2.2.4 均值不等式及其应用（题型专练）数学人教B版2019必修第一册

2.2.4 均值不等式及其应用 题型一 对均值不等式的理解 1．（23-24高一上·全国·课后作业）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）两个不等式与成立的条件是相同的.( ) （2）当时，.( ) （3）当时，.( ) （4）函数的最小值是2.( ) 【答案】 错误 正确 正确 错误 【分析】根据基本不等式的概念和定义一一判定即可. 【详解】对于（1），不等式成立的条件是；不等式成立的条件是，错误； 对于（2），是基本不等式的变形公式，正确； 对于（3），是基本不等式的变形公式，正确； 对于（4），当时，是负数，错误； 故答案为：（1）错误  （2）正确  （3）正确  （4）错误. 2．（24-25高一上·全国·课堂例题）如图，是圆的直径，点C是上一点，．过点C作垂直于的弦，连接．你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 【答案】答案见解析 【分析】利用相似三角形可得，从而由圆的半径不小于圆的半弦可得基本不等式，这也是基本不等式成立的一个充分的依据. 【详解】由图可知，， 因而， 由CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为． 当且仅当点C与圆心重合，即当时，上述不等式等号成立，基本不等式的几何解释：圆的半径不小于圆的半弦． 3．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分必要条件的定义判断． 【详解】成立时，可以有，此时不成立，不充分， 成立时，，因此有，必定成立，因此是必要的， 所以是必要不充分条件， 故选：B． 4．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【分析】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【详解】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 5．（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得． 【详解】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 题型二 直接利用均值不等式求最值 6．（24-25高二下·广东深圳·期末）若正实数，满足，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求最大值. 【详解】因为正实数，满足， 可由基本不等式可得：， 当且仅当取等号， 所以的最大值是， 故答案为： 7．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求得的最大值. 【详解】因为，， 根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 故选：A. 8．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知，则有（   ） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值 D．最小值 【答案】C 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】已知，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以已知，则有最大值. 故选：C. 9．（2025高二上·云南·学业考试）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】由基本不等式可得答案. 【详解】，当且仅当，即时取等号. 故选：C 10．（2025·上海金山·三模）若，，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】由基本不等式计算即可求解. 【详解】因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最小值为2. 故答案为：2 题型三 配凑法求最值 11．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】由题意有，利用均值不等式即可求解. 【详解】由，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 12．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知，则函数的最小值为 ． 【答案】7 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，则， 当且仅当，即时取到等号， 故最小值为7， 故答案为：7 13．（2024高三·全国·专题练习）已知，求的最大值； 【答案】1 【分析】将变形为，然后利用基本不等式求解最大值即可. 【详解】∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，上式等号成立， 故当时，． 14．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求的最大值； 【答案】 【分析】利用基本不等式,结合构造和为定值来求积的最大值，并注意说明取等号条件. 【详解】∵，∴， ∴， ∴当且仅当， 即时，． 题型四 二次与二次（或一次)的商式的最值 15．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 16．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将变形为，换元，令，构造均值不等式求解即可. 【详解】，令，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 17．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 18．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】将目标式化为，结合及二次函数性质求最大值即可. 【详解】由，则， 而，故当时，目标式最小值为16. 故答案为：16 题型五 “1”的代换求最值 19．（24-25高二下·河北邢台·期末）若，且，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】化简式子，然后利用基本不等式计算. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 则，当且仅当，即时，等号成立， 则，即的最小值为3． 故答案为：3 20．（24-25高二下·福建漳州·期末）若，则的最小值为（   ） A．24 B．26 C．32 D．92 【答案】C 【分析】利用基本不等式‘1’的代换求解即可. 【详解】因为， 所以， 由基本不等式可得，即， 当且仅当时取等，此时解得，， 则的最小值为32，故C正确. 故选：C 21．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用代换1法，结合基本不等式即可求最小值. 【详解】由，可得， 又因为，，所以， 当且仅当时取等号， 故选：A. 22．（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】由基本不等式即可得. 【详解】，当且仅当即时取等号， 所以的最小值为3. 故答案为：3. 23．（24-25高一上·福建厦门·期末）若，，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式“1”的用法计算即可求解. 【详解】由题意知，， ， 当且仅当即时，等号成立， 所以. 故选：A 24．（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知0＜x＜1，则的最小值是（   ） A．16 B．25 C．27 D．34 【答案】B 【分析】利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】由，得 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值25． 故选：B. 25．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】，，由得， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：A 题型六 消元法求最值 26．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】消元得到，然后分离常数、配凑结合基本不等式即可求解. 【详解】显然（否则矛盾），从而， 所以， 当且仅当等号成立， 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 27．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知，若，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】通过等式代入消元，构造“”的型式后用基本不等式得出结果. 【详解】∵ ∴， ∵，∴ 则 当且仅当时取“=” 故答案为：2 28．（2024·安徽安庆·三模）若正数x，y满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】变形得到，故，利用基本不等式求出最小值. 【详解】正数x，y满足，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 题型七 利用均值不等式解决实际问题 29．