第二十二章 二次函数（高效培优讲义）数学人教版九年级上册

第二十二章 二次函数 教学目标 1. 熟练掌握二次函数全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 教学重难点 1. 重点 （1）二次函数的图象与性质； （2）待定系数法求二次函数解析式； （3）二次函数的实际应用。 2. 难点 （1）二次函数的图象与性质； （2）二次函数的实际应用； （3）二次函数的综合。 考点01 二次函数的定义 1. 二次函数的定义： 一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。 二次函数解析式的表示方法 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)， 它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 考点02 二次函数的图象与性质 1. 二次函数的性质与图像： 形式 一般式： 顶点式 的符号 开口方向 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 对称轴 ，若同号，则对称轴在轴左边；若异号，则对称轴在轴右边。简称左同右异。 ，若，对称轴在轴右边；若，对称轴在轴左边， 最值 当时取得最小值 当时取得最大值 当时取得最小值 当时取得最大值 顶点坐标 增减性 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； ①若二次函数是一般形式时，则二次函数与轴的交点坐标为。若，则二次函数与轴交于正半轴；若，则二次函数与轴交于负半轴。 ②二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；二次函数开口向下时，离对称轴越远的函数值越小。 ③二次函数函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。 ④二次函数的一般式化为顶点式：利用一元二次方程的配方法。 考点03 二次函数的几何变换 1. 二次函数的平移： ①若函数进行左右平移，则在函数的自变量上进行加减。左加右减。 ②若函数进行上下平移，则在函数解析式常数项后面进行加减。上加下减。 (1)沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或） (2)沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 2. 一次函数的对称变换： ①若二次函数关于轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。 ②若二次函数关于轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。 ③若二次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。 考点04 待定系数法求函数解析式 1. 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤： （1） 设二次函数解析式； ①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为。 ②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为。 ③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为。 （2） 带点：将已知点带入函数解析式建立方程。 （3） 解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。 （4） 反带：将未知系数反带入函数解析式。 考点05 二次函数的图象与系数之间的关系 1. 二次函数的开口方向： 二次函数的开口方向由决定，，开口向上，，开口向下。 2. 二次函数的对称轴： 由二次函数的性质可知，二次函数的对称轴为。若同号，则＜0，二次函数的对称轴在轴的左边；若异号，则＞0，二次函数的对称轴在轴的右边。简称左同右异。 ①若二次函数的对称轴=1，则0。 ②若二次函数的对称轴=﹣1，则0。 3. 二次函数与轴的交点： 二次函数与轴的交点坐标为（0，c）。 拓展：在二次函数中： 是自变量为1的函数值，是自变量为﹣1的函数值。 是自变量为2的函数值，是自变量为﹣2的函数值。 是自变量为3的函数值，是自变量为﹣3的函数值。 考点06 二次函数与一元二次方程 1. 二次函数与一元二次方程： ①若二次函数与轴有两个交点⇔一元二次方程有两个不相等的实数根⇔。 ②若二次函数与轴只有一个交点⇔一元二次方程有两个相等的实数根⇔。 ③若二次函数与轴没有交点⇔一元二次方程没有实数根⇔。 ④若二次函数与直线相交，则一元二次方程为。交点情况与方程的解的情况同与轴相交时一样。 2. 二次函数与不等式（组） 若二次函数与一次函数存在交点，则不等式：的解集取二次函数图像在上方的部分所对应的自变量取值范围；的解集取二次函数图像在下方的部分所对应的自变量取值范围。 考点07 二次函数与实际问题 1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤： ①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系． ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． ③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式． ④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题． ⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论． ⑥答：写出答案。 2. 二次函数与图形面积问题： 解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转化为二次函数问题，然后利用二次函数的图像与性质解决问题。 3. 二次函数解决销售利润问题： 计算公式： 总利润＝单利润×数量 现单利＝原单利＋涨价部分（原单利－降价部分） 现数量＝原数量－×变化数量（原数量＋×变化数量） 4. 二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题： （1） 建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中。 （2） 从已知条件和图像中获取求二次函数表达式所需要的条件。 （3） 利用待定系数法求函数表达式。 （4） 运用求出的抛物线的图像和性质解决实际问题。 题型01 二次函数的定义 【典例1】下列函数中是二次函数的是（　　） A．y＝x3+2x﹣1 B．y＝4x﹣7 C．y＝x2+4 D．y＝（x+1）2﹣x2 【答案】C 【解答】解：A、y＝x3+2x﹣1，不是二次函数，故A不符合题意； B、y＝4x﹣7，是一次函数，故B不符合题意； C、y＝x2+4，是二次函数，故C符合题意； D、y＝（x+1）2﹣x2＝2x+1，是一次函数，故D不符合题意； 故选：C． 【变式1】若y＝（m﹣2）x2+3x+n（x为自变量）是二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m≠2 B．m＞2 C．m＜2 D．0＜m＜2 【答案】A 【解答】解：由题意得m﹣2≠0， 解得m≠2， 故选：A． 【变式2】若函数是二次函数，则m的值一定是（　　） A．3 B．0 C．3或0 D．1或2 【答案】B 【解答】解：∵此函数是二次函数， ∴， 解得m＝0． 