2.5直线与圆的位置关系（第2课时三角形的内切圆与内心）（教学课件）数学苏科版九年级上册

苏科版·九年级上册 2.5.2 直线与圆的位置关系 ——三角形的内切圆与内心 第二章 对称图形——圆 章节导读 学 习 目 标 1 2 理解三角形的内切圆与内心的概念，并与三角形的外接圆与外心的概念进行对比 掌握三角形内切圆与内心的有关性质与角度结论 3 掌握三角形内切圆半径的计算公式 新知探究 思 考 1. 要从一块三角形铁皮余料中剪一个圆，如何使剪得的圆面积最大？ 观察上图可知： 要使剪得的圆面积最大，这个圆应与三角形的各边都相切。 新知探究 思 考 2. 如何作一个图，使它与已知三角形的各边都相切？ 相切 圆心到三角形的三边的距离相等 角平分线上的点到角两边的距离相等 圆心在三角形的内角平分线上 新知探究 知识要点 尺规作图——三角形的内切圆：已知△ABC，根据下列作法，用直尺和圆规作⨀O，使它与△ABC的各边都相切。 作法 图形 A B C M N O D 1. 分别作∠ABC、∠ACB的平分线BM、CN，BM与CN的交点为O； 2. 过点O，作OD⊥BC，垂足为D； 3. 以点O为圆心，为半径作⨀O， ⨀O就是所求作的圆。 新知探究 三角形的内切圆与内心： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 内切圆的圆心叫做三角形的内心。 这个三角形叫做圆的外切三角形。 eg：如图，⨀O是△ABC的内切圆，△ABC是⨀O的外切三角形。 知识要点 A B C O 新知探究 知识要点 三角形的内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等。 注意：内心到三角形三边的距离相等， 不是到三角形三个顶点的距离相等。 三角形的内心 定义 三角形内接圆的圆心 作图 三角形三条内角平分线的交点 性质 到三角形三边的距离相等 A B C O 新知探究 探 究 1. 三角形的内心一定在三角形内部吗？ O O O 三角形的内心一定在三角形内部。 新知探究 探 究 2. 一个三角形的内切圆有多少个？ 解：∵三角形内切圆的圆心是三角形三条内角平分线的交点， 有且只有一个， ∴一个三角形的内切圆有且只有1个。 3. 一个圆的外切三角形有几个？ 解：如图，一个圆的外切三角形有无数个。 O 新知探究 知识要点 名称 外心 ( 三角形_______的圆心 ) 内心 ( 三角形_______的圆心 ) 作图 三角形三边___________的交点 三角形三条___________的交点 性质 三角形的外心到三角形_________的距离相等 三角形的外心到三角形_____的距离相等 位置 外心_______在三角形内部 内心_____在三角形内部 A B C O A B C O 外接圆 内切圆 垂直平分线 内角平分线 三个顶点 三边 不一定 一定 典例分析 典例1 如图，O是△ABC的内心，探究∠BOC与∠A之间的数量关系。 解：∵O是△ABC的内心， ∴OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线， ∴∠ABC = 2∠OBC，∠ACB = 2∠OCB， 又∵∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°， ∴∠A + 2∠OBC + 2∠OCB = 180°， 即∠OBC + ∠OCB = 90° - ∠A， ∵∠BOC + ∠OBC + ∠OCB=180°， ∴∠BOC = 90° + ∠A。 A B C O 典例分析 方法技巧 三角形的内心有关的角度结论： 已知：如图，O是△ABC的内心。 结论：∠BOC = 90° + ∠A。 A B C O 典例分析 典例2 如图，点I和O是△ABC的内心和外心，若∠AIB = 125°， 则∠AOB = _______。 解：∵I是△ABC的内心， ∴由结论可得：∠AIB = 90° + ∠C， 即125° = 90°+ ∠C，解得：∠C = 70°； 如图，画出△ABC的外接圆，连接OC， ∵O是△ABC的外心， = ， ∴∠AOB = 2∠C = 140°。 140° C A B O I 新知探究 知识要点 名称 外心 ( 三角形外接圆的圆心 ) 内心 ( 三角形内切圆的圆心 ) 作图 角度结论 ∠BOC = 2∠A ∠BOC = 90° + ∠A A B C O A B C O 新知探究 思 考 解：直线l与圆O相切，理由如下： ∵l⊥OD， ∴OD为圆心到直线的距离， ∵OD为半径， ∴圆心到直线的距离 = 半径， ∴直线l与⨀O相切。 O D l 如图，经过⨀O的半径OD的外端点D，作直线l⊥OD， 直线l与⨀O有怎样的位置关系？为什么？ 题型探究 三角形的内心有关的角度计算 题型一 【例1】如图，O是△ABC的内心，∠BOC = 100°，则∠A = _______。 解：常规解法： ∵O是△ABC的内心， ∴OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线， ∴∠ABC = 2∠OBC，∠ACB = 2∠OCB， 又∵∠BOC = 100°， ∴∠OBC + ∠OCB = 80°， ∴∠ABC + ∠ACB = 160°， ∴∠A = 20°。 