考点串讲 1.［2024广东中考］完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是 ( ) B A.2 B.5 C.10 D.20 【解析】 完全相同的4个正方形面积之和是100， 个正方形的面积为 ， 正方形的边长为 ，故选B. 考点一、平方根和立方根 2.［2024青海中考］ 的立方根是____. 【解析】，的立方根是，故答案为 . 考点串讲 9 3.［2024四川成都中考］若，为实数，且，则 的值为___. 1 【解析】，为实数，且，， ，解 得，， .故答案为1. 考点一、平方根和立方根 4.［2024上海中考］已知，则 ___. 1 【解析】，， ，故答案为1. 考点串讲 10 5.［2023四川雅安中考］在0，， ，2四个数中，负数是( ) C A.0 B. C. D.2 【解析】0既不是正数也不是负数，是负数， 和2是正数，故选C. 考点二、实数及分类 6.［2024福建中考］下列实数中，无理数是( ) D A. B.0 C. D. 【解析】，0是整数，是分数，它们不是无理数； 是无限不循环小数，它是 无理数.故选D． 技巧总结：无理数的三种常见形式: ①开方开不尽的数；②含有 的数；③无限不循环小数． 考点串讲 11 7.【2024北京中考】实数， 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正 确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项，由数轴可知 ，故本选项不符合题意；B选项，由数 轴可知，则 ，故本选项不符合题意；C选项，由数轴可知 ,，，则 ，故本选项符合题意；D选项，由数轴可知 ,，则 ，故本选项不符合题意.故选C. 考点三、实数与数轴 考点串讲 12 8.【2023甘肃兰州中考】如图，将面积为7的正方形 和面积为9的正方形分别绕原点 顺时针旋 转，使，落在数轴上，点， 在数轴上对应的 数字分别为，，则 _______． 【解析】 正方形的面积为7，正方形 的面积为9， ，，即，， . 考点三、实数与数轴 考点串讲 13 9.［2024山东德州中考］实数， 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正 确的是( ) D A. B. C. D. 【解析】根据数轴得，,, , ，故选D. 考点四、实数的大小比较 10.［2024山东威海中考］下列各数中，最小的数是( ) A A. B. C. D. 【解析】，， 最小的数是 ，故选A. 考点串讲 14 11. 开放性试题［2024内蒙古赤峰中考］写出一个比 小的整数___________ _______________. 2 （答案不唯一） 【解析】， 比 小的整数可以是2.故答案为2（答案不唯一）. 考点四、实数的大小比较 12.正整数，分别满足，，则 ( ) D A.4 B.8 C.9 D.16 【解析】，，， , ． 故选D． 13.［2024山西中考］比较大小：___2（填“ ”“ ”或“ ”）. 【解析】，，故答案为 . 考点串讲 15 14.［2024河北中考］已知,, 均为正整数. （1）若,则 ___; 3 【解析】，而， .故答案为3. 考点四、实数的大小比较 （2）若,,则满足条件的的个数总比 的个数少___个. 2 【解析】，，均为正整数，，， 为连续的三个自然数，而 , ， ， ，观察0，1，2，3，4，5，6，7， 8，9， ，，，，，， ，与 之 间的整数有个，与之间的整数有个， 满足条件的 的个数 总比的个数少 （个）.故答案为2. 考点串讲 16 13.［2023江苏苏州中考］计算： ． 【解】 ． 考点五、实数的运算 14.［2023浙江台州中考］计算： ． 【解】 ． 12.【2024四川广安中考】计算: ___. 0 【解析】原式 ，故答案为0. 13.【2024内蒙古包头中考】计算： ___. 【解析】原式 ,故答案为3. 3 考点串讲 17 类型1 利用数轴比较大小 1.［2025北京房山区期末，中］实数， 在数轴上的对应点的位置如图所示，下 列结论中正确的是( ) A A. B. C. D. 【解析】，.又，， 选项 正确，符合题意.，，， 选项错误，不 符合题意；C选项错误，不符合题意；D选项错误，不符合题意.故选A. 题型一、实数大小比较的方法 题型剖析 18 2.已知7个实数，，4，，，0， .其中3个数在如图所示的 数轴上分别用点，， 表示. （1）点表示数___，点表示数___，点 表示数______. 0 . 【解】根据点,,在数轴上的位置，可知点表示数0，点表示数 ，点 表示 数.故答案为0， ， . 题型一、实数大小比较的方法 题型剖析 19 （2）在数轴上精确地表示出剩下的4个数（提示：注意观察正方形 的面积）， 并将所有的数用“ ”连接. 【解】如图所示即为所求作.由数轴可知， . 题型剖析 20 类型2 比较被开方数法 3.［2025湖北孝感期中,中］比较大小：___3；___ . 【解析】,， . 类型3 平方比较法 4. 传统文化［2024安徽中考］我国古代数学家张衡将圆周率取值为 ， 祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为.比较大小：___（填“ ” 或“ ”）. 【解析】，，，，故答案为 . 题型剖析 21 5.比较大小：-___.（填“ ”“ ”或“ ”） 【解析】，，， . 类型4 作差比较法 6.［中］设，，若取任意实数，则与 的大 小关系为( ) A A. B. C. D.无法比较 【解析】 不论为何值，，,， ， 故选A 题型剖析 22 7.阅读材料：对于任意两个实数和比较大小，若，则 ；若， 则；若，则 .上面的规律反过来也成立.参考材料，解决问题： （1）比较大小： __________________________________________________ _______________________________________________________________________ ___________________________________________________________ ； （填“ ”“”或“ ”） 【解】 .， ,，故答案为 . （2）已知，且，若，，试比较 和 的大小. 【解】，，， ， ， ． 题型剖析 23 类型5 中间量比较法 8.比较4，， 的大小，正确的是( ) A A. B. C. D. 【解析】，， ，故选A. 9.［2025浙江宁波质检］比较与 的大小. 【解】,，.又 , ，， . 题型剖析 24 题型剖析 类型1 程序设计题 1.如图，这是一个数值转换器. （1）当输入的值为25时，输出 ____. 题型二、实数中常见的创新题 （2）是否存在输入有效的值后，始终输不出 值？如果存在，请写出所有满足要求 的 的值；如果不存在，请说明理由. 【解】存在. 和1的算术平方根分别是0和1，是有理数， 永远不能输出无理数， 即始终输不出 值. 满足要求的 的值是0或1. 题型剖析 26 （3）小明输入了下面的几个备选数据中的某一个，结果转换器运行过程中显示 “该操作无法运行”，请你判断输入的 的值可能是哪一个数据，并说明理由. 备选数据： ，4，， . 输入的的值为 .理由：负数没有算术平方根. （4）若小明输入了某个的值后得到了 ，请你判断一下他输入的 的值是不是 唯一的？若不唯一，请你写出3个不同的数值. 输入的的值不唯一.第一次输入2时，可得到，故 可为2； 第二次输入2时， 可为4；第三次输入2时， 可为16. 故 可为2或4或16.（答案不唯一） 题型剖析 27 类型2 规律探究题 2.观察下列各式： … … …③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： （1）发现规律 ________； （2）计算 . 原式 . 题型剖析 28 类型3新定义题 3.［2025沈阳七中月考］新定义：若无理数的被开方数 （为正整数）满足 （其中 为正整数），则称无理数的“青一区间”为 ； 同理规定无理数的“青一区间”为.例如：因为 ，所以 ，所以的“青一区间”为， 的“青一区间”为 ，请解 答下列问题： （1）的“青一区间”是______； 的“青一区间”是_________； 【点拨】，， ，， 的“青一区间”是， 的“青一区间”是 . 题型剖析 29 （2）若无理数（ 为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间” 为，求 的值； 【解】 无理数的“青一区间”为 ， ， ，即 . 的“青一区间”为， ， ，即 ，， . 为正整数，或 . 当时， ，当时， ， 的值为2或 . 题型剖析 30 （3）实数，， 满足关系式：. 求 的算术平方根的“青一区间”. ， ， ， ，， ， ，的算术平方根为 . ， ， 的算术平方根的“青一区间”是 . 题型剖析 31 类型4初高衔接题 4.方明是一位勤于思考、勇于创新的同学.在学了平方根的有关知识后，他知道负数 没有平方根.例如：因为没有一个数的平方等于，所以 没有平方根.有一天，方明 产生了这样的想法：假设存在一个数，使，那么 ， 因此就有两个平方根和 了.进一步方明想到： ，的平方根是 ； ，的平方根是 . 请你根据上面提供的材料解答下列问题： （1）求，， 的平方根； 【解】，的平方根是 .， 的平方根是 .，的平方根是 . 题型剖析 32 （2）求，，，，，， 的值，你发现了什么规律？将你发现的规律 用文字表达出来. ，， ， ，，， , 规律：若 的指数是4的整数倍，值为1； 若的指数除以4余1，值为 ；若的指数除以4余2，值为 ； 若的指数除以4余3，值为 . 题型剖析 33 章测 一、选择题 1.有下列各数：，，，，， ，其中无理数的个数为( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】，是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 无理数有，， ，共3个.故选B. 2.［2025四川成都青羊区质检］下列说法正确的是( ) D A.的平方根是 B. 的算术平方根是4 C.平方根等于本身的数是0和1 D.0的平方根与算术平方根都是0 【解析】负数没有平方根，则A选项不符合题意； 的算术平方根是2，则B选项 不符合题意；平方根等于本身的数是0，则C选项不符合题意；0的平方根与算术平 方根都是0，则D选项符合题意.故选D. 针对训练 34 3.如图所示的数轴上，点与点关于点对称，， 两点对应的实数分别是1和 ，则点 对应的实数是( ) D A. B. C. D. 【解析】,两点对应的实数分别是1和，.又 点与点 关于 点对称，.设点所表示的数为，则， ， ，故选D. 针对训练 35 二、填空题 4.［2025贵州毕节期末］如果正数的平方根是，的立方根是 ，则 的算术平方根是___. 3 【解析】 正数的平方根是，的立方根是， ， ，，，则， 的算术平 方根是3. 5.［2025四川成都期中］比较大小：___（填“ ”“ ”或“ ”）. 【解析】，，，故 ，故答案 为 . 针对训练 36 6.［2025山西太原质检］已知，其中是整数， ，则 的相反数为__________. 【解析】，,即 ， ，其中是整数，， ， ，， 的相反数 为，故答案为 . 7.［2025浙江杭州期中］是一个正整数，则满足条件的最小正整数 的值是 ___. 4 【解析】是一个正整数，， 能完全开立方. ， 满足条件的最小正整数 的值为4.故答案为4. 针对训练 37 三、解答题 8.（1）［2024北京大兴区期末］计算： ． 【解】 ． （2）［2024重庆永川区期末］计算：|- . 【解】原式 . 针对训练 38 9.［2025吉林长春质检］解答下列各题： （1）已知，求 的平方根. 【解】，, ， ， ， ，，，， 的平方 根是 . （2）已知，为实数，且,求 的值. 【解】， 解得 ， ， . 针对训练 39 10.根据下表回答下列问题： 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 17.6 17.7 17.8 17.9 18 309.76 313.29 316.84 320.41 324 （1）316.84的平方根是_______； ______； _____. 17.3 171 【解析】，的平方根是 ， ，．故答案为， ， 171. 针对训练 40 （2）若介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数 有___个. 4 【解析】，，且介于17.6与17.7之间， 整数 的值可能为310，311，312，313， 满足条件的整数 有4个．故答案为4. （3）观察表格中的数据，请写出一条你发现的结论. 【解】发现的结论：当时，随着的增大， 也增大．（答案不唯一） 针对训练 41 没有 正数 负数 无理数 课堂总结 感谢聆听! $$