专题03 二次函数与几何图形（高效培优专项训练）数学人教版九年级上册

专题03 二次函数与几何图形 类型一：线段的最值问题 类型二：面积的最值问题 类型三：特殊三角形的存在性问题 类型四：平行四边形的存在性问题 类型五：角度问题 类型一：线段的最值问题 1．综合与探究 如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），且 OA＝OC，E是线段OA上的一个动点，过点E作直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点D、F． （1）求抛物线的解析式． （2）设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段DF有最大值，并写出最大值为多少； 2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4），对称轴为直线x． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接BC，若点M是线段BC上一动点（不与B，C重合），过点M作MN∥y轴，交抛物线于点N，连接ON，当MN的长度最大时，判断四边形OCMN的形状并说明理由； 3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线．已知点B（1，0），C（0，﹣2）． （1）求抛物线的解析式． （2）E是线段AC上的一个动点，过点E作ED⊥x轴，延长DE交抛物线于点F，求线段EF的最大值及此时点E的坐标． 4．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF； 5．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣2，0），B（5，0），点C在抛物线上，且直线AC与x轴形成的夹角为45°． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点P为直线AC上方抛物线上的动点，求点P到直线AC距离的最大值； 6．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴直线x＝2，已知经过B、C两点直线解析式为y＝﹣x+5． （1）求此抛物线的解析式； （2）如图1，点E为直线BC上方抛物线上的一点，过点E作EF⊥x轴于F，交BC于点M，作EG⊥BC于G．求△EGM周长的最大值，以及此时点E的坐标； 7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式； （2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值； 类型二：面积的最值问题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+8与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y＝x﹣t过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N． （1）求抛物线的解析式； （2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标； 2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，2），B（0，﹣2），其对称轴为直线，为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D． （1）求抛物线的解析式； （2）试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积； 3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，抛物线与y轴交于点C（0，﹣2），对称轴为直线，连接AC，过点B作BE∥AC交抛物线于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是线段AC下方抛物线上的一个动点，过点P作PF∥y轴交直线BE于点F，过点F作FD⊥AC交直线AC于点D，连接PD，求△FDP面积的最大值及此时点P的坐标； 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E．求△PAE面积S的最大值； 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，OA＝3，OC＝4，抛物线y＝ax2+bx+4经过点B，且与x轴交于点D（﹣1，0）和点E． （1）求抛物线的表达式； （2）若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少； 6．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值； 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是直线BC下方抛物线上的任意一点，连接PB，PC，以PB，PC为邻边作平行四边形CPBD，求四边形CPBD面积的最大值； 类型三：特殊三角形的存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线yx﹣1与抛物线yx2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣6，点P是抛物线上位于直线AB上方的一动点（不与点A，B重合）． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接PA，PB，在点P运动的过程中，是否存在某一位置，使得△PAB恰好是一个以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 2．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点． （1）求二次函数的表达式； （2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标； 3．