精品解析：浙江省台州市椒江区2024-2025学年九年级下学期6月期末数学试题

浙江省台州市椒江区2024－2025学年九年级下学期6月期末数学试题 亲爱的考生： 欢迎参加考试！请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1.全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3.答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 4.本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 3. 在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数据3，x，7，1，10的平均数为5，则x的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 下列各图象中，不能表示是函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，数轴上点表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，是斜边上的一点，过点作，垂足为，过点作，交于点．设，则关于的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 下列各式不成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数与图象交点的纵坐标为－2，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是正方形内一点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 12. 数据7，1，2，5，6的中位数是______． 13. “两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”的逆命题是______． 14. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，垂足为，连接，若，则______． 15. 一次函数，当时，的最大值为4，则一次函数的解析式为______． 16. 如图，在矩形中，为中点，连接，G为边上一点，将沿折叠，使点刚好落在线段的中点处，则______． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22～23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，菱形中，对角线交于点，．求证：四边形是矩形． 19. 杭州宇树科技公司生产的人形机器人亮相央视2025春晚，让我们看到了一个技术深度嵌入日常生活，人机协作成为常态的未来已来．某人形机器人公司为参加人形机器人半程马拉松比赛，研发团队对两款人形机器人的性能进行6次综合测评，测评结果绘制成如下统计图表： 型号 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2） 96 95.5 96 96 5 （1）填空：______，______； （2）根据测评结果，公司决定选机器人参加半程马拉松比赛，请你根据相关统计量说明公司选择的理由． 20. 以下是小奔同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解： ．．．．．．第①步 ．．．．．．第②步 ．．．．．．第③步 ．．．．．．第④步 【任务】 （1）上述解答过程中，第①步依据的乘法公式为______；（填“平方差公式”或“完全平方公式”） （2）上述解答过程，从第______步开始出错； （3）请写出正确的计算过程． 21. 小丽和小张相约去植物园游玩．小丽从甲小区骑电动车出发，同时小张从乙小区开车去超市购物，然后按原来的速度前往植物园，他们的行程路线图如图1所示，他们离甲小区的路程与出发时间的对应关系如图2所示．根据下图回答问题： （1）求小丽骑电动车和小张开车的速度； （2）出发几分钟后他们离甲小区的路程相等？ 22. 尺规作图问题： 如图1，在等腰三角形中，分别是的中点，在边上作一点，使得四边形为菱形． 甲同学：如图2，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，则四边形为菱形． 乙同学：以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则四边形为菱形． 甲同学：你的作法有问题． 乙同学：哦…我明白了！ （1）证明：甲同学所作的四边形为菱形； （2）请指出乙同学作法中存在的问题． 23. 已知函数的图象经过点． （1）求的值； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）若点都在函数图象上，且，试说明：． 24. 如图，四边形是正方形，是上的任意一点，连接，以为边作正方形，连接交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接 ①如图，若平分，求的值； ②如图，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省台州市椒江区2024－2025学年九年级下学期6月期末数学试题 亲爱的考生： 欢迎参加考试！请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1.全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3.答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 4.本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②分母不含根号；③被开方数不能含有分母，由此即可求解． 【详解】解：选项A：，被开方数含分数，需化简为，不符合条件③，排除； 选项B：，被开方数2为质数，无平方因数，且分母无根号，符合最简二次根式定义； 选项C：，被开方数4是完全平方数，可化简为2，不符合条件①，排除； 选项D：，被开方数12含平方因数4，可化简为，不符合条件①，排除； 故选：B． 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理和勾股定理的逆定理，逐个判断选项即可，若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形． 【详解】解A、，不符合三角形三边关系，不能构成三角形， 故A不符合题意； B、，可以构成三角形，但，，，不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、，可以构成三角形，又，满足勾股定理的逆定理，可以构成直角三角形，故C符合题意； D、，可以构成三角形，但，，，不能构成直角三角形，故D不符合题意． 3. 在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，即对角相等、邻角互补．根据平行四边形的对角相等可直接得出结果． 【详解】解：在平行四边形中，对角相等， 即． 已知，因此． 故选：A． 4. 已知数据3，x，7，1，10的平均数为5，则x的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平均数，解题的关键是根据平均数的计算方法列方程求解． 【详解】解：数据3，，7，1，10的平均数为5， ， 解得， 故选：B． 5. 下列各图象中，不能表示是函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义，根据其定义：在变化过程中，若两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，即存在一一对应关系，则称是的函数，为自变量，为因变量，结合图形即可求解． 