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）设计用的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设长方体车厢（无盖）的长为，高为，，先由题意得，接着结合基本不等式得，解该不等式求出即可求解车厢的最大容积. 【详解】设长方体车厢（无盖）的长为，高为，， 则由题得，即， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 由，解，得，即， 因为车厢的容积为且，仅当时等号成立，所以车厢的最大容积是. 故选：D. 30．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【答案】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 31．（22-23高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      【答案】长为m，宽为m时总造价最低． 【分析】设处理池的长和宽分别为，，高为，表示出总造价的关系式，再利用基本不等式即可解出． 【详解】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，， ， 当且仅当，又，即，时取到等号， 故长为m，宽为m时总造价最低． 题型一 条件等式求最值 1．（24-25高一上·上海·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由题意，根据基本不等式的应用可得，结合计算即可求解. 【详解】由，得，当且仅当时等号成立， 所以， 即的最小值为. 故答案为： 2．（22-23高三上·浙江·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】用基本不等式来解决. 【详解】因为，所议，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为4. 故答案为：4． 3．（2022·天津南开·模拟预测）若实数，满足，且，则的最大值为 . 【答案】/0.125 【分析】令，对不等式变形得到，利用基本不等式进行求解. 【详解】令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为 故答案为： 4．（24-25高一上·福建福州·期中）已知，且，的最小值为 . 【答案】35 【分析】由，得到，再利用“1”的代换，结合基本不等式求解. 【详解】因为，且，所以， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以最小值为35. 故答案为：35 5．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】由题巧设，将题中复杂的二元问题巧妙进行了换元和消元成一元问题，即将所求因式变形为，再使用基本不等式即可求解. 【详解】令， 则 ， 所以， 因此当且仅当，即时，取得最小值为4. 故答案为：4. 题型二 利用均值不等式证明不等式 6．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，求证：； （2）已知正数x、y满足，求证：. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【分析】（1）运用作差比较法作差通分整理后即可证明； （2）利用常值代换法和基本不等式即可求得的最小值，从而得证. 【详解】（1）由， 因，则，，故， 即得，故得证； （2）因正数x、y满足， 则 ， 当且仅当时等号成立. 由解得：， 即当，时等号成立，故得证. 7．（23-24高一上·四川成都·期中）已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）应用作差法证明不等式； （2）应用已知条件，常值代换根据基本不等式证明. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以 ，   当且仅当，即，时等号成立． 8．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【详解】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 9．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再由基本不等式证明即可； （2）利用代入得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立． （2）， ， 当且仅当时，即时等号成立． 题型三 均值不等式的恒成立问题 10．（24-25高一上·天津·期中）不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 【答案】 【分析】由题意不等式对于恒成立，故只需结合基本不等式求得的最小值即可. 【详解】因为不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 而当时，，等号成立当且仅当， 所以当时，有最小值3， 则m的取值范围为. 故答案为：. 11．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对分母换元，然后用基本不等式可求出的最小值,从而可以求出结果. 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 12．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 . 【答案】8 【分析】利用代换1法结合基本不等式来求的最小值，即可求出的最大值. 【详解】由， 因为，，所以有， 当且仅当时取等号， 所以有， 故答案为：. 1．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 【答案】B 【分析】由题意可得，求得即可. 【详解】因为x，，所以，所以， 又， 当且仅当时，取等号，所以， 所以实数a的最小值是. 故选：B. 2．（24-25高二下·辽宁葫芦岛·期末）若，则的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】证明原式，利用基本不等式即可求解. 【详解】注意到，且， 故原式， 当且仅当即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 3．（2025·全国·模拟预测）已知x，y为正数，则的最小值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由x，y均为正数，则， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 故选：D. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为 【答案】4 【分析】分析得到，故，利用基本不等式求出最小值. 【详解】若，，恒成立， 即恒成立， 所以二次式与一次式在0到正无穷有相同的解， 故才能满足要求（因式分解后二次项和常数项一致）， 又，故， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 故答案为：4 5．（24-25高一下·安徽亳州·期末）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】由题意可知：，m是方程的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意可知：，m是方程的两根，且， 则，可得，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：C. 6．（24-25高二下·河北保定·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】化简式子，然后使用基本不等式计算. 【详解】由，且， 所以， ， 当且仅当，即，时取等号， 所以，所以的最小值为. 故选：D 7．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 8．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到命题“”是真命题，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，当时，显然成立；当时，转化为恒成立，结合基本不等式求得最小值，即可求解. 【详解】（1）解：因为集合， 由命题“”是假命题，可得命题“”是真命题， 即在上恒成立， 因为函数，当时，取得最大值，最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. （2）解：因为恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，不等式等价于恒成立，符合题意； 当时，等价于恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 9．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知：，求： (1)的最小值； (2)，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由基本不等式得到，然后以解出的范围； （2）由等式化简，然后由基本不等式得到的最小值，由不等式恒成立建立不等式求得实数的取值范围. 【详解】（1）， ，当且仅当时等号成立， ， 或（舍去）， 则的最小值为4. （2）， 当且仅当，即时等号成立， 即， ∴ 10．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）若两个正实数x，y，满足， (1)求的最小值，并说明此时x，y的值； (2)若不等式恒成立，则实数m的取值范围. 【答案】(1)时最小值为2； (2). 