如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线yx2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AC的解析式； （3）试探究：在抛物线上是否存在一点P，使△APC是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； 6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3），它的对称轴是直线x． （1）求抛物线的解析式； （2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标； （3）一动点P在线段BC上方（不与点B，C重合）的抛物线上运动，是否存在点P，使得△PBC的面积最大，若存在，求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；如不存在，请说明理由． 类型四：平行四边形的存在性问题 1．如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于点A、B，交y轴于点C，直线y＝x﹣5经过B、C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A的直线交直线BC于点M，当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； 2．如图，直线yx+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2x+c经过B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标； （3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，8）． （1）求该抛物线的解析式； （2）点D为抛物线的顶点，则△ACD的面积为　 　 ； （3）点P是坐标平面内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣2，0），且OA＝OC＝8，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A，B，C三点． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，E为AC直线上一动点，F为对称轴上一动点，当A，P，E，F四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求E点的坐标． 5．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式； （2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由． 6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是时，求△ABD的面积； （3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 类型五：角度问题 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长； 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C，且AB＝4，OB＝OC． （1）求抛物线解析式； （2）在直线x＝2上是否存在点M，使∠BMA＝2∠MAB？若存在，求M点坐标； 3．如图，在平面直角坐标系中，直线yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yx2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D为直线AC上方抛物线上一动点； ①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值； ②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数与几何图形 类型一：线段的最值问题 类型二：面积的最值问题 类型三：特殊三角形的存在性问题 类型四：平行四边形的存在性问题 类型五：角度问题 类型一：线段的最值问题 1．综合与探究 如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），且 OA＝OC，E是线段OA上的一个动点，过点E作直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点D、F． （1）求抛物线的解析式． （2）设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段DF有最大值，并写出最大值为多少； 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣4，0），且 OA＝OC， ∴C（0，4）， ∴， ∴， ∴y＝﹣x2﹣3x+4， （2）设直线AC的解析式为：y＝kx+n， ∴， ∴， ∴y＝x+4， ∴D（m，m+4）， ∵F（m，﹣m2﹣3m+4）， ∴DF＝（﹣m2﹣3m+4）﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4， ∴当m＝﹣2时，DF最大＝4； 2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4），对称轴为直线x． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接BC，若点M是线段BC上一动点（不与B，C重合），过点M作MN∥y轴，交抛物线于点N，连接ON，当MN的长度最大时，判断四边形OCMN的形状并说明理由； 【答案】（1）y＝x2﹣5x+4； （2）四边形OCMN是平行四边形，理由见解答部分； 【解答】解：（1）将点A（1，0）代入y＝ax2+bx+4， 得a+b+4＝0， ∵对称轴为直线x， ∴， ∴b＝﹣5a， ∴a﹣5a+4＝0， ∴a＝1， ∴b＝﹣5， ∴y＝x2﹣5x+4； （2）四边形OCMN是平行四边形，理由如下： 令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）， 令y＝0，则x2﹣5x+4＝0， ∴x＝4或x＝1， ∴A（1，0），B（4，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+d， ∴， ∴， ∴y＝﹣x+4， 设M（t，﹣t+4），则N（t，t2﹣5t+4）， ∴MN＝﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4， ∴当t＝2时，MN的长度最大， ∴M（2，2），N（2，﹣2）， ∴MN＝4，ON＝2， ∵CO＝4， ∴四边形OCMN是平行四边形； 3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线．