2.5直线与圆的位置关系（第1课时位置关系、切线的判定与性质）（教学课件）数学苏科版九年级上册

苏科版·九年级上册 2.5.1 直线与圆的位置关系 —— 位置关系、切线的判定与性质 第二章 对称图形——圆 章节导读 学 习 目 标 1 2 理解直线与圆的三种位置关系，并能够用定义法或几何法判断直线与圆的位置关系 掌握切线的判定定理 3 掌握切线的性质定理 新知探究 大漠孤烟直，长河落日圆。 ——王维《使至塞上》 新知探究 山水相接的地方出现了一道红霞。过了一会儿，那里出现了太阳的小半边脸。慢慢儿，一纵一纵地使劲儿向上升，到了最后，它终于冲破了云霞，完全跳出了海面。 ——巴金 新知探究 思 考 1. 下面三幅图中太阳与地平线的公共点分别有多少个？ ●O ●O ●O 两个公共点 一个公共点 没有公共点 新知探究 思 考 2. 完成下列填空。 ●O ① 如图， 直线和圆有______公共点， 叫做直线和圆_____， 这条直线叫做______； 两个 割线 相交 ② 如图， 直线和圆有______公共点， 叫做直线和圆_____， 这条直线叫做______， 这个公共点叫做______； ●O 一个 切线 相切 切点 新知探究 思 考 2. 完成下列填空。 ① 如图， 直线和圆______公共点， 叫做直线和圆_____。 ●O 没有 相离 新知探究 直线与圆的位置关系： 1. 直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。 2. 直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切， 这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。 3. 直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。 知识要点 新知探究 探 究 判断三种状态下圆心到直线的距离d与半径r的关系。 d < r ● r ● r ● r d = r d > r 相交 相切 相离 位置关系 数形结合 数量关系 d d d D D D 新知探究 直线与圆的位置关系的几何表达： 如果⨀O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 1. 直线l与⨀O相交 ⇔ d < r； 2. 直线l与⨀O相切 ⇔ d = r； 3. 直线l与⨀O相离 ⇔ d > r。 知识要点 新知探究 探 究 点与圆有3种不同的位置关系，直线与圆也有3种不同的位置关系，这两者之间有怎样的联系？ d < r ● r ● r ● r d = r d > r 相交 相切 相离 d d d D D D 如图，直线与⨀O的3种位置关系，实质就是点D ( 垂足 ) 与⨀O的3种位置关系。 新知探究 直线与圆的位置关系的判断： 1. 定义法：看公共点的个数； 2. 几何法：看圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小比较。 注意： 在实际解题中，常采用第二种方法。 知识要点 典例分析 典例1 已知⨀O的半径为5，直线l与⨀O有2个公共点，则点O到直线l的距离可能是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 解：∵直线l与⨀O有2个公共点， ∴直线l与⨀O相交， ∴点O到直线l的距 < ⨀O的半径5。 A 方法技巧 解题关键： 2个公共点 ⇔ 直线l与⨀O相交 ⇔ d < r 新知探究 思 考 解：直线l与圆O相切，理由如下： ∵l⊥OD， ∴OD为圆心到直线的距离， ∵OD为半径， ∴圆心到直线的距离 = 半径， ∴直线l与⨀O相切。 O D l 如图，经过⨀O的半径OD的外端点D，作直线l⊥OD， 直线l与⨀O有怎样的位置关系？为什么？ 新知探究 切线的判定： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 eg：∵OD为⨀O的半径，OD⊥l，∴OD为⨀O的切线。 知识要点 切线的判定定理实际上是从“圆心到直线的距离等于半径时， 直线和圆相切”这个结论直接得出来的。 O D l 新知探究 知识要点 探 究 下面哪一副图中直线l是⨀O的切线？ O D l O D l O D l 没有经过半径外端 经过半径外端， 但是没有垂直于这条半径 √ 【总结】切线必须满足两个条件： ① 经过半径的外端；② 垂直于这条半径。 典例分析 典例2 如图，OA = OB = 13cm，AB = 24cm， ⨀O的直径为10cm，求证：AB是⨀O的切线。 分析：当已知条件中未明确指出直线与圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段 ( 过点O作OD⊥AB，垂足为点D )，证明该线段的长等于半径 ( 证明OD = 半径 ) 即可。 O A B D 典例分析 典例2 如图，OA = OB = 13cm，AB = 24cm， ⨀O的直径为10cm，求证：AB是⨀O的切线。 O A B D 证明：如图，过点O作OD⊥AB，垂足为点D， ∵OA = OB = 13cm，AB = 24cm， ∴AD = AB = 12cm， 在Rt△OAD中，由勾股定理可得：OD = = 5 ( cm )， ∵⨀O的直径为10cm，∴⨀O的半径r为5cm，∴OD = r, 又∵OD⊥AB，∴AB是⨀O的切线。 典例分析 典例3 如图，AD是⨀O的弦，AB经过圆心O交⨀O于点C，∠A = ∠B = 30°，连接BD。求证：BD是⨀O的切线。 