故选：B． 题型02 二次函数的形式转换 【典例1】将二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：yx2﹣6x+21 （x2﹣12x+36）﹣18+21 （x﹣6）2+3． 故选：D． 【变式1】用配方法将二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则h+k的值是（　　） A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．4 【答案】D 【解答】解： ， ∴h＝﹣2，k＝6， ∴h+k＝﹣2+6＝4， 故选：D． 题型03 二次函数的性质与图象 【典例1】关于x的二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．图象与y轴的交点坐标为（0，2） C．图象的顶点坐标是（﹣1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解答】解：A：∵a＝﹣1，∴函数的开口向下，对称轴是直线x＝1，故此选项错误， B：当x＝0，y＝1，∴图象与y轴的交点坐标为：（0，1），故此选项错误， C：∵这个函数的顶点是（1，2），故此选项错误， ∴D：在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．故此选项正确， 故选：D． 【变式1】关于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，下列说法错误的是（　　） A．开口向下 B．与y轴交于正半轴 C．对称轴在y轴左侧 D．不经过第一象限 【答案】D 【解答】解：由条件可知图象开口向下，故选项A正确，不符合题意； 令x＝0，即y＝3， ∴图象交于y轴的正半轴，故选项B正确，不符合题意； ，所以对称轴在y轴的左侧，故选项C正确，不符合题意； 令﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，故与x轴的交点（1，0），（﹣3，0），又知道与y轴的交点坐标为（0，3），图象一定经过第一象限，选项D错误，符合题意； 故选：D． 【典例2】抛物线y＝（x﹣1）2+5顶点坐标是（　　） A．（1，5） B．（﹣1，﹣5） C．（1，﹣5） D．（﹣1，5） 【答案】A 【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+5， ∴抛物线顶点为（1，5）， 故选：A． 【变式1】二次函数y＝﹣x2+2x﹣5图象的顶点坐标为（　　） A．（﹣1，﹣4） B．（1，﹣4） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1） 【答案】B 【解答】解：解法1：利用公式法 y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式为（，），代入数值求得顶点坐标为（1，﹣4）； 解法2：利用配方法 y＝﹣x2+2x﹣5＝﹣（x2﹣2x+1）﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣4，故顶点的坐标是（1，﹣4）． 故选：B． 【典例3】二次函数y＝2（x+1）2﹣4的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由条件可知a＝2，顶点坐标为（﹣1，﹣4）， ∴二次函数图象是开口向上，以顶点坐标为（﹣1，﹣4）的抛物线， 故选：D． 【变式1】直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx﹣ab在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：选项A中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＜0，故选项A不符合题意； 选项B中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＞0，﹣ab＜0，故选项B符合题意； 选项C中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＞0，﹣ab＜0，而抛物线中﹣ab＞0，故选项C不符合题意； 选项D中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＜0，故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式2】已知函数y＝ax和y＝a（x+m）2+n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由解析式y＝a（x+m）2+n可知，a＞0，图象开口向上，其顶点坐标为（﹣m，n），又因为m＜0，n＜0；所以顶点坐标在第四象限，排除A、D； C中，由二次函数图象可知a＜0，而由一次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾，排除C；选项B正确． 故选：B． 【典例4】若A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）为二次函数y＝3（x+1）2的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2 【答案】A 【解答】解：∵抛物线解析式为y＝3（x+1）2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1， ∴当点离着对称轴越远，对应点的纵坐标越大， ∵点C离着对称轴最远，点A在对称轴上， ∴y1＜y2＜y3． 故选：A． 【变式1】点P1（﹣4，y1），P2（﹣3，y2），P3（1，y3）均在二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2 【答案】D 【解答】解：抛物线配方成顶点式为：y＝（x+2）2﹣4﹣m，则抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝﹣2， ∵P3（1，y3）关于对称轴的对称点为（﹣5，y3）， ∵﹣5＜﹣4＜﹣3，当x＜﹣2时，y随x增大而减小， ∴y3＞y1＞y2． 故选：D． 【典例5】二次函数y＝2（x+1）2﹣7的最小值是（　　） A．﹣7 B．1 C．﹣1 D．7 【答案】A 【解答】解：∵a＝2＞0，开口向上， ∴当x＝﹣1时，二次函数y＝2（x+1）2﹣7有最小值为﹣7， 故答案为：A． 【变式1】若函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点（﹣1，1）和（1，﹣7），则当﹣3≤x≤0时，函数的最大值与最小值之和是（　　） A．﹣8 B．﹣6 C．﹣3 D．0 【答案】B 【解答】解：由题意，∵函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点（﹣1，1）和（1，﹣7）， ∴． ∴． ∴函数为y＝﹣2x2﹣4x﹣1＝﹣2（x+1）2+1． ∴当﹣3≤x≤0时，当x＝﹣1时，y最大值为1；当x＝﹣3时，y取最小值为﹣7． ∴函数的最大值与最小值之和是：1+（﹣7）＝﹣6． 故选：B． 