【详解】解：A、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，符合函数的定义，即是的函数，不符合题意； B、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，符合函数的定义，即是的函数，不符合题意； C、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，符合函数的定义，即是的函数，不符合题意； D、对于的每一个确定的值，的值不唯一，不符合函数的定义，即不是的函数，符合题意； 故选：D ． 6. 如图，数轴上点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴的一一对应关系，勾股定理的计算，运用勾股定理得到，结合数轴的特点即可求解． 【详解】解：如图所示，， ∴， ∴点表示的数是， 故选：D ． 7. 如图，中，是斜边上的一点，过点作，垂足为，过点作，交于点．设，则关于的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形性质，平行四边形的判定和性质，函数关系式的计算，根据题意得到四边形是平行四边形，由含角的直角三角形性质得到的关系，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 整理得，， 故选：B ． 8. 下列各式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式性质， 将根据二次根式性质进行化简，各选项中左边的带分数转化为假分数，再化简计算，判断是否相等即可． 【详解】选项A：左边 ，左右相等，成立． 选项B：左边，左右相等，成立． 选项C：左边，左右不相等，不成立． 选项D：左边，左右相等，成立． 综上，不成立的选项为C， 故选C． 9. 一次函数与图象交点的纵坐标为－2，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是由函数的图象在平面直角坐标系内的高低位置来确定自变量的取值范围，掌握数型结合是解题的关键． 由两函数交点纵坐标为，可求出交点横坐标，再根据可化为，观察图象即可得出结论． 【详解】解：当时，代入得： ，解得； 一次函数与图象交点坐标为，如图所示： 由图象可知：当时，， ∴解集为， 故选A． 10. 如图，是正方形内一点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质，结合题意得到是等腰三角形，如图所示，过点作于点，于点，过点作于点，四边形是矩形，，由三线合一得到，证明，得到，设，则，由勾股定理得到，由等面积法得到，结合矩形的性质得到，，由三角形面积的计算得到，，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，即是等腰三角形， 如图所示，过点作于点，于点，过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在等腰中，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：C ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三线合一，勾股定理，矩形的判定和性质，等面积法求三角形的高等知识的综合，合理作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴x-1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 12. 数据7，1，2，5，6的中位数是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了中位数，正确理解中位数的意义是解题的关键． 将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：将数据从小到大排列为1，2，5，6，7， 因此中位数为5． 故答案为：5． 13. “两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”的逆命题是______． 【答案】平行四边形是两组对边分别相等的四边形 【解析】 【分析】本题考查命题的逆命题，熟练掌握“逆命题是将命题的条件和结论互换得到的命题”是解题的关键．将原命题的条件和结论互换，即可得到逆命题． 【详解】解：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”的逆命题是“平行四边形是两组对边分别相等的四边形”， 故答案为：平行四边形是两组对边分别相等的四边形． 14. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，垂足为，连接，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求线段长，涉及菱形性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，先由菱形性质得到，且，，在中，由勾股定理求出，进而得到，在中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案．熟记菱形性质、勾股定理求线段长及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，并灵活运用是解决问题的关键． 【详解】解：在菱形中，，且，， 在中，，则由勾股定理可得， ，则， ， 在中，是斜边上的中线，则， 故答案为：． 15. 一次函数，当时，的最大值为4，则一次函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能求出函数的解析式是解此题的关键．分和，两种情况，根据一次函数的性质讨论即可． 【详解】解：当时，y随x的增大而增大， ∵当时，y的最大值为4， ∴当时，y取得最大值4， ∴，不符合题意； 当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y的最大值为4， ∴当时，y取得最大值4， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，为中点，连接，G为边上一点，将沿折叠，使点刚好落在线段的中点处，则______． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：延长、交于，过作交于，结合矩形的性质，由平行线的判定方法得，由平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定方法得，，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解． 方法二：过点F作于点D，设，根据平行线截三角形相似推出，利用相似三角形对应边成比例求出，得到，根据勾股定理求出k，即可得到答案． 【详解】解：方法一，延长、交于，过作交于， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， 为中点， ， ， （）， ， ， ， ， ， 由折叠得：， 在中，， ， 整理得：， 解得：， ； 方法二：过点F作于点D，设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等；掌握矩形的性质，折叠的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，能构建全等三角形，并能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22～23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． （1）先化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 ． 18. 如图，菱形中，对角线交于点，．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的性质，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】略 19. 杭州宇树科技公司生产的人形机器人亮相央视2025春晚，让我们看到了一个技术深度嵌入日常生活，人机协作成为常态的未来已来．