分析： 当已知条件中明确指出直线与圆有公共点 ( 点D ) 时，常连接过该公共点的半径 ( 连接OD )，证明该半径垂直于这条直线 ( 证明OD⊥BD ) 即可。 A B O C D 典例分析 典例3 如图，AD是⨀O的弦，AB经过圆心O交⨀O于点C，∠A = ∠B = 30°，连接BD。求证：BD是⨀O的切线。 证明：如图，连接OD， ∵OD = OA， ∴∠ODA = ∠A = 30°， ∴∠DOB = ∠ODA + ∠A = 60°， ∴∠ODB = 180° - ∠DOB - ∠B = 180° - 60° - 30° = 90°，即OD⊥BD， 又∵OD是⨀O的半径， ∴BD是⨀O的切线。 A B O C D 典例分析 方法技巧 切线的判定的解题关键： ① 已知直线与圆的公共点： 连接圆心与公共点，证明圆心与公共点的连线垂直于该直线， 简称：“有交点，连半径，证垂直”； ② 未知直线与圆的公共点： 过圆心作该直线的垂线段，证明圆心到垂足的距离等于半径， 简称：“无交点，作垂线段，证半径”。 新知探究 思 考 O D l 解：直线l与半径OD垂直，理由如下 ( 反证法 )： 假设直线l与OD不垂直， 如图，过圆心O作OD’⊥l，垂足为D’， ∵直线l与⨀O相切， ∴圆心O到直线l的距离OD’等于的⨀O半径， ∴点D’在⨀O上， 这样直线l与⨀O有两个公共点D、D’， 这与“直线l与⨀O相切”矛盾，∴l⊥OD。 D’ 如图，直线l是⨀O的切线，切点为D，直线l与半径OD有怎样的位置关系？为什么？ 新知探究 知识要点 切线的性质： 圆的切线垂直于经过切点的半径。 eg：∵OD为⨀O的切线，∴l⊥OD。 O D l 典例分析 典例4 如图，AB为⨀O的切线，点A为切点，OB交⨀O于点C， 点D在⨀O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC = 30°， 则∠ABO的度数为（　　） A．25° B．20° C．30° D．35° 解：∵AB为圆O的切线， ∴AB⊥OA，即∠OAB = 90°， ∵∠ADC = 30°， ∴∠AOB = 2∠ADC = 60°， ∴∠ABO = 90° - 60° = 30°。 C O A D B C 题型探究 直线与圆的位置关系的判断 题型一 【例1】如果⨀O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为d，且d = 7cm，那么⨀O和直线l的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 解：∵7 > 6， ∴d > r， ∴直线l与⨀O的位置关系是相离。 A 题型探究 根据直线与圆的位置关系求值 题型二 【例2】已知⊙O与直线l相交，圆心到直线l的距离为6cm， 则⊙O的半径可能为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm D 解：∵⊙O和直线l相交， ∴d < r， 又∵圆心到直线l的距离为6cm， ∴r > 6cm。 题型探究 切线的判定 题型三 【例3】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点C是弧BE的中点，AE⊥CD，垂足为点D。求证：CD是⊙O的切线。 证明：连接OC， ∵C为弧BE的中点，∴， ∴∠CAD = ∠BAC， ∵OA = OC，∴∠BAC = ∠ACO， ∴∠CAD=∠ACO，∴AD∥OC， ∵AD⊥CD，∴OC⊥CD， 又∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线。 B O C D A E 题型探究 切线的性质 题型四 【例4】如图，AC为⨀O的直径，PA，PB是⨀O的切线，切点分别是A，B，若∠CBP = 140°，则∠P的度数为（　　） A．100° B．80° C．75° D．70° 解：如图，连接OB， ∵PB，PA分别切⨀O于B，A， ∴∠PBO = ∠PAO = 90°， ∵∠CBP = 140°， ∴∠OBC = ∠PBC - ∠PBO = 50°， ∵OC = OB， ∴∠C = ∠OBC = 50°， ∴∠AOB = ∠C + ∠OBC = 100°， ∴∠P + ∠AOB + ∠PAO + ∠PBO = 360°， ∴∠P = 80°。 B P O C B A 课堂小结 直线与圆的位置关系： 1. 直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。 2. 直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切， 这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。 3. 直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。 直线与圆的位置关系的几何表达： 如果⨀O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 1. 直线l与⨀O相交 ⇔ d < r； 2. 直线l与⨀O相切 ⇔ d = r； 3. 直线l与⨀O相离 ⇔ d > r。 课堂小结 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。 直线与圆的位置关系的判断： 1. 定义法：看公共点的个数； 2. 几何法：看圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小比较。 注意： 在实际解题中，常采用第二种方法。 感谢聆听! $$