【变式2】二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（　　） A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3 【答案】A 【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c＝﹣（x+1）2+c2﹣2c+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3）， ∴在﹣3≤x≤2的范围内，x＝2时，y＝﹣4﹣4+c2﹣2c＝c2﹣2c﹣8＝（c﹣1）2﹣9为函数最小值， ∴（c﹣1）2﹣9＝﹣5， 解得c＝3或c＝﹣1， 故选：A． 【变式3】已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（　　） A．5 B．﹣5或 C．5或 D．﹣5或 【答案】C 【解答】解：二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ①m＞0，抛物线开口向上， x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣4， 解得：m＝5； ②m＜0，抛物线开口向下， ∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4， ∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣4， 解得：m； 故选：C． 题型04 二次函数的平移 【典例1】将二次函数y＝x2图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是（　　） A．y＝（x+3）2﹣5 B．y＝（x﹣3）2﹣5 C．y＝（x+3）2+5 D．y＝（x﹣3）2+5 【答案】A 【解答】解：将二次函数y＝x2图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是：y＝（x+3）2﹣5． 故选：A． 【变式1】将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+1）2+4 C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+2 【答案】C 【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，它的顶点坐标是（1，2）． 将其向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是（﹣1，3）， 所以新抛物线的解析式是：y＝（x+1）2+3． 故选：C． 【变式2】抛物线y1可以由抛物线y（　　）得到． A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向不平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】D 【解答】解：∵y1， ∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣1）， ∵抛物线y的顶点坐标是（0，0）， ∴平移的方法可以是：将抛物线y向左平移1个单位，再向下平移1个单位． 故选：D． 【变式3】在平面直角坐标系中，将抛物线（a、c为常数，且a＜0）沿x轴向右平移3个单位得到抛物线L2，点A（m，y1），B（m+2，y2）均在抛物线L2上，且位于抛物线L2对称轴的两侧，若y1＜y2，则m的取值范围为（　　） A．1＜m＜2 B．0＜m＜1 C．0＜m＜2 D．﹣1＜m＜1 【答案】B 【解答】解：∵抛物线（a、c为常数，且a＜0）， ∴抛物线L1开口向下，对称轴为直线x1， ∵将抛物线（a、c为常数，且a＜0）沿x轴向右平移3个单位得到抛物线L2， ∴抛物线L2开口向下，对称轴为直线x＝2， ∵点A（m，y1），B（m+2，y2）均在抛物线L2上，且位于抛物线L2对称轴的两侧， ∴m＜2，m+2＞2， ∴0＜m＜2， ∵y1＜y2， ∴2﹣m＞m+2﹣2， ∴m＜1， 综上，0＜m＜1． 故选：B． 题型05 待定系数法求二次函数解析式 【典例1】根据下列条件，求二次函数的解析式 （1）图象经过点（﹣1，3），（1，3），（2，6）； （2）抛物线顶点坐标为（﹣1，9），并且与y轴交于（0，﹣8）； （3）抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣2，0），与y轴交于点（0，12）； （4）图象顶点坐标是（2，﹣5），且过原点； （5）图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（﹣3，0）且函数有最小值﹣5； （6）当x＝2时，函数的最大值是1，且图象与x轴两个交点之间的距离为2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， 把（﹣1，3），（1，3），（2，6）代入解析式得， 3＝a﹣b+c①， 3＝a+b+c②， 6＝4a+2b+c③， 解由①②③组成的方程组得，a＝1，b＝0，c＝2． 所以二次函数的解析式为y＝x2+2． （2）设y＝a（x+1）2+9， 把（0，﹣8）代入解析式得，a＝﹣17， ∴y＝﹣17（x+1）2+9＝﹣17x2﹣34x﹣8， 所以二次函数的解析式为y＝﹣17x2﹣34x﹣8． （3）∵对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣2，0）， ∴与x轴的另一个交点为（4，0）， 设y＝a（x+2）（x﹣4）， 把（0，12）代入解析式得，a， ∴y（x+2）（x﹣4）x2+3x+12， 所以二次函数的解析式为yx2+3x+12． （4）设y＝a（x﹣2）2﹣5， 把（0，0）代入解析式得，a， ∴y（x﹣2）2﹣5x2﹣5x， 所以二次函数的解析式为yx2﹣5x． （5）设y＝a（x+1）（x+3）， 根据题意可得对称轴为直线x＝﹣2，又函数有最小值﹣5， ∴顶点坐标为（﹣2，﹣5），代入解析式得，a＝5． ∴y＝5（x+1）（x+3）＝5x2+20x+15， 所以二次函数的解析式为y＝5x2+20x+15． （6）∵当x＝2时，函数的最大值是1，即顶点坐标为（2，1）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2，而图象与x轴两个交点之间的距离为2，则交点坐标分别为（1，0），（3，0）， 设y＝a（x﹣1）（x﹣3）， 把（2，1）代入解析式得，a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x2+4x﹣3，· 所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3． 题型06 二次函数的图象与系数的关系 【典例1】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．abc＞0 B．（a+c）2＞b2 C．b＞﹣2a D．4a+2b+c＞0 【答案】D 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴x0， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，故选项A错误； ∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， x＝1时，y＝a+b+c＞0， ∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0， ∴（a+c）2﹣b2＜0， ∴（a+c）2＜b2，故选项B错误； ∵抛物线的对称轴为x1， ∴b＝﹣2a，故选项C错误． ∵抛物线与x轴的一个交点在（0，0）与（﹣1，0）之间， 而抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在（2，0）与（3，0）之间， ∴x＝2时，y＞0， ∴4a+2b+c＞0，故选项D正确； 故选：D． 