已知点B（1，0），C（0，﹣2）． （1）求抛物线的解析式． （2）E是线段AC上的一个动点，过点E作ED⊥x轴，延长DE交抛物线于点F，求线段EF的最大值及此时点E的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵点C的坐标为（0，﹣2）， ∴c＝﹣2． ∵抛物线过点B（1，0），对称轴是直线 ， 则抛物线和x轴的另外一个交点为：（﹣4，0）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x+4）（x﹣1）＝a（x2+3x﹣4）， 则﹣4a＝﹣2，则a， ∴抛物线的解析式为 ； （2）∵抛物线对称轴为直线 ，点B的坐标为（1，0）， ∴点A的坐标为（﹣4，0）． 由点A、C的坐标得，直线AC的解析式为 ， 设点 ，则点 ， ∴EF＝（x﹣2）﹣（x2x﹣2）＝﹣2x﹣2﹣x2﹣3x+2（x+2）2+2， ∵， ∴当 x＝﹣2 时，线段EF的值最大，最大值为2， 此时点E的坐标为（﹣2，﹣1）； 4．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF； 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）点E的坐标为（，），S△ABF； 【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），C（4，0）， ∴AC＝5，OC＝4， ∵AC＝BC＝5， ∴B（4，5）， 把A（﹣1，0）和B（4，5）代入二次函数y＝x2+bx+c中得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图1，∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴，解得：， ∴直线AB的解析式为：y＝x+1， ∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3， ∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3）， ∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t）2， ∴当t时，EF的最大值为， ∴点E的坐标为（，）， ∴S△ABF． 5．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣2，0），B（5，0），点C在抛物线上，且直线AC与x轴形成的夹角为45°． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点P为直线AC上方抛物线上的动点，求点P到直线AC距离的最大值； 【答案】（1）y＝﹣x2+3x+10；（2）； 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣2，0），B（5，0）， ∴y＝﹣（x+2）（x﹣5）， ∴y＝﹣x2+3x+10， （2）作PH⊥AC于H，PD∥y轴交AC于D点，交x轴于E， ∵∠CAB＝45°， ∴∠PDH＝45°， ∴PD， 设P（m，﹣m2+3m+10）， 则E（m，0）， ∴AE＝m+2， ∴DE＝m+2， ∴PD＝﹣m2+3m+10﹣（m+2） ＝﹣m2+2m+8， 当m＝1时，PD最大为9， ∴PH的最大值为， 即P到AC的最大距离为， 6．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴直线x＝2，已知经过B、C两点直线解析式为y＝﹣x+5． （1）求此抛物线的解析式； （2）如图1，点E为直线BC上方抛物线上的一点，过点E作EF⊥x轴于F，交BC于点M，作EG⊥BC于G．求△EGM周长的最大值，以及此时点E的坐标； 【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；（2）△EGM周长的最大值为，点E的坐标为（，）； 【解答】解：（1）对于y＝﹣x+5，令y＝﹣x+5＝0，解得x＝5，令x＝0，则y＝5， 故点B、C的坐标分别为（5，0）、（0，5）； ∵点B的坐标为（5，0），函数的对称轴为x＝2， 故点A的坐标为（﹣1，0）， 将点A、B、C的坐标代入抛物线的表达式得：，解得， 故抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+5； （2）由点B、C的坐标知，OB＝CO，则∠CBO＝∠MBF＝45°＝∠FMB＝∠GME， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+5， 则GE＝MGEM， 设△EGM周长为C，则C＝GE+MG+EM＝（）EM， 设点E的坐标为（x，﹣x2+4x+5），则点M（x，﹣x+5）， 则C＝（）EM＝（）（﹣x2+4x+5+x﹣5）＝（）（﹣x2+5x）， ∵﹣（）＜0，故C有最大值， 当x时，C取得最大值为，此时点E的坐标为（，）； 7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式； （2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值； 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：， 故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1， 将点A、D的坐标代入抛物线表达式， 同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4； （2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°， 即：则PE＝PF， 设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1）， PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18， ∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值， 当x＝2时，其最大值为18； 类型二：面积的最值问题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+8与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y＝x﹣t过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N． （1）求抛物线的解析式； （2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标； 【答案】（1）y＝﹣x2+7x+8； （2）P点的坐标为（3，0）； 【解答】解：（1）令x＝0，得y＝8， ∴C（0，8）， ∵点C与点D关于x轴对称． ∴D（0，﹣8）， 把D（0，﹣8）代入y＝x﹣t，得， ∴﹣8＝﹣t， ∴t＝8， ∴y＝t﹣8， 令y＝0，得y＝x﹣8＝0， 解得x＝8， ∴B（8，0）， 把B点坐标代入y＝﹣x2+bx+8中，得 0＝﹣82+8b+8， 解得，b＝7， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+7x+8； （2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+7m+8），N（m，m﹣8）， 则MN＝﹣m2+7m+8﹣（m﹣8）＝﹣m2+6m+16， ∴S△MDB8（﹣m2+6m+16）＝﹣4m2+24m+64＝﹣4（m﹣3）2+100， ∵﹣4＜0， ∴当m＝3时，△MDB的面积最大， 此时，P点的坐标为（3，0）； 2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，2），B（0，﹣2），其对称轴为直线，为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D． （1）求抛物线的解析式； （2）试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积； 【答案】（1）yx2x﹣2； （2）最大值为，此时E（1，）； 【解答】解：（1）由题意得， 解得， ∴抛物线的解析式为yx2x﹣2； （2）过点E作EP∥y轴交AD于点P，连接AE． 设直线AD的解析式为y＝mx+n， 把A，C的坐标代入得， 解得， ∴直线AD的解析式为yx， 由，解得或， ∴D（5，﹣2）， 设E（x，x2x﹣2），其中﹣3＜x＜5，则P（x，x）， ∴PEx（x2x﹣2） x2x， ∴S△AED＝S△AEP+S△DEP （5+3）×（x2） （x﹣1）2， ∵0， ∴△ADE的面积有最大值，最大值为，此时E（1，）； 3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，抛物线与y轴交于点C（0，﹣2），对称轴为直线，连接AC，过点B作BE∥AC交抛物线于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是线段AC下方抛物线上的一个动点，过点P作PF∥y轴交直线BE于点F，过点F作FD⊥AC交直线AC于点D，连接PD，求△FDP面积的最大值及此时点P的坐标； 【答案】（1）yx2x﹣2； （2）m＝﹣2，点P（﹣2，﹣3）； 【解答】解：（1）∵点B的坐标为，抛物线的对称轴为直线，则点A（﹣4，0）， 设抛物线的表达式为：y＝a（x+4）（x）， 即y＝a（x2+3x﹣8）＝ax2+3ax﹣8a， 即﹣8a＝﹣2， 解得：a， 故抛物线的表达式为：yx2x﹣2； （2）由点A、B、C的坐标知，AB2＝50，AC2＝40，BC2＝10， 则△ABC为直角三角形且∠ACB为直角， ∵FD⊥AC，∠ACB为直角，则DF∥BC， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：yx﹣2①， 同理可得：直线BE的表达式为：yx，直线BC的表达式为：y＝2（x）， 设点F（m，m），则点P（m，m2m﹣2）， ∵DF∥BC， 则直线DF的表达式为：y＝2（x﹣m）m②， 联立①②得：x﹣22（x﹣m）m， 解得：x＝mxD， 则△FDP面积FP×（xF﹣xD） （mm2m+2）×（m﹣m） m2m， ∵0，故△FDP面积有最大值，最大值为， 此时，m＝﹣2，点P（﹣2，﹣3）； 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E．求△PAE面积S的最大值； 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点， ∴，得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）， 即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）； （2）设直线AD的函数解析式为y＝kx+m， ，得， ∴直线AD的函数解析式为y＝2x+6， ∵点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）， ∴设点P的坐标为（p，2p+6）， ∴S△PAE（p）2， ∵﹣3＜p＜﹣1， ∴当p时，S△PAE取得最大值，此时S△PAE， 即△PAE面积S的最大值是； 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，OA＝3，OC＝4，抛物线y＝ax2+bx+4经过点B，且与x轴交于点D（﹣1，0）和点E． （1）求抛物线的表达式； （2）若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少； 【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4； （2）当四边形OCPE的面积最大时，点P的坐标为（2，6），此时四边形OCPE的最大面积是16； 【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，且OA＝3，OC＝4， ∴点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，4）． 将B（3，4），D（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4， 得：，解得：， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+4． （2）当y＝0时，﹣x2+3x+4＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝4， ∴点E的坐标为（4，0）， ∴OE＝4． 过点P作PF⊥x轴于点F，如图1所示． 设点P的坐标为（m，﹣m2+3m+4）（0＜m＜4）， 则S四边形OCPE＝S梯形OCPF+S△APE （OC+PF）•OFFE•PF （4﹣m2+3m+4）•m（4﹣m）•（﹣m2+3m+4） ＝﹣2m2+8m+8 ＝﹣2（m﹣2）2+16， ∵﹣2＜0， ∴m＝2时，S四边形OCPE取得最大值，最大值＝16，此时点P的坐标为（2，6）， ∴当四边形OCPE的面积最大时，点P的坐标为（2，6），此时四边形OCPE的最大面积是16． 6．