某人形机器人公司为参加人形机器人半程马拉松比赛，研发团队对两款人形机器人的性能进行6次综合测评，测评结果绘制成如下统计图表： 型号 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2） 96 95.5 96 96 5 （1）填空：______，______； （2）根据测评结果，公司决定选机器人参加半程马拉松比赛，请你根据相关统计量说明公司选择的理由． 【答案】（1）， （2） 理由如下： 从两个型号机器人统计数据表中可知，测评成绩的方差为、测评成绩的方差为， ， 款人形机器人的性能比款测评成绩稳定，从而根据测评结果，公司决定选机器人参加半程马拉松比赛． 【解析】 【分析】本题考查统计综合，涉及由折线统计图数据求众数、求平均数及由方差作决策，熟记相关统计量的意义及求法是解决问题的关键． （1）由折线统计图得到相关数据，结合众数与平均数求法代值求解即可得到答案； （2）由两款机器人测评成绩的方差比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：由折线统计图可得的众数（分）为； 由折线统计图可得的平均数（分）为； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 20. 以下是小奔同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解： ．．．．．．第①步 ．．．．．．第②步 ．．．．．．第③步 ．．．．．．第④步 【任务】 （1）上述解答过程中，第①步依据的乘法公式为______；（填“平方差公式”或“完全平方公式”） （2）上述解答过程，从第______步开始出错； （3）请写出正确的计算过程． 【答案】（1）完全平方公式； （2）③ （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，以及完全平方公式和平方差公式． （1）根据完全平方公式即可解答； （2）根据二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，逐步进行计算，即可解答； （3）根据二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，逐步进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：第1步依据的乘法公式为， 故答案为：完全平方公式； 【小问2详解】 第3步计算错误， ， 故答案为：③； 【小问3详解】 略 21. 小丽和小张相约去植物园游玩．小丽从甲小区骑电动车出发，同时小张从乙小区开车去超市购物，然后按原来的速度前往植物园，他们的行程路线图如图1所示，他们离甲小区的路程与出发时间的对应关系如图2所示．根据下图回答问题： （1）求小丽骑电动车和小张开车的速度； （2）出发几分钟后他们离甲小区的路程相等？ 【答案】（1）小丽骑电动车的速度为，小张开车的速度为 （2）出发分钟或分钟后他们离甲小区的路程相等 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系，从图象中获取数据信息是解题的关键． （1）由图象中的信息，利用速度路程时间代值计算即可得到答案； （2）分别求出线段对应的函数关系式，由图可知，点和点处，他们离甲小区的路程相等，分别求出两函数交点的横坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意，小丽中途没有停歇，则小丽离甲小区的路程与出发时间的对应关系图是， 小丽骑电动车的速度为； 由题意，小张中途到超市购物，且前后速度一致，则小张离甲小区的路程与出发时间的对应关系图是， 选择段：从乙小区到超市，共，用时，则小张开车的速度为； 【小问2详解】 解：由（1）的分析可知，小丽离甲小区的路程与出发时间的对应关系图是；小张离甲小区的路程与出发时间的对应关系图是； 由（1）知表示的数为，则； 从超市到植物园路程为，由（1）知小张开车的速度为，则从超市到植物园用时为，则； 设线段对应的函数关系式为， 将、代入得， 解得， 线段对应的函数关系式为； 设线段对应的函数关系式为， 将代入得， 线段对应的函数关系式为； 由图可知，点和点处，他们离甲小区的路程相等，则 在点处，，解得； 在点处，，解得； ∴出发分钟或分钟后他们离甲小区的路程相等． 22. 尺规作图问题： 如图1，在等腰三角形中，分别是的中点，在边上作一点，使得四边形为菱形． 甲同学：如图2，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，则四边形为菱形． 乙同学：以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则四边形为菱形． 甲同学：你的作法有问题． 乙同学：哦…我明白了！ （1）证明：甲同学所作的四边形为菱形； （2）请指出乙同学作法中存在的问题． 【答案】（1） 证明：如图所示： 点是的中点， ， ， ∴等腰三角形三线合一可得 ， 点是的中点， ， 是的中位线，则，， 以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连结， ， 在中，是斜边上的中线，则， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）乙同学作法中存在的问题是点可能有两个 【解析】 【分析】（1）由分别是的中点，根据中位线的判定与性质得到，，再由等腰三角形三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证明四边形为平行四边形,再由邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）根据乙同学做法，点不唯一，如图所示，即可得出乙的方法存在的问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：乙同学作法中存在的问题是点可能有两个， 如图所示： ． 【点睛】本题考查尺规作图﹣作两条线段相等、涉及等腰三角形的性质、三角形中位线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，解题的关键是掌握相关几何知识，并灵活运用． 23. 已知函数的图象经过点． （1）求的值； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）若点都在函数图象上，且，试说明：． 【答案】（1） （2） 由描点法作出图象，如图所示： （3） 说明如下： 由（1）知函数， 点都在函数图象上，且， 当时，，则；当时，，则； ． 【解析】 【分析】本题考查函数综合，涉及待定系数法求参数、由描点法画函数图象、由函数性质验证参数关系．由待定系数法确定函数表达式是解决问题的关键． （1）由题意，结合待定系数法代值求解即可得到答案； （2）由（1）得函数表达式，利用描点法作出函数图象即可得到答案； （3）由（1）得函数表达式，将点代入函数表达式，恒等变形得到、即可得到答案． 【小问1详解】 解：函数的图象经过点， ， 当时，，解得； 【小问2详解】 解：由（1）知函数 【小问3详解】 略 24. 如图，四边形是正方形，是上的任意一点，连接，以为边作正方形，连接交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接 ①如图，若平分，求的值； ②如图，若，请直接写出的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：如图，过点作于，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）①；② 【解析】 【分析】（）利用正方形的性质和余角性质即可求解； （）过点作于，分别证明和，得到和，进而即可求证； （）①过点作于，由角平分线的性质得，由等腰直角三角形的性质得，设，则，由得，又可得，代入计算即可求解；②过点作于，由等腰直角三角形的性质得，，设，则，可得，即得，得到，进而可得，即得到，再由得，最后代入计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①过点作于， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，过点作于，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的化简等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $