练案16 2.2.4 第2课时 均值不等式的应用-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[16] 第二章 等式与不等式 2.22.2.4[第2课时均值不等式的应用] A组基础巩固 三、解答题 一、选择题 1.已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值 9（1)已知x<3,求y=3+的最大值： 为 (2)已知，y是正实数，且x+y=4,求+3的最 A.8 B.4 C.2 D.0 小值 2.已知a>0,b>0, +2=1,则2a+36的最小值为 b A.25 B.26 C.27 D.28 3.(多选题)王老师往返两地的速度分别为m和n(m< n),全程的平均速度为v,则下列结论正确的是() A.v=√mn B.v=2mn ; m +n C./mn<o<mtn 2 D.m<v<√mn 4若0<x<分，则y=x-4标的最大值为() A.1 R方 c D.I 5.(2024·北京高一检测)关于x的不等式x2+1x1≥ alx-1对任意xeR恒成立，则实数a的取值范围 是 A.[-1,3] B.(-∞，3] C.(-∞，1] D.(-o,1]U[3,+0) 二、填空题 6.若点A(1,1)在直线mx+y-1=0(mn>0)上，则 m +上的最小值为 n 7.已一次函数y=-7+1的图像分别与x轴、y轴 相交于A,B两点，若动点P(a,b)在线段AB上，则ab 的最大值是 ,取得最值时a的值为一 8.若两个正实数，y满足上+4=1，且不等式+上< x Y m2-3m有解，则实数m的取值范围是 —131 10已知a,6为正实数，且日+-25 二、填空题 4.已知正实数x,y满足x+y=1,①则x2+y2的最小值 (1)求a2+2的最小值； (2)若(a-b)2=4(ab)3,求ab的值. 为 ;②若1+4≥a恒成立，则实数a的取 值范围是 5设a+b=2.6>0.则2a+取最小值时a的值为 三、解答题 6.为了缓解市民吃肉难的生活问题，某生猪养殖公司欲 将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的 乙地，运费为每小时60元，装卸费为1000元，猪肉 在运输途中的损耗费（单位：元）是汽车速度 (千米/小时)值的2倍.（说明：运输的总费用=运费 +装卸费+损耗费) (1)若汽车的速度为每小时50千米，试求运输的总 费用； B组素养提升 (2)为使运输的总费用不超过1260元，求汽车行驶 一、选择题 速度的范围； 1.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设 (3)若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少 在平面内有一个三角形，边长分别为a,b,c,三角形的面 千米的速度行驶？ 积S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九： 韶公式.现有一个三角形的边长满足a+b=12,c=8, 则此三角形面积的最大值为 () A.45 B.415 c.85 D.85 2.已知正实数m,n满足m+n=1,且使上+16取得最 小值若y=5x=4是方程)=“的解，则a m n ( A.-1 B号 C组创新拓展 C.2 D.3 在使-x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M 3.(多选题)设a+6=2(a>0.6>0),则品+台取最小 的最小值叫做-x2+2x的上确界，若a>0,b>0,且a 值时下列结论正确的是 ( +6=1,则-六名的上确界为 () a号 B.ab=1 A.-3 B-4C--号 ca+片= -+0-1 1 D.2a+6=4 一132=(任+方a+=5+兽+85+2√巴89， =-4,当且仅当-x=,即x=-1时取等号.故选C 当组仅当兰=云时取等号，所以m≤9 3. 3 2 .x>0,y>0,2x+3y=6, (2)因为关于x的一元二次不等式mx2-3x+1<0的解集 为(a,b), m>0, 哈2 所以a+b=3 m'所以a+b=3ab, 3 当且仅当2x=3y即x=2y=1时等号成立. 1 ab=- “y的最大值为之 3 所以（日+方）=1， 八，9=6=3，当且仅当6= 4.3由题设，得a+6≥2Nab/而 因为a+46=(a+40)x写（日+石） ! 9a=6时等号成立， 5+丝+云)≥5+2√典8=3， 5.az5 1 .x>0, 当且仅当a=2b时等号成立，所以(a+4b)=3, 由a+4b≥2+k+3恒成立得3≥2+k+3, 2 当且仅当x=1时，取等号 所以2+k≤0，解得-1≤k≤0.所以实数k的取值范围是 1 11 [-1,0]. 小2+3x+1 +32*35 对点训练4：(1)因为关于x的不等式-x2+ax+b≥0的解集为 [-1,2], 所以-1和2是方程-2+ax+b=0的两个实数根，可 a≥5 得1+2=a, 练案[16] l-1×2=-b, :A组基础巩固 解得 2经检验0=1， '满足条件，所以a=1,b=2. b=2 b=2 A由+2-=0，得子+= (2)由1)知=1， 可得上+2=1， 1b=2 所以x+2=x+2)·(层+）女+兰+4≥4+4=8， 则2x+y2+)(+）=4+子+=4+ 当且仅当x=2y时等号成立. 2.A因为a>0,6>0,是+子=1，所以2+36=(2a+ 2√28 当议到等号收立 36(2+8)=8+g+013+2√g=25, b a 当且仅当9-必即a=6=5时等号皮立 因为2x+y≥及+k+6恒成立，所以(2x+y)≥k2+k+6,即 a 8≥+k+6,可得+k-2≤0，解得-2≤6≤1，所以4的取3.BD设两地路程为，则全程所需的时间为六+疗，则全程的 值范围为[-2,1] 课堂检测固双基 平均速度u一2m故A错误，B正确：又由n>m> + 1.B由题意得，A(1+a)(1+b) m n =A(1+x)2,则(1+a)(1+b)=(1+x)2, 0,由均值不等式可得，m+n>2/mm,故=2mm<2mn= m+n2√/mn 因为1+o1+6)≤（±a, mn,故C错误因为=mmmm-m>心二m0 m n m+n 所以1+x≤2+0+也=1+0+b 2 21 所以v>m,则m<v<√mn,故D正确. 所以≤“中，当且仅当a=b时取等号。 4.C因为0<x<2,所以1-4>0，所以xV-4=分×2x 2c<0->0y=-(-动+】-2≤-22×个-≤分2+号-当且取当2x=个- 2 一193 即x=时等号成立，故选C 4 +2的最小值为1+号 x 5.BHx∈R,x2+1xl≥alxl-1恒成立， ①当x=0时，0≥-1成立，a∈R; 0(1因为a,6为证实数，且片+片-22.所以片+占-2,2 ②当x≠0时，原不等式可化为a≤lx1+1 ≥2√6，即b≥7（当且仅当a=6时等号成立）。 /1 因为x1++1≥2√高+1=3， 因为心2+公≥2≥2×分=1（当且仅当a=b时等号成立）， 当且仅当1即±1时取等号，所a≤3. 所以a2+2的最小值为1. 综上所述，实数a的取值范围是(-0,3] （2)因为+名=2，所以a+6=2ad 6.4因为A(1,1)在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，所以m+n 因为(a-b)2=4(ab)3,所以(a+b)2-4ab=4(ab)3, =1,而+↓=m+n+m+n=2+”+0≥2+2=4，当且 即(2√2ab)2-4ab=4(ab)3, m n m n m n 即(ab)2-2ab+1=0,(ab-1)2=0. 仅当m=n=时取“=”，所以品+的最小值为4 因为a,b为正实数，所以ab=1. B组素养提升 1因为A(2,0),B(0,1),所以0≤b≤1，由题意得a=.C由题意，得=10， 2-26w=2-26)6=21-0162,(小-9+=分当 S=√10(10-a)(10-6)(10-c) 且仅当1-b=b, =/20(10-a)(10-b)≤√20.10-a+10-b 2 即6=2时等号成立，此时a=1,因此当b=子，a=1时，ab =85,当且仅当a=b=6时取等号. 所以此三角形面积的最大值为8√5. 