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值； 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）抛物线顶点坐标为C（3，6）， ∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+6， 将B（0，3）代入可得a， ∴yx2+2x+3； （2）连接PO， 由题意，BO＝3，AO＝3， 设P（n，n2+2n+3）， ∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO， S△BPOn， S△APOn2+3n， S△ABO， ∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABOn2n（n）2， ∴当n时，S△ABP的最大值为； 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是直线BC下方抛物线上的任意一点，连接PB，PC，以PB，PC为邻边作平行四边形CPBD，求四边形CPBD面积的最大值； 【答案】（1）yx2x﹣2． （2）． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入yx2+bx+c， 得，解得， ∴该抛物线的函数表达式为yx2x﹣2. （2） 如图1，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点G． ∵抛物线yx2x﹣2与y轴交于点C， ∴C（0，﹣2）． 设直线BC的函数表达式为y＝kx﹣2，则3k﹣2＝0，解得k， ∴yx﹣2． 设P（x，x2x﹣2）（0＜x＜3），则G（x，x﹣2）， ∴PGx﹣2﹣（x2x﹣2）x2+2x， ∵S△PBCPG•OHPG•BHPG•OBPG， ∴S平行四边形CPBD＝2S△PBC＝3PG， ∴S平行四边形CPBD＝3（x2+2x）＝﹣2x2+6x＝﹣2（x）2， ∴当x时，四边形CPBD的面积的值最大，最大值为． 类型三：特殊三角形的存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线yx﹣1与抛物线yx2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣6，点P是抛物线上位于直线AB上方的一动点（不与点A，B重合）． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接PA，PB，在点P运动的过程中，是否存在某一位置，使得△PAB恰好是一个以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在函数yx﹣1中， 当y＝0时，x＝2，∴A（2，0）， 当x＝﹣6时，y＝﹣4，∴B（﹣6，﹣4）， 将A（2，0），B（﹣6，﹣4）代入yx2+bx+c中， 得， 解得， ∴该抛物线得解析式为yx2x+4…①； （2）存在，理由： 设直线AB交y轴于点C，则点C（0，﹣1）， 如图所示，作线段AB的垂直平分线交x轴于点F、交线段AB于点E， 由A、B点坐标得：则点E（﹣2，﹣2），则AE2， 由，即：，则AF＝5， 故点F（﹣3，0）， 由点E（﹣2，﹣2）、F（﹣3，0）得直线EF的表达式为：y＝﹣2x﹣6…②， 联立①②并解得：x＝﹣4或6（舍去x＝6）， 故点P 的坐标为（﹣4，2）， PE2， ∵AB＝4， ∴PE＝BE＝AE， ∴△PAB是等腰直角三角形，符合题意． 2．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点． （1）求二次函数的表达式； （2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标； 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵二次函数的图象顶点在原点， 故设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式并解得：a， 故二次函数表达式为：yx2； （2）将y＝1代入yx2并解得：x＝±2，故点M、N的坐标分别为（﹣2，1）、（2，1）， 则MN＝4， ∵△PMN是等边三角形， ∴点P在y轴上且PM＝4， ∴PF＝2； ∵点F（0，1）， ∴点P的坐标为（0，1+2）或（0，1﹣2）； 3．如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）， ∴，得， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形为直角三角形， 理由：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，点B（3，0），点C（0，3）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴点A的坐标为（﹣1，0）， 设点Q的坐标为（1，t），则 AC2＝OC2+OA2＝32+12＝10， AQ2＝22+t2＝4+t2， CQ2＝12+（3﹣t）2＝t2﹣6t+10， 当AC为斜边时， 10＝4+t2+t2﹣6t+10， 解得，t1＝1或t2＝2， ∴点Q的坐标为（1，1）或（1，2）， 当AQ为斜边时， 4+t2＝10+t2﹣6t+10， 解得，t， ∴点Q的坐标为（1，）， 当CQ时斜边时， t2﹣6t+10＝4+t2+10， 解得，t， ∴点Q的坐标为（1，）， 由上可得，当点Q的坐标是（1，1）、（1，2）、（1，）或（1，）时，使得以A、C、Q为顶点的三角形为直角三角形． 4．如图，抛物线yx2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入yx2+mx+n得，解得， ∴抛物线解析式为yx2x+2； （2）存在． 抛物线的对称轴为直线x， 则D（，0）， ∴CD， 如图1，当CP＝CD时，则P1（，4）； 当DP＝DC时，则P2（，），P3（，）， 综上所述，满足条件的P点坐标为（，4）或（，）或（，）； （3）当y＝0时，x2x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，则B（4，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 把B（4，0），C（0，2）代入得，解得， ∴直线BC的解析式为yx+2， 设E（x，x+2）（0≤x≤4），则F（x，x2x+2）， ∴FEx2x+2﹣（x+2）x2+2x， ∵S△BCF＝S△BEF+S△CEF4×EF＝2（x2+2x）＝﹣x2+4x， 而S△BCD2×（4）， ∴S四边形CDBF＝S△BCF+S△BCD ＝﹣x2+4x（0≤x≤4）， ＝﹣（x﹣2）2 当x＝2时，S四边形CDBF有最大值，最大值为，此时E点坐标为（2，1）． 5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AC的解析式； （3）试探究：在抛物线上是否存在一点P，使△APC是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3， ∴C（0，3）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣1，0），C（0，3）代入，得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝3x+3； （3）在抛物线上存在点P，使△APC是以AC为直角边的直角三角形． ①当∠PAC＝90°，如图1，设直线PA交y轴于E， ∵∠PAC＝∠AOC＝∠AOE＝90°， ∴∠EAO+∠CAO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°， ∴∠EAO＝∠ACO， ∴△EAO∽△ACO， ∴，即， ∴OE， ∴E（0，）， 设直线AP1的解析式为y＝k1x+b1，把A（﹣1，0），E（0，）代入，得： ， 解得：， ∴直线AP1的解析式为yx， 联立方程组，得：， 解得：，， ∴P1（，）； ②当∠P2CA＝90°时， ∵∠P1AC+∠P2CA＝180°， ∴P2C∥P1A， ∴设直线P2C的解析式为yx+d，把C（0，3）代入，得：d＝3， ∴直线P2C的解析式为yx+3， 联立方程组，得：， 解得：，， ∴P2（，）； 综上所述，符合条件的点P的坐标为：P1（，），P2（，）； 6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3），它的对称轴是直线x． （1）求抛物线的解析式； （2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标； （3）一动点P在线段BC上方（不与点B，C重合）的抛物线上运动，是否存在点P，使得△PBC的面积最大，若存在，求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；如不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵对称轴是直线x，点A（2，0） ∴B（﹣3，0） ∴设抛物线解析式y＝a（x﹣2）（x+3）且过C（0，3） ∴a ∴抛物线解析式y（x﹣2）（x+3）x2x+3 （2）∵B（﹣3，0），C（0，3） ∴BC＝3 若BC＝BM＝3 ∴M（﹣3﹣3，0）（不合题意舍去）或M（﹣3+3，0） 若BC＝CM＝3 ∴M（3，0） 若BM＝CM ∴在Rt△CMA中，CM2＝（3﹣CM）2+CO2 ∴CM＝3 ∴M（0，0） ∴M点坐标为（0，0），（﹣3+3，0） （3）∵B（﹣3，0），C（0，3） ∴直线BC解析式y＝x+3 如图作PD⊥x轴交直线BC于D， 设P（a，a2a+3），则D（a，a+3） ∴PDa2a+3﹣a﹣3a2a ∴S△PCB（a2a）×3a2a ∵0 ∴当x时，S△PBC 最大值为 ∴P（，） 类型四：平行四边形的存在性问题 1．如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于点A、B，交y轴于点C，直线y＝x﹣5经过B、C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A的直线交直线BC于点M，当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； 【答案】（1）y＝﹣x2+6x﹣5；（2）P点的横坐标为4或或． 【解答】解：（1）对于y＝x﹣5①， 当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣5，则C（0，﹣5）， 当y＝0时，x﹣5＝0，解得x＝5，则B（5，0）， 把B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得，解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣5； （2）解方程﹣x2+6x﹣5＝0得x1＝1，x2＝5，则A（1，0）， ∵B（5，0），C（0，﹣5）， ∴△OCB为等腰直角三角形， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵AM⊥BC， ∴△AMB为等腰直角三角形， ∴AMAB4＝2， ∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ， ∴PQ＝AM＝2，PQ⊥BC， 作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ＝45°， ∴PDPQ24， 设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5）， 当P点在直线BC上方时， PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝﹣m2+5m＝4，解得m1＝1（舍去），m2＝4， 当P点在直线BC下方时， PD＝m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）＝m2﹣5m＝4，解得m1，m2， 综上所述，P点的横坐标为4或或； 2．如图，直线yx+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2x+c经过B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标； （3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4， ∴B（0，4）， 当y＝0时，x+4＝0， x＝6， ∴C（6，0）， 把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y＝ax2x+c中得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：yx2x+4； （3） 如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G， 设E（m，m2m+4），则G（m，m+4）， ∴EG＝（m2m+4）﹣（m+4）4m， ∴S△BECEG•OC6（4m）＝﹣2（m﹣3）2+18， ∵﹣2＜0， ∴S有最大值，此时E（3，8）； （3）yx2x+4（x2﹣5x）+4（x）2； 对称轴是：x， ∴A（﹣1，0） ∵点Q是抛物线对称轴上的动点， ∴Q的横坐标为， 在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形； ①如图2，以AM为边时，由（2），可得点M的横坐标是3， ∵点M在直线yx+4上， ∴点M的坐标是（3，2）， 又∵点A的坐标是（﹣1，0），点Q的横坐标为， 根据M到Q的平移规律：可知：P的横坐标为， ∴P（，）； ②如图3，以AM为边时，四边形AMPQ是平行四边形， 由（2），可得点M的横坐标是3， ∵A（﹣1，0），且Q的横坐标为， ∴P的横坐标为， ∴P（，）； ③以AM为对角线时，如图4， ∵M到Q的平移规律可得P到A的平移规律， ∴点P的坐标是（，）， 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形， 点P的坐标是（，）或（，）或（，）． 3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，8）． （1）求该抛物线的解析式； （2）点D为抛物线的顶点，则△ACD的面积为　6　 ； （3）点P是坐标平面内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）c＝8，则y＝﹣x2+bx+8， 将点B的坐标代入上式并解得：b＝﹣2， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+8； （2）如图，过点D作DH∥y轴交AC于点H， 由点A、C坐标可得，直线AC的表达式为：y＝2x+8， 抛物线与x轴交于A，则点A（﹣4，0），点的D（﹣1，9），则点H（﹣1，6），则DH＝3， △ACD的面积DH×OA3×4＝6， 故答案为6； （3）点A、C的坐标分别为：（﹣4，0）、（0，8），设点P（m，n），而点B（2，0）； ①当AC是边时， 点A向右平移4个单位向上平移8个单位得到C，同样点P（B）向右平移4个单位向上平移8个单位得到点B（P）， 故2±4＝m，0±8＝n，解得：m＝6或﹣2，n＝8或﹣8， 故点P（6，8）或（﹣2，﹣8）； ②当AC是对角线时， 由中点公式得：m+2＝﹣4，n＝8， 解得：m＝﹣6，n＝8，故点P（﹣6，8）； 综上，点P（6，8）或（﹣2，﹣8）或（﹣6，8）． 4．如图，在直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣2，0），且OA＝OC＝8，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A，B，C三点． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，E为AC直线上一动点，F为对称轴上一动点，当A，P，E，F四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求E点的坐标． 【答案】（1）yx2﹣3x﹣8； （2）PD最大值为4，此时点P（4，﹣12）； （3）点E的坐标为：（9，1）或（﹣1，﹣9）或（7，﹣1）． 【解答】解：（1）∵B的坐标为（﹣2，0）， ∴OB＝2， ∴OA＝OC＝8， 故点A、C的坐标分别为（8，0）、（0，﹣8）； 而抛物线的表达式可写为：y＝a（x+2）（x﹣8）＝a（x2﹣6x﹣16）， 把C（0，﹣8）代入得：﹣16a＝﹣8， 解得：a， 故抛物线的表达式为：yx2﹣3x﹣8； （2）∵直线CA过点C， ∴设其函数表达式为：y＝kx﹣8， 将点A坐标代入上式并解得：k＝1， 故直线CA的表达式为：y＝x﹣8， 过点P作y轴的平行线交AC于点H， ∵OA＝OC＝8， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°， ∵PH∥y轴， ∴∠PHD＝∠OCA＝45°， 设点P（m，m2﹣3m﹣8），则点H（m，m﹣8）， ∴PD＝HPsin∠PHD（m﹣8m2+3m+8）（m﹣4）2+44， ∴当m＝4时，其最大值为4，此时点P（4，﹣12）； （3）设点E（t，t﹣8），点F（3，n）， 当AP是对角线时，由中点坐标公式得：4+8＝t+3， 解得：t＝9， 则点E（9，1）； 当AE或AF是对角线时，由中点坐标公式得：t+8＝4+3或8+3＝t+4， 解得：t＝﹣1或7， 则点E（﹣1，﹣9）或（7，﹣1）； 综上，点E的坐标为：（9，1）或（﹣1，﹣9）或（7，﹣1）． 5．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式； （2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3），可得：， 解得：， 故抛物线为y＝﹣x2+2x+3， 设直线AC解析式为y＝kx+n，将点A（﹣1，0）、C（2，3）代入得：， 解得：， 故直线AC为y＝x+1． （2）作N点关于直线x＝3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4）， 可求出直线DN′的函数关系式为yx， 当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小， 则m3． （3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2） 点E在直线AC上，设E（x，x+1）， ①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）， ∵F在抛物线上， ∴x+3＝﹣x2+2x+3 解得，x＝0或x＝1（舍去）， 则点E的坐标为：（0，1）． ②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1）， ∵点F在抛物线上， ∴x﹣1＝﹣x2+2x+3， 解得x或x， 即点E的坐标为：（，）或（，） 综上可得满足条件的点E为E（0，1）或（，）或（，）． 6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是时，求△ABD的面积； （3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵OA＝2，OB＝4， ∴A（﹣2，0），B（4，0）， 把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣6中得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：yx2x﹣6； （2）如图1，过D作DG⊥x轴于G，交BC于H， 当x＝0时，y＝﹣6， ∴C（0，﹣6）， 设BC的解析式为：y＝kx+n， 则，解得：， ∴BC的解析式为：yx﹣6， 设D（x，x2x﹣6），则H（x，x﹣6）， ∴DHx﹣6﹣（x2x﹣6）， ∵△BCD的面积是， ∴， ∴， 解得：x＝1或3， ∵点D在直线l右侧的抛物线上， ∴D（3，）， ∴△ABD的面积； （3）分两种情况： ①如图2，N在x轴的上方时，四边形MNBD是平行四边形， ∵B（4，0），D（3，），且M在x轴上， ∴N的纵坐标为， 当y时，即x2x﹣6， 解得：x＝1或1， ∴N（1，）或（1，）； ②如图3，点N在x轴的下方时，四边形BDNM是平行四边形，此时M与O重合， ∴N（﹣1，）； 综上，点N的坐标为：（1，）或（1，）或（﹣1，）． 