第1章 有理数（复习课件）数学浙教版2024七年级上册

单元复习课件 第一章 有理数 浙教版2024·七年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 掌握正负数表示相反意义的量，能对有理数分类，理解数轴三要素并能用其表示有理数，明晰相反数、绝对值概念及求法，学会比较有理数大小. 3. 利用数轴理解抽象概念，绝对值概念的理解与运用，体会数学建模思想． 2. 会灵活运用数轴、相反数和绝对值的内容进行计算化简，进一步理解数形结合、分类讨论思想，提升逻辑思维. 单元学习目标 单元知识图谱 知识点一：正数和负数 正数：大于0的数叫做正数. 负数：在正数前面加“-”的数叫做负数. 注意：0既不是正数，也不是负数. 正负数的意义： 用来表示具有相反意义的量.如“零上温度与零下温度”，“收入与支出”，“高于海平面与低于海平面”都具有相反意义的量. 正数前面的“+”（正）号可以省略不写，负数前面的“”（负）号不能省略不写. 相反意义的量必须满足： ① 同一种量；② 意义相反。 考点串讲 知识点二：有理数 1. 有理数的概念： 整数和分数统称有理数. 有理数 正整数 负整数 负分数 正有理数 负有理数 正分数 零 有理数 正整数 正分数 整数 分数 零 负整数 自然数 2. 有理数的分类 负分数 (1) 按定义分类 (2) 按符号分类 考点串讲 口诀：见非写0，非后取反 非正有理数： 非负有理数： 非正整数: 非负整数: 非正数: 非负数: 0+负整数 0+正整数 0+负有理数 0+正有理数 0+负数 0+正数 知识点二：有理数 考点串讲 知识点三：数轴 (1)概念：规定了_______、_______、_________的直线，叫数轴. 原点 正方向 单位长度 (2)数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，零用______表示，正有理数用__________的点表示，负有理数用_________的点表示． 原点 原点右边 原点左边 0 1 2 3 4 5 6 7 －1 －2 －3 －4 －5 原点 单位长度 正方向 正半轴 负半轴 考点串讲 知识点四：相反数 (1)概念：只有_______不同的两个数是互为相反数，其中一个数为另一个数的相反数. 两侧 相等 (2)性质： 符号 ①在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点_______，并且与原点的距离_______. a －a 0 a a 考点串讲 知识点四：相反数 【注意】相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数． 除0外，互为相反数的两个数都是一正一负． 多重符号的化简：奇负偶正. ② 0的相反数是____. ③若a,b互为相反数，则a+b=0. 0 (2)性质： 考点串讲 知识点五：绝对值 (1)概念：在数轴上表示数a的点与________的距离叫做数a的绝对值,记作|a|，读作“a的绝对值”. 原点 即正数的绝对值是它________， 0的绝对值是____； 负数的绝对值是它的___________， 本身 相反数 0 (2)性质： ①.|a|= a(a>0), 0(a=0), −a(a<0), 绝对值具有非负性： 任何一个数的绝对值总是正数或0．即对任意数 a，总有| a | ≥ 0． 考点串讲 知识点五：绝对值 (2)性质： ②.离原点越远的数的绝对值 . ③.互为相反数的两个数的绝对值 . 越大 相等 考点串讲 知识点六：有理数比较大小 1.数学中规定：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数. 2.有理数大小的比较法则： ①正数大于0，0大于负数，正数大于负数； ②两个负数，绝对值大的反而小. 0 1 2 －1 －2 －3 －4 从左到右，数越来越大 考点串讲 题型一、正数和负数 1.填空： （1）汽车在一条南北走向的高速公路上行驶，规定向北行驶为正。汽车向北行驶 45 km，记作 km（或 km）； 汽车向南行驶60 km，记作 km。 （2）如果银行账户余额增加50元记为50元，那么-30元表示 . +45 45 -60 余额减少30元 解：（1）根据题意，可知向北记为正，向南记为负， 故向北走 45 米记作 +45 米，“+”可以省略不写；向南走60 米记作 -60 米. （2）根据题意，余额增加记为正，那么负值表示的是余额减少。 故-30元表示余额减少30元. 题型剖析 题型二、有理数的分类 2.把下列各数填在相应的横线上； -2.7，15，，0.11，0， ，-21，+9.87，+69， ，0.99. 正数： ； 负数： ； 既不是正数也不是负数： . 15； ； 0.11;+9.87，+69， ，0.99 -2.7； 0 注意：①分类的标准不同，结果也不同； ②分类的结果应无遗漏、无重复； ③零是整数，但零既不是正数，也不是负数. 题型剖析 题型二、有理数的分类 (1) 一个整数不是正数就是负数（ ） (2) 自然数一定是整数（ ） (3) 0 一定是正整数（ ） (4) 整数一定是自然数（ ） (5)有最小的正整数，有最大的负整数 （　　） (6)有最小的正数，有最大的负数（　　） 3. 判 断： × 整数 正整数 负整数 0 √ × 0既不是正数也不是负数 × 自然数 √ × -0.1<-0.000…1（中间有无数个0）<0<0.000…1（中间有无数个0）<0.1 最小的正整数是1，最大的负整数是-1 题型剖析 题型二、有理数的分类 4．把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①－9.3，② ，③－20，④0，⑤0.01，⑥－1，⑦ ，⑧3.14，⑨100，⑩π． 正数集合{ ____________ …}； 整数集合{ __________ …}； 负分数集合{ ______ …}； 非正整数集合{ _______ …}； 自然数集合{ ______ …}； 有理数集合{ ______________________ …}． ②⑤⑧⑨⑩ ③④⑥⑨ ①⑦ ③④⑥ ④⑨ ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 题型剖析 题型三、数轴 5. 在数轴上，点A表示2.5，点P从点A出发向右移动4个单位长度，此时点P所表示的是什么数？ 如果点P向左移动4个单位长度呢？ P 0 1 2 3 4 -1 -2 5 ● A ● 6 7 8 9 答：将A点向右移动4个单位长度：2.5+4=6.5；所以点P表示的数是6.5. 将P点向左移动4个单位长度：6.5-4=2.5；此时点P表示的数是2.5. 题型剖析 题型三、数轴 6. 数轴上表示整数的点称为整点。某数轴的单位长度是1cm，若在这个数轴上随意画出一条长为4cm的线段AB，则线段AB盖住的整点个数为___________。 5个 4个或5个 1 2 3 4 -4 -1 -2 -3 0 4个 1 2 3 4 -4 -1 -2 -3 0 5个 1 2 3 4 -4 -1 -2 -3 0 题型剖析 题型四、相反数 7. 下列说法正确的有________（填序号）。 ①符号不同的两个数是相反数 ②互为相反数的两个数必为一正一负 ③27的相反数是72 ④4与4.375都是-的相反数 ⑤互为相反数的两个数一定不相等 ⑥所有的有理数都有相反数 ⑦一个数的相反数一定是非正数 ⑧一个数可以小于它的相反数 0的相反数是0 只有 27的相反数是-27 0的相反数是0 负数的相反数是正数 ④⑥⑧ 题型剖析 题型四、相反数 8.下列各代数式：①a-b与-a-b；②a+b与-a-b；③a+1与1-a；④-a+b与a-b。其中互为相反数的有（ ） A．①② B．②④ C．②③④ D．①②③④ B 【分析】 若x+y=0（即x=-y），则x与y互为相反数。 ①a-b+(-a-b)=-2b不一定等于0；②a+b+(-a-b)=0； ③a+1+(1-a)=2≠0；④-a+b+(a-b)=0。 题型剖析 题型四、相反数 9. -（+5）表示_________的相反数，即-（+5）=_________； -（-5）表示_________的相反数，即-（-5）=_________. 10. -2 的相反数是_________；-[-(+ )]的相反数是_________； 0 的相反数是_________. 5 -5 2 -5 5 0 题型剖析 题型四、相反数 11. 若 3x + 1 和 2x-6 互为相反数，求 x 的值. 解：由相反数的意义，得 3x + 1 + 2x - 6 = 0， 5x = 6-1， 5x = 5 x = 1. 相反数的性质： 互为相反数的两个数的和为0，即 a + b = 0． 题型剖析 题型五、绝对值 12. 填空 (1) －3 的绝对值是_______，记做_______ . (2) 绝对值等于10的数有___________. (3) 若︱a︱= -a , 则 a 的范围______ . (4) 如果 x<y<0, 那么| x |______| y |. (5) |x －1| =6 ，则 x ＝__________. 3 | 3 | 10或－10 a ≤ 0 ＞ 7 或－5 题型剖析 题型五、绝对值 13. (1) 若|b-5|+|a-2|=0，则ba=______； (2) 若|x-3|+4(y-1)2=0，则yx=______. 解：(1)∵|b-5|+|a-2|=0， ∴|b-5|=0，|a-2|=0， ∴b=5，a=2， ∴ba=25； 25 (2)∵|x-3|+4(y-1)2=0， ∴|x-3|=0，4(y-1)2=0， ∴x-3=0，y-1=0， ∴x=3，y=1， ∴yx=1. 提示：绝对值具有非负性； 平方数也具有非负性，a2≥0。 题型剖析 题型五、绝对值 14. |x-3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离。试探索： (1)求|5-(-2)|=____； (2)若|x-3|=|x+1|，则x=____； 7 1 解：(1)表示5的点与表示-2的点之间的距离，是5+2=7个单位； (2)表示x-3的点与表示x+1的点之间的距离相等，那么有两种情况： ①x-3=x+1（不成立）； ②x-3=-(x+1)，解得x =1. 题型剖析 题型六、有理数比较大小 15. a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，－a，b，－b按照从小到大的顺序排列（ ）_________________ A.－b＜－a＜a＜b B.－a＜－b＜a＜b C.－b＜a＜－a＜b D.－b＜b＜－a＜a C 题型剖析 题型七、二次函数图象的变换 3.5，-3.5，0，|-2|，-2，，-，0.5 16. 请你将下面的数用“＞”连接起来. 解:将各数在数轴上表示出来，右边的大于左边的，然后从大到小排列. -4 -2 -1 0 1 2 3 4 -3 3.5 -3.5 0 |-2| -2 0.5 -1 3 5 - 1 3 3.5>|-2|>0.5>0>>->-2>-3.5 题型剖析 1.甲、乙两家小店分别记录了一周内每天的累计收支情况，如下表（记收入为正，单位：元）。 小店 星期 结余 一 二 三 四 五 六 日 甲 512 630 551 -4200 805 1200 -200 -702 乙 801 -3050 620 882 -150 1560 800 1463 根据上表回答下列问题： （1）说出“甲”这一行中512，-4200，1200各数的实际意义。 （2）说出“星期五”这一列中805，-150的实际意义。 （3）说出“结余”这一列中-702，1463的实际意义。 针对训练 （1）“甲店”这一行中512，-4200，1200各数的实际意义分别为收入512元、支出4200元、收入1200元. （2）“星期五”这一列中805，-150的实际意义分别为甲店星期五收入805元、乙店星期五支出150元. （3）“结余”一列中-702，1463的实际意义分别是甲店这一周支出了702元、乙店这一周收入了1463元. 针对训练 2.把下列各数填在相应的横线上： 75 , -27 , -2.2 , , 0 , 0.3 , 25 , , -36 , -3.67 正整数： . 负整数： . 正分数： . 负分数： . 正有理数： . 负有理数： . 75; 25 -27; -36 0.3; -2.2; 75; 25; 0.3; -27; -36; -2.2; 注意：①分类的标准不同，结果也不同； ②分类的结果应无遗漏、无重复； ③零是整数，但零既不是正数，也不是负数. 针对训练 3. 如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是 ），刻度尺上“” 和“ ”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“ ”对应的数轴上的数 为( ) . B A.5.4 B.- 2.4 C.- 2.6 D.- 1.6 针对训练 负 正 1 8 -a a 针对训练 5.如图,数轴的单位长度为1。 (1)如果点P，T表示的数互为相反数，那么点S表示的数是多少? Q P R S T 解：∵点P，T表示的数互为相反数， ∴设T表示的数为x，P表示的数为-x， x - ( -x ) = 8,即x+x=8 ∴x=4 ∵S比T小4个单位， ∴S表示的数是0. 针对训练 5.如图,数轴的单位长度为1。 (2)如果点R,T表示的数互为相反数,那么点S表示的数是正数,还是负数? 图中表示的五个点中,哪一点表示的数的绝对值最大?为什么? Q P R S T 解：∵点R，T表示的数互为相反数， ∴设T表示的数为a，R表示的数为-a， a - ( -a ) = 6,即a+a=6 ∴a=3，即T表示的是3. ∴Q表示的数是-7,P表示的数是-5,R表示的数是-3,S表示的数是-1. ∴Q表示的绝对值最大，是7. 针对训练 解：根据题意可知 x－4＝0，y－3＝0， 所以x＝4，y＝3，故x＋y＝7. 6. 已知|x－4|＋|y－3|=0，求x＋y的值. 归纳总结： 几个非负数的和为0，则这几个数都为0. 针对训练 7. 我们知道|x|＝2，则x＝±2． 请你那么运用“类比”的数学思想尝试着解决下面两个问题： (1) |x＋3|＝2，则x＝____________； (2) 5－|x－4|＝2，则x＝_________． 解：(1) x＋3＝±2， 即 x＋3＝－2或x＋3＝2， 解得：x＝－5或x＝－1； －5或－1 (2)解得 |x－4|＝3，所以x－4＝±3， ∴x－4＝3或x－4＝－3， 解得：x＝7或x＝1． 7或1 针对训练 8. 如果，， ，那么下列比较大小中正确的是( ) D A. B. C. D. 解： ，可以得出|a|＞|b|，所以得到. 针对训练 9. 已知a、b均为有理数， (1)若|a|>|b|，则能够断定a>b吗？ (2)若a<b，则能够断定|a|<|b|吗？ (3)若|a|＝|b|，则能够断定a＝b吗？ 解：(1)不能断定，因为当两个负数比较时，绝对值大的数反而小，如|－3|>|－1|，而－3<－1； (2)不能断定，因为当a、b均为负数时，若a＜b，则|a|>|b|，如－3<－1，而|－3|>|－1|； (3)不能断定，互为相反数的数绝对值是相等的， 如|－3|＝|3|，而－3≠3. 针对训练 10. 已知 是最大的负整数的相反数， ，且 请写出 的值. [答案] 是最大的负整数的相反数， ， 或 . 或 . ， ，解得 . 或 . 针对训练 正数 负数 相反意义的量 0 有理数 数轴 有理数的大小比较 相反数 绝对值 课堂总结 感谢聆听! 化简下列各数： ① ；② ；③ ；④ ； （2）化简过程中发现：化简结果的符号与原式中“﹣”的个数有 着密切联系，当“ ”的个数是奇数时，最后结果为_________数； 当“-”的个数是偶数时，最后结果为_________数. $$