【变式1】对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，现有结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③2a+b＝0，④ac﹣bc+c2＜0，其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①函数图象与y轴的交点在y轴负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，①错误； ②根据图象可得，函数图象与x轴有两个交点， ∴对应方程有两个根， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，②正确； ③由条件可知：开口向上，a＞0，对称轴为直线x＝1， ∴b＝﹣2a＜0， ∴2a+b＝0，③正确； ④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0， ∵c＜0， ∴c（a﹣b+c）＜0， 即ac﹣bc+c2＜0，④正确； 综上可得：②③④正确， 故选：C． 【变式2】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，给出下列命题：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＝0；④m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中正确的命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0， ∵对称轴在y轴的左侧， ∴0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②由对称轴可知：1， ∴b＝2a， ∴2a﹣b＝0，故②错误； ③∵抛物线过点（1，0）， ∴y＝a+b+c＝0， ∵b＝2a， ∴y＝3a+c＝0，故③正确； ④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c， ∴x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴am2+bm+c≥a﹣b+c， 即m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数），故④正确； ⑤抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＞0， 即b2﹣4ac＞0， ∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确； 故选：D． 题型07 二次函数与一元二次方程 【典例1】若抛物线y＝2x2﹣6x+3c与x轴只有一个公共点，则c＝ 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣6x+3c与x轴只有一个公共点， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×2×3c＝0， 解得c． 故答案为：． 【变式1】二次函数y＝ax2﹣3x+2的图象与x轴有两个不同交点，则a可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解答】解：根据题意，Δ＝（﹣3）2﹣4a×2＞0，且a≠0， 解得，且a≠0， 故选：B． 【变式2】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝﹣3 【答案】A 【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0）， 而抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0）， 即x＝﹣1或x＝3时，y＝0， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3． 故选：A． 【变式3】已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0，a，c为常数），如表给出了自变量x与函数值y的部分对应值． x 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 y＝ax2﹣2ax+c 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程ax2﹣2ax+c＝5的近似解是（　　） A．﹣0.55和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．﹣0.75和2.75 【答案】D 【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c， ∴对称轴为x1． ∴观察表格数据可以发现y＝5时，x在2.7和2.8之间， ∴根据二次函数的对称性，可知y＝5时，x在﹣0.8和﹣0.7之间， 故选：D． 题型08 二次函数与不等式 【典例1】如图是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，已知其对称轴为直线x＝2，则当（　　）时，函数值大于0． A．x＜﹣2或x＞6 B．x＞6 C．x＜﹣2 D．﹣2＜x＜6 【答案】A 【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（6，0）， 而抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）， ∴当x＜﹣2或x＞6时，y＞0． 故选：A． 【变式1】抛物线y＝﹣0.5x2+bx+3的部分图象如图所示，当y＞0时自变量x的取值范围为（　　） A．﹣1＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞1 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1 【答案】C 【解答】解：根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为：（﹣3，0）， 从图象看，当y＞0时自变量x的取值范围为：﹣3＜x＜1， 故选：C． 题型09 二次函数的实际应用 【典例1】如图，老王想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD（BC＞AB），并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料），设AB＝x m，BC＝y m． （1）求y与x的关系式，并写出x的取值范围； （2）请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出S的最大值． 【答案】（1）y＝72﹣2x（0＜x＜24）； （2）AB长18m，BC长36m矩形羊圈的面积S最大，S的最大值为648m2． 【解答】解：（1）y＝70+2﹣2x＝72﹣2x， 由题意得：， 解得：0＜x＜24， ∴y＝72﹣2x（0＜x＜24）； （2）S＝x（72﹣2x）＝﹣2x2+72x， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝18， ∵0＜x＜24， ∴当x＝18时，S有最大值，最大值为18×36＝648（m2）． 答：AB长18m，BC长36m矩形羊圈的面积S最大，S的最大值为648m2． 