【分析】（1）根据已知条件，应用基本不等式得，解一元二次不等式求最小值，注意取值条件； （2）应用“1”的代换求的最小值，问题化为求参数范围. 【详解】（1）若两个正实数x，y，则， 整理得，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以时最小值为2. （2）由， 当且仅当，即时取等号， 要使已知不等式恒成立，即，则， 所以. 11．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）问题：正数a，b满足，求的最小值. 有一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)正数a，b满足，求的最小值； (2)若正数a，b，x，y满足，求证： (3)利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得M最小的m的值. 【答案】(1)9 (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）根据题干中的方法，将与相乘，即可求最值； （2）根据题干中的方法，将与相乘，化简后利用基本不等式即可得证； （3）记，，根据可求的值，再利用可求最值. 【详解】（1）∵a＞0，b＞0，a＋b＝1 ∴ 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为9. （2）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且时，等号成立. （3）记， 构造， 由，解得， 因为，所以，，， 所以 取等号时，，解得，即， 所以时，M取得最小值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.4 均值不等式及其应用 题型一 对均值不等式的理解 1．（23-24高一上·全国·课后作业）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）两个不等式与成立的条件是相同的.( ) （2）当时，.( ) （3）当时，.( ) （4）函数的最小值是2.( ) 2．（24-25高一上·全国·课堂例题）如图，是圆的直径，点C是上一点，．过点C作垂直于的弦，连接．你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 3．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 5．（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 题型二 直接利用均值不等式求最值 6．（24-25高二下·广东深圳·期末）若正实数，满足，则的最大值是 ． 7．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 8．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知，则有（   ） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值 D．最小值 9．（2025高二上·云南·学业考试）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 10．（2025·上海金山·三模）若，，且，则的最小值为 ． 题型三 配凑法求最值 11．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 12．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知，则函数的最小值为 ． 13．（2024高三·全国·专题练习）已知，求的最大值； 14．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求的最大值； 题型四 二次与二次（或一次)的商式的最值 15．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 16．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 . 17．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 18．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 题型五 “1”的代换求最值 19．（24-25高二下·河北邢台·期末）若，且，则的最小值为 ． 20．（24-25高二下·福建漳州·期末）若，则的最小值为（   ） A．24 B．26 C．32 D．92 21．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 22．（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知正实数，满足，则的最小值为 . 23．（24-25高一上·福建厦门·期末）若，，，则（   ）． A． B． C． D． 24．（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知0＜x＜1，则的最小值是（   ） A．16 B．25 C．27 D．34 25．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 题型六 消元法求最值 26．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 27．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知，若，则的最小值为 ． 28．（2024·安徽安庆·三模）若正数x，y满足，则的最小值是 . 题型七 利用均值不等式解决实际问题 29．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）设计用的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 31．（22-23高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      题型一 条件等式求最值 1．（24-25高一上·上海·期中）已知，，且，则的最小值为 . 2．（22-23高三上·浙江·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 ． 3．（2022·天津南开·模拟预测）若实数，满足，且，则的最大值为 . 4．（24-25高一上·福建福州·期中）已知，且，的最小值为 . 5．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的最小值为 . 题型二 利用均值不等式证明不等式 6．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，求证：； （2）已知正数x、y满足，求证：. 7．（23-24高一上·四川成都·期中）已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 8．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 9．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，求证： (1)； (2)． 题型三 均值不等式的恒成立问题 10．（24-25高一上·天津·期中）不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 11．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 12．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 . 1．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 2．（24-25高二下·辽宁葫芦岛·期末）若，则的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D． 3．（2025·全国·模拟预测）已知x，y为正数，则的最小值为（   ） A．4 B． C．3 D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为 5．（24-25高一下·安徽亳州·期末）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 6．（24-25高二下·河北保定·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 7．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 9．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知：，求： (1)的最小值； (2)，恒成立，求实数的取值范围. 10．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）若两个正实数x，y，满足， (1)求的最小值，并说明此时x，y的值； (2)若不等式恒成立，则实数m的取值范围. 11．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）问题：正数a，b满足，求的最小值. 有一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)正数a，b满足，求的最小值； (2)若正数a，b，x，y满足，求证： (3)利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得M最小的m的值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$