类型五：角度问题 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长； 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵直线y＝kx+3交y轴于B， 令x＝0，得到y＝3， ∴B（0，3） 由题意抛物线经过B（0，3），C（1，0）， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，解得x＝﹣3或1， ∴A（﹣3，0）， ∵B（0，3），C（1，0）， ∴OA＝OB＝3，OC＝1，AB＝3， ∵∠APO＝∠ACB，∠PAO＝∠CAB， ∴△PAO∽△CAB， ∴， ∴， ∴AP＝2． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C，且AB＝4，OB＝OC． （1）求抛物线解析式； （2）在直线x＝2上是否存在点M，使∠BMA＝2∠MAB？若存在，求M点坐标； 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C， ∴对称轴为x＝1， ∵AB＝4，OB＝OC， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）， 设抛物线为y＝a（x+1）（x﹣3）， ∴﹣3＝﹣3a，a＝1， ∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2））存在， 如图2，作对称轴x＝1，交直线AM于点H， 设直线AM的解析式为：y＝kx+k， 则H（1，2k），M（2，3k）， ∵AH＝BH， ∴∠MAB＝∠HBA， ∴∠BHM＝2∠MAB， ∵∠BMA＝2∠MAB， ∴∠BHM＝∠BMA， ∴BM＝BH， ∴12+（3k）2＝22+（2k）2，解得k， ∴M（2，）或（2，）． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yx2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D为直线AC上方抛物线上一动点； ①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值； ②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意得A（﹣4，0），C（0，2）， ∵抛物线yx2+bx+c经过A．C两点， ∴， ∴b，c＝2， ∴yx2x+2； （2） ①如图1，令y＝0， ∴x2x+2＝0， ∴x1＝﹣4，x2＝1， ∴B（1，0）， 过D作DM⊥x轴交AC于M，过B作BN⊥x轴交AC于N， ∴DM∥BN， ∴△DME∽△BNE， ∴S1：S2＝DE：BE＝DM：BN， 设D（a，a2a+2）， ∴M（a，a+2）， ∵B（1.0）， ∴N（1，）， ∴S1：S2＝DM：BN＝（a2﹣2a）：（a+2）2； ∴当a＝﹣2时，S1：S2的最大值是； ②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2）， ∴AC＝2，BC，AB＝5， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形， 取AB的中点P， ∴P（，0）， ∴PA＝PC＝PB， ∴∠CPO＝2∠BAC， ∴tan∠CPO＝tan（2∠BAC）， 过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G， 情况一：如图2， ∴∠DCF＝2∠BAC＝∠DGC+∠CDG， ∴∠CDG＝∠BAC， ∴tan∠CDG＝tan∠BAC， 即RC：DR， 令D（a，a2a+2）， ∴DR＝﹣a，RCa2a， ∴（a2a）：（﹣a）＝1：2， ∴a1＝0（舍去），a2＝﹣2， ∴xD＝﹣2， 情况二：∴∠FDC＝2∠BAC， ∴tan∠FDC， 设FC＝4k， ∴DF＝3k，DC＝5k， ∵tan∠DGC＝3k：FG＝1：2， ∴FG＝6k， ∴CG＝2k，DG＝3k ∴RCk，RGk， DR＝DG﹣RGk， ∴DR：RC＝（k）：（k）＝（﹣a）：（a2a）， ∴a1＝0（舍去），a2， 综上所述：点D的横坐标为﹣2或． 30．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3）， 将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：， 故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3， 令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A（﹣1，0）； （2）如图1中，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED为最小， 函数顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3）， 将C′、D的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线C′D的表达式为：y＝7x﹣3， 当y＝0时，x， 故点E（，0）， 则EC+ED的最小值为DC′； （3）①当点P在x轴上方时，如图2中， ∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB， 过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝m， 则PB＝PAm， 由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2， 16＝m2+（m﹣m）2，解得：m2＝8+4， 则PB2＝2m2＝16+8 则yP2+2； ②当点P在x轴下方时， 则yP＝﹣（2）； 故点P的坐标为（1，2）或（1，﹣2﹣2）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$