【变式1】每年的3月3日为全国爱耳日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，某公司新研发了一批耳背式助听器计划在该月销售，根据市场调查，每个助听器盈利60元时，每天可售出50个；单价每降低2元，每天可多售出5个．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每个助听的利润不低于40元，设每个助听器降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每个助听器降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元； （2）全国爱耳日当天，公司共获得销售利润3750元，请问这天售出了多少个助听器． 【答案】（1）y与x的函数关系式为yx2+100x+3000；每个助听器降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为4000元； （2）这天售出了75个助听器． 【解答】解：（1）根据题意得：y＝（60﹣x）（50x）x2+100x+3000（x﹣20）2+4000， ∵0， ∴当x＝20时，y有最大值，最大值为4000， 答：y与x的函数关系式为yx2+100x+3000；每个助听器降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为4000元； （2）根据题意得：x2+100x+3000＝3750， 解得：x1＝10，x2＝20， ∵每个助听的利润不低于40元， ∴x＝10， 此时50x＝50+25＝75， ∴这天售出了75个助听器． 【变式2】如图，某隧道的截面由抛物线和矩形OACB构成，矩形的长OA为10m，宽OB为3m，隧道顶端D到路面的距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到OB的水平距离为8m，求摄像头到地面的竖直距离． 【答案】（1）y＝﹣0.2（x﹣5）2+8；（2）6.2m． 【解答】解：（1）由题意，∵矩形的长OA为10m，隧道顶端D到路面的距离为8m， ∴抛物线的顶点为（5，8）． ∴可设抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣5）2+8． 又∵B（0，3）， ∴3＝a（0﹣5）2+8． ∴a＝﹣0.2． ∴抛物线的函数解析式为y＝﹣0.2（x﹣5）2+8． （2）由题意，∵抛物线为y＝﹣0.2（x﹣5）2+8，且摄像头到OB的水平距离为8m， ∴令x＝8，则y＝﹣0.2（8﹣5）2+8＝6.2． ∴摄像头到地面的竖直距离为6.2m． 【变式3】在投掷实心球的运动中，实心球出手时水平向前的速度为a（单位：m/s），垂直向上的速度为b（单位：m/s）．实心球在空中运动时，其水平距离x（单位：m）与时间t的关系为x＝at，高度y（单位：m）与时间t的关系为y＝﹣5t2+bt+2． （1）在小伟同学的一次投掷中，测得a＝6m/s，b＝3m/s； ①写出x与t的函数关系式为 　x＝6t　 ；y与t的函数关系式为 　y＝﹣5t2+3t+2　 ； 根据以上关系，可得y与x的函数关系式为 　yx2x+2　 （不用写出x的取值范围）； ②求出本次实心球的投掷距离． （2）研究表明：在投掷力度一定时，水平速度与垂直向上的速度越接近，则实心球的投掷距离越远．改进投掷方法后，小伟投出了8m的最佳成绩，若本次投掷中a＝b，求实心球在投掷过程中的最大高度． 【答案】（1）①x＝6t；y＝﹣5t2+3t+2；yx2x+2；②本次实心球的投掷距离为6米； （2）实心球在投掷过程中的最大高度为3.6米． 【解答】解：（1）①当a＝6，b＝3时，x＝6t，y＝﹣5t2+3t+2； 把t代入y＝﹣5t2+3t+2得：yx2x+2， 故答案为：x＝6t；y＝﹣5t2+3t+2；yx2x+2； ②令y＝0，则•x2x+2＝0， 解得x1＝6，x2（舍去）， 答：本次实心球的投掷距离为6米； （2）当a＝b时，x＝at，y＝﹣5t2+at+2，则yx2+x+2， 当x＝8时，64+8+2＝0， 解得a＝4或a＝﹣4（舍去）， ∴yx2+x+2， ∴y的最大值为3.6， 答：实心球在投掷过程中的最大高度为3.6米． 题型10 二次函数的综合 【典例1】如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（﹣4，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）将A（2，0），B（﹣4，0）代入得： ， 解得：， 则该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+8； （2） 如图1，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，设直线BC的解析式为： y＝kx+d， 将点B（﹣4，0）、C（0，8）代入得： ， 解得：， 故直线BC解析式为：y＝2x+8， 直线BC与抛物线对称轴 x＝﹣1的交点为Q，此时△QAC的周长最小． 解方程组得， 则点Q（﹣1，6）即为所求； （3） 如图2，过点P作PE⊥x轴于点E， P点（x，﹣x2﹣2x+8）（﹣4＜x＜0） ∵S△BPC＝S四边形BPCO﹣S△BOC＝S四边形BPCO﹣16 若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大 ∴S四边形BPCO＝S△BPE+S直角梯形PEOC BE•PEOE（PE+OC） （x+4）（﹣x2﹣2x+8）（﹣x）（﹣x2﹣2x+8+8） ＝﹣2（x+2）2+24， 当x＝﹣2时，S四边形BPCO最大值＝24， ∴S△BPC最大＝24﹣16＝8， 当x＝﹣2时，﹣x2﹣2x+8＝8， ∴点P的坐标为（﹣2，8）． 【变式1】如图，已知直线与x轴、y轴交于B，A两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，点P为线段OB上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线AB于点M，设点P的横坐标为t． （1）求抛物线解析式； （2）当MN＝2MP，求t的值； （3）若点N到直线AB的距离为d，求d的最大值； （4）在y轴上是否存在点Q，使△QBN是以BN为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）t＝1； （3）； （4）存在，或或． 【解答】解：（1）直线与x轴、y轴交于B，A两点，则点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0）． 由题意得：， 解得： ∴抛物线的解析式为； （2）∵点P（t，0），则点，， ∴MN＝﹣t2t+2t﹣2＝﹣t2+4t，， ∵MN＝2MP， ∴， 解得：t＝1或4（与点B重合，舍去）， ∴t＝1； （3）点N到直线AB的距离为d，求d的最大值即为求△ANB面积的最大值， 连接NA、NB，如下图所示， ∵点B的坐标为（4，0）、A（0，2）， ∴OB＝4，OA＝2， 由（2）得：MN＝﹣t2+4t， ∴8， ∴面积最大为8， ∵， ∴， 解得， 即d的最大值为； （4）存在点Q使△QBN是以BN为腰的等腰直角三角形，有三种可能：或或，理由如下： 当∠QNB＝90°时，NQ＝BN，点Q在y轴的正半轴，如下图所示， 过点N作 ND⊥y轴，过点B作BC⊥x轴交DN延长线于点C， ∴∠CDQ＝∠BCN＝90°，∠QND+∠BNC＝90°，∠QND+∠DQN＝90°， ND＝PO＝t， ∴∠BNC＝∠DQN， ∴△DQN≌△NCB（AAS）， ∴ND＝BC＝t，DQ＝NC＝BP＝4﹣t， ∴PN＝BC＝OD＝t， ∴N（t，t）， ∴， 解得：或（负值舍去）， ∴OQ＝OD﹣DQ＝t﹣（4﹣t）， ∴； 当∠QBN＝90°时，QB＝BN，点Q在y轴的负半轴，如图所示， ∵∠QOB＝∠BPN＝∠QBN＝90°， ∴∠QBO+∠OQB＝90°，∠QBO+∠OBN＝90°， ∴∠OQB＝∠OBN， ∴△OQB≌△PBN（AAS）， ∵OB＝4，BP＝4﹣t， ∴OQ＝BP＝4﹣t，NP＝OB＝4， ∴N（t，4）， ∴， 解得：， ∴或， ∵点Q在y轴的负半轴， ∴，； 综上可得：或或． 