A B C O 题型探究 三角形的内心有关的角度计算 题型一 【例1】如图，O是△ABC的内心，∠BOC = 100°，则∠A = _______。 解：结论法： ∵O是△ABC的内心， ∴∠BOC = 90° + ∠A， 即100° = 90° + ∠A，解得：∠A = 20°。 A B C O 20° 题型探究 求三角形内切圆的半径 题型二 【例2】若三角形的三边长分别为3、4、5，求三角形内切圆的半径。 解：法一： 如图，设AC = 3，AB = 4，BC = 5， ⨀O与△ABC分别切于点D、E、F， OD = OE = OF = r， 由勾股定理的逆定理可知： △ABC为直角三角形，∠BAC = 90°， ∴S△ABC = AB·AC = 6； 等面积法 A B C O D E F 又∵S△ABC = S△AOB + S△BOC + S△AOC = AB·OF + BC·OD + AC·OE = ( AB + BC + AC )·r = × 12·r， ∴6r = 6，解得：r = 1。 题型探究 求三角形的内切圆的半径 题型二 【例2】若三角形的三边长分别为3、4、5，求三角形内切圆的半径。 解：法二： ∵∠AFO = ∠AEO = 90° = ∠BAC，且OE = OF， ∴四边形AFOE是正方形，AF = AE = r， ∴BF = 4 - r，CE = 3 - r， 又∵△BOD ≌ △BOF ( HL )，△COD ≌ △COE ( HL )， ∴BD = BF = 4 - r，CD = CE = 3 - r， ∴BC = BD + CD = 4 - r + 3 - r = 7 - 2r = 5，解得：r = 1。 A B C O D E F 题型探究 求三角形的内切圆的半径 题型二 【例3】若三角形的面积为S，周长为C，求三角形内切圆的半径。 解：如图，设⨀O与△ABC分别切于点D、E、F， OD = OE = OF = r， ∵S = S△AOB + S△BOC + S△AOC = AB·OF + BC·OD + AC·OE = ( AB + BC + AC )·r = C·r， ∴r = 。 A B C O D E F 题型探究 求三角形的内切圆的半径 题型二 方法技巧 三角形的内切圆的半径有关的结论1： 已知：三角形的面积为S，周长为C。 结论：r = 。 题型探究 求三角形的内切圆的半径 题型二 【方法小试】若三角形的三边长分别为12、12、10，求三角形内切圆的半径。 解：如图，设AB = AC = 12，BC = 10， 过点A作AD⊥BC交于点D， 由题意可知：C△ABC=AB+AC+BC=34； ∵AB = AC，BC = 10，∴BD = BC = 5， 在Rt△ABD中，AD = = ， ∴S△ABC = BC·AD = ； 由结论1可得：r= = = 。 A B C D 题型探究 求三角形内切圆的半径 题型二 【例4】若直角三角形的的三边长分别为a、b、c，求三角形内切圆的半径。 解：如图，设⨀O与△ABC分别切于点D、E、F， OD = OE = OF = r，AB = c，BC = a，CA = b， ∵∠AFO = ∠AEO = 90° = ∠BAC，且OE = OF， ∴四边形AFOE是正方形，AF = AE = r， ∴BF = c - r，CE = b - r， 又∵△BDO ≌ △BFO ( HL )，△DCO ≌ △ECO ( HL )， ∴BD = BF = c - r，CD = CE = 3-r， ∴BC = BD + CD = c - r + b - r = b + c - 2r = a，∴r = ( b + c - a )。 A B C O D E F 题型探究 求三角形的内切圆的半径 题型二 方法技巧 三角形的内切圆的半径有关的结论2： 已知：直角三角形的的三边长分别为a、b、c， 其中，b、c为直角边长，a为斜边长。 结论：r = ( b + c - a )。 题型探究 求三角形的内切圆的半径 题型二 【方法小试】若三角形的三边长分别为5、12、13，求三角形内切圆的半径。 解：由勾股定理的逆定理可知： 三角形为直角三角形，5和12为直角边，13为斜边， 由结论2可得：r = ( b + c - a ) = × ( 5 + 12 - 13 ) = 2。 课堂小结 名称 外心 ( 三角形外接圆的圆心 ) 内心 ( 三角形内切圆的圆心 ) 作图 三角形三边垂直平分线的交点 三角形三条内角平分线的交点 性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形的外心到三角形三边 的距离相等 位置 外心不一定在三角形内部 内心一定在三角形内部 角度 结论 ∠BOC = 2∠A ∠BOC = 90°+∠A 三角形的内切圆与内心： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心。 这个三角形叫做圆的外切三角形。 感谢聆听! $$