【变式2】抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数解析式和直线AC的解析式； （2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．若点P的横坐标为x，请用x的式子表示PE，并求PE的最大值； （3）如图2，点M是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1）∴y＝﹣x2﹣2x+3；y＝x+3；（2）PE；最大值为；（3）点M的坐标为（﹣1，﹣8）或（﹣1，0）或（﹣1，﹣2）． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），代入得： ， 解得：， ∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3， ∴y＝﹣x2﹣2x+3； 设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（﹣3，0），C（0，3），代入得： ， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝x+3； （2）设P（x，﹣x2﹣2x+3），则E（x，x+3）， ∴PE＝﹣x2﹣3x， 依据二次函数的性质可知，PE存在最大值，最大值为； （3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN＝AC，如图3，过点N作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H， 则∠AHG＝∠ACO＝∠NMG， 在△NMG和△ACO中， ， ∴△NMG≌△ACO（AAS）， ∴NG＝AO＝3， ∴点N到对称轴的距离为3， 又∵y＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1， 设点N（x，y），则NG＝|x+1|＝3， 解得：x＝2 或x＝﹣4， 当x＝2时，代入y＝﹣（x+1）2+4，得：y＝﹣5， 当 x＝﹣4时，代入y＝﹣（x+1）2+4，y＝﹣5， ∴点N坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）； ∴M（﹣1，﹣8）； ②当AC为平行四边形的对角线时，如图4，设AC的中点为T， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴T（，）， ∵点M在对称轴上， ∴点M的横坐标为﹣1， 设点N的横坐标为x，根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（）＝﹣3， ∴x＝﹣2， 此时 y＝3， ∴N（﹣2，3）， ∴M（﹣1，0）． 当点N是抛物线顶点时，即N（﹣1，4）时，M的坐标为（﹣1，﹣2），此时，也满足点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 综上所述，点M的坐标为（﹣1，﹣8）或（﹣1，0）或（﹣1﹣2）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数 教学目标 1. 熟练掌握二次函数全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 教学重难点 1. 重点 （1）二次函数的图象与性质； （2）待定系数法求二次函数解析式； （3）二次函数的实际应用。 2. 难点 （1）二次函数的图象与性质； （2）二次函数的实际应用； （3）二次函数的综合。 考点01 二次函数的定义 1. 二次函数的定义： 一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。 二次函数解析式的表示方法 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)， 它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 考点02 二次函数的图象与性质 1. 二次函数的性质与图像： 形式 一般式： 顶点式 的符号 开口方向 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 对称轴 ，若同号，则对称轴在轴左边；若异号，则对称轴在轴右边。简称左同右异。 ，若，对称轴在轴右边；若，对称轴在轴左边， 最值 当时取得最小值 当时取得最大值 当时取得最小值 当时取得最大值 顶点坐标 增减性 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； ①若二次函数是一般形式时，则二次函数与轴的交点坐标为。若，则二次函数与轴交于正半轴；若，则二次函数与轴交于负半轴。 ②二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；二次函数开口向下时，离对称轴越远的函数值越小。 ③二次函数函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。 ④二次函数的一般式化为顶点式：利用一元二次方程的配方法。 考点03 二次函数的几何变换 1. 二次函数的平移： ①若函数进行左右平移，则在函数的自变量上进行加减。左加右减。 ②若函数进行上下平移，则在函数解析式常数项后面进行加减。上加下减。 (1)沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或） (2)沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 2. 一次函数的对称变换： ①若二次函数关于轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。 ②若二次函数关于轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。 ③若二次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。 考点04 待定系数法求函数解析式 1. 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤： （1） 设二次函数解析式； ①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为。 ②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为。 ③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为。 （2） 带点：将已知点带入函数解析式建立方程。 （3） 解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。 （4） 反带：将未知系数反带入函数解析式。 考点05 二次函数的图象与系数之间的关系 1. 二次函数的开口方向： 二次函数的开口方向由决定，，开口向上，，开口向下。 2. 二次函数的对称轴： 由二次函数的性质可知，二次函数的对称轴为。若同号，则＜0，二次函数的对称轴在轴的左边；若异号，则＞0，二次函数的对称轴在轴的右边。简称左同右异。 ①若二次函数的对称轴=1，则0。 ②若二次函数的对称轴=﹣1，则0。 3. 二次函数与轴的交点： 二次函数与轴的交点坐标为（0，c）。 拓展：在二次函数中： 是自变量为1的函数值，是自变量为﹣1的函数值。 是自变量为2的函数值，是自变量为﹣2的函数值。 是自变量为3的函数值，是自变量为﹣3的函数值。 考点06 二次函数与一元二次方程 1. 二次函数与一元二次方程： ①若二次函数与轴有两个交点⇔一元二次方程有两个不相等的实数根⇔。 ②若二次函数与轴只有一个交点⇔一元二次方程有两个相等的实数根⇔。 ③若二次函数与轴没有交点⇔一元二次方程没有实数根⇔。 ④若二次函数与直线相交，则一元二次方程为。交点情况与方程的解的情况同与轴相交时一样。 2. 二次函数与不等式（组） 若二次函数与一次函数存在交点，则不等式：的解集取二次函数图像在上方的部分所对应的自变量取值范围；的解集取二次函数图像在下方的部分所对应的自变量取值范围。 考点07 二次函数与实际问题 1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤： ①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系． ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． ③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式． ④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题． ⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论． ⑥答：写出答案。 2. 二次函数与图形面积问题： 解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转化为二次函数问题，然后利用二次函数的图像与性质解决问题。 3. 二次函数解决销售利润问题： 计算公式： 总利润＝单利润×数量 现单利＝原单利＋涨价部分（原单利－降价部分） 现数量＝原数量－×变化数量（原数量＋×变化数量） 4. 二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题： （1） 建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中。 （2） 从已知条件和图像中获取求二次函数表达式所需要的条件。 （3） 利用待定系数法求函数表达式。 （4） 运用求出的抛物线的图像和性质解决实际问题。 题型01 二次函数的定义 【典例1】下列函数中是二次函数的是（　　） A．y＝x3+2x﹣1 B．y＝4x﹣7 C．y＝x2+4 D．y＝（x+1）2﹣x2 【变式1】若y＝（m﹣2）x2+3x+n（x为自变量）是二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m≠2 B．m＞2 C．m＜2 D．0＜m＜2 【变式2】若函数是二次函数，则m的值一定是（　　） A．3 B．0 C．3或0 D．1或2 题型02 二次函数的形式转换 【典例1】将二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A． B． C． D． 【变式1】用配方法将二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则h+k的值是（　　） A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．4 题型03 二次函数的性质与图象 【典例1】关于x的二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．图象与y轴的交点坐标为（0，2） C．图象的顶点坐标是（﹣1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小 【变式1】关于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，下列说法错误的是（　　） A．开口向下 B．与y轴交于正半轴 C．对称轴在y轴左侧 D．不经过第一象限 【典例2】抛物线y＝（x﹣1）2+5顶点坐标是（　　） A．（1，5） B．（﹣1，﹣5） C．（1，﹣5） D．（﹣1，5） 【变式1】二次函数y＝﹣x2+2x﹣5图象的顶点坐标为（　　） A．（﹣1，﹣4） B．（1，﹣4） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1） 【典例3】二次函数y＝2（x+1）2﹣4的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式1】直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx﹣ab在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知函数y＝ax和y＝a（x+m）2+n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【典例4】若A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）为二次函数y＝3（x+1）2的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2 【变式1】点P1（﹣4，y1），P2（﹣3，y2），P3（1，y3）均在二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2 【典例5】二次函数y＝2（x+1）2﹣7的最小值是（　　） A．﹣7 B．1 C．﹣1 D．7 【变式1】若函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点（﹣1，1）和（1，﹣7），则当﹣3≤x≤0时，函数的最大值与最小值之和是（　　） A．﹣8 B．﹣6 C．﹣3 D．0 【变式2】二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（　　） A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3 【变式3】已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（　　） A．5 B．﹣5或 C．5或 D．﹣5或 题型04 二次函数的平移 【典例1】将二次函数y＝x2图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是（　　） A．y＝（x+3）2﹣5 B．y＝（x﹣3）2﹣5 C．y＝（x+3）2+5 D．y＝（x﹣3）2+5 【变式1】将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+1）2+4 C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+2 【变式2】抛物线y1可以由抛物线y（　　）得到． A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向不平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 【变式3】在平面直角坐标系中，将抛物线（a、c为常数，且a＜0）沿x轴向右平移3个单位得到抛物线L2，点A（m，y1），B（m+2，y2）均在抛物线L2上，且位于抛物线L2对称轴的两侧，若y1＜y2，则m的取值范围为（　　） A．1＜m＜2 B．0＜m＜1 C．0＜m＜2 D．﹣1＜m＜1 题型05 待定系数法求二次函数解析式 【典例1】根据下列条件，求二次函数的解析式 （1）图象经过点（﹣1，3），（1，3），（2，6）； （2）抛物线顶点坐标为（﹣1，9），并且与y轴交于（0，﹣8）； （3）抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣2，0），与y轴交于点（0，12）； （4）图象顶点坐标是（2，﹣5），且过原点； （5）图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（﹣3，0）且函数有最小值﹣5； （6）当x＝2时，函数的最大值是1，且图象与x轴两个交点之间的距离为2． 题型06 二次函数的图象与系数的关系 【典例1】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．abc＞0 B．（a+c）2＞b2 C．b＞﹣2a D．4a+2b+c＞0 【变式1】对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，现有结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③2a+b＝0，④ac﹣bc+c2＜0，其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，给出下列命题：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＝0；④m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中正确的命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型07 二次函数与一元二次方程 【典例1】若抛物线y＝2x2﹣6x+3c与x轴只有一个公共点，则c＝ ． 【变式1】二次函数y＝ax2﹣3x+2的图象与x轴有两个不同交点，则a可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝﹣3 【变式3】已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0，a，c为常数），如表给出了自变量x与函数值y的部分对应值． x 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 y＝ax2﹣2ax+c 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程ax2﹣2ax+c＝5的近似解是（　　） A．﹣0.55和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．﹣0.75和2.75 题型08 二次函数与不等式 【典例1】如图是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，已知其对称轴为直线x＝2，则当（　　）时，函数值大于0． A．x＜﹣2或x＞6 B．x＞6 C．x＜﹣2 D．﹣2＜x＜6 【变式1】抛物线y＝﹣0.5x2+bx+3的部分图象如图所示，当y＞0时自变量x的取值范围为（　　） A．﹣1＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞1 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1 题型09 二次函数的实际应用 【典例1】如图，老王想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD（BC＞AB），并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料），设AB＝x m，BC＝y m． （1）求y与x的关系式，并写出x的取值范围； （2）请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出S的最大值． 【变式1】每年的3月3日为全国爱耳日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，某公司新研发了一批耳背式助听器计划在该月销售，根据市场调查，每个助听器盈利60元时，每天可售出50个；单价每降低2元，每天可多售出5个．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每个助听的利润不低于40元，设每个助听器降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每个助听器降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元； （2）全国爱耳日当天，公司共获得销售利润3750元，请问这天售出了多少个助听器． 【变式2】如图，某隧道的截面由抛物线和矩形OACB构成，矩形的长OA为10m，宽OB为3m，隧道顶端D到路面的距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到OB的水平距离为8m，求摄像头到地面的竖直距离． 【变式3】在投掷实心球的运动中，实心球出手时水平向前的速度为a（单位：m/s），垂直向上的速度为b（单位：m/s）．实心球在空中运动时，其水平距离x（单位：m）与时间t的关系为x＝at，高度y（单位：m）与时间t的关系为y＝﹣5t2+bt+2． （1）在小伟同学的一次投掷中，测得a＝6m/s，b＝3m/s； ①写出x与t的函数关系式为 　 　 ；y与t的函数关系式为 　 ； 根据以上关系，可得y与x的函数关系式为 　 　 （不用写出x的取值范围）； ②求出本次实心球的投掷距离． （2）研究表明：在投掷力度一定时，水平速度与垂直向上的速度越接近，则实心球的投掷距离越远．改进投掷方法后，小伟投出了8m的最佳成绩，若本次投掷中a＝b，求实心球在投掷过程中的最大高度． 题型10 二次函数的综合 【典例1】如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（﹣4，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【变式1】如图，已知直线与x轴、y轴交于B，A两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，点P为线段OB上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线AB于点M，设点P的横坐标为t． （1）求抛物线解析式； （2）当MN＝2MP，求t的值； （3）若点N到直线AB的距离为d，求d的最大值； （4）在y轴上是否存在点Q，使△QBN是以BN为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数解析式和直线AC的解析式； （2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．若点P的横坐标为x，请用x的式子表示PE，并求PE的最大值； （3）如图2，点M是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点M的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$