取最大值为) 2c品+=（日+m+0=1+0+品+6=7+ n m 8(-0,-1)U(4,+∞）“不等式x+￥<m-3m有解， (+）<m-3m>0y>0,且+手=1+ 10+片≥17+2√0片=25 m 当且仅当16m=”,又m+n=1, 子-(++）整++22V座兹+2=4， n m n号时，上式取等号。 即m={, 当日仅当华安即=2=8时取等号(+)=4 即+取得最小值时，m=号n=号，所以y=25,=5,25 .m2-3m>4,即(m+1)(m-4)>0,解得m<-1或m>4, n 故实数m的取值范围是(-0，-1)U(4,+0). =54. 9.(1)x<3 得a=2. .x-3<0 3.AC因为a+b=2, x-3+x=x-3+(x-3)+3 4 1 a 2 aa+b a 所以2a+6=4+6=4a+6 =+8-小+≤-28-+3=-1 元++分产品+2品+1= b. =+ b a 当且仪当产=3-，即=1时取等号， 当且仅当给云，即=40时等号成立 =6 ∴y的最大值为-1. 又因为a>0,6>0a+6=2,所以解得a=号6=于，所以a 2 (2)x,y是正实数， (+(+）=4+(+）4+25 +公的最小值为子 当且仅当上=3 4.I （-,9]①因为x+y=1,有y≤()=4， x y 即x=2(5-1),y=2(3-3)时取“=”号. 当且仅当x=y=2时等号成立，所以父+y=(x+y)-2 又y=4+1+ 2 ≥1-寸×2=分即F+y的最小值为宁②若a≤士+ 194 恒成立，则a≤（仕+）因为+手-（任+号）水x+) 章末整合 素养突破提技能 例1：(1)B(2)C(1)因为1<x<5,2<y<6,所以2<2x< 等号成立，所以片+4的最小值为9，即a≤9，故实数a的取值 10,-6<-y<-2, x Y 范围是(-∞，9]. 故2x-y∈（-4,8)： (2)对于①，由a>b,c>d,得-d>-c, 5.-2因为a+b=2, 由不等式的性质知，a-d>b-c,故命题①正确； 所+会品+号治+女 对于②，由a2x>a2y知，a2>0,由不等式的性质知，x>y,故 命题②正确； 品+品+品+2√品品+1 /b lal 对于③.6。-a2 b 当a>0时，最小值为子，当a<0时，最小值为子 若a,b同号，由a-b>0得6 35 'a(a-6)>0, 4<4当a<0时，取得最小值， 匿a,b异号，由a-b>0得。么b<0,放命题3错误 当组仪当品会时等号成立 对于④.由片<分<0，得6<a<0,则>6，故命题④ 又a+b=2,b>0, 正确 所以当6=-2，a=-2时：2+分取得最小值 例2：(1)由第一个式子可得z=3-3x-y, 代人第二个、第三个式子可得： 6(L)当汽车的速度为每小时50千米时，运输的总费用为：0 ×60+1000+2×50=1244(元). j8x+6y-20=0两个式子作差可得y=2,x=1, L8x+y-10=0, (2)设汽车行驶的速度为x千米/小时，由题意可得： 代人z=3-3x-y可得z=-2, 120x60+1000+2x≤1260，化简得-130x+3600≤0，解 故方程组的解集为{(1,2，-2)} (2)由第一个式子可得y=5-x, 得40≤x≤90 代入第二个式子可得x2-(5-x)2=-5, 故运输的总费用不超过1260元时，汽车行驶速度的范围为： 解得x=2, [40,90]. 代入y=5-x,可得y=3, (3)设汽车行驶的速度为x千米/小时，则运输的总费用： 故方程组的解集为{(2,3) 120×60+1000+2x=2x+7200+1000 (3)由第一个式子可得y=2x-1, 代入第二个式子可得x2+2(2x-1)2=3, ≥2√2x.720+1000=1240. 即9x2-8x-1=0, 当2x=720,即x=60时取得等号，故若要使运输的总费用 解得=1，=g, 最小，汽车应以每小时60千米的速度行驶 代人y=2x-1可得为=1，=-号 C组创新拓展 故方程组的解集为{(1，).(-g,-号)} D根据题意，由a+6=1,得一名名=（六号a+ 例3：(1)4=(2m-1)2-4×1×(m2-3)=4m2-4m+1-4m2 )(会+)是 +12=-4m+13, 因为原方程有实根，所以4=-4m+13≥0， 因为a>0,b>0 解得m≤是.所以实数m的取值范围为(-，早】 所以哈+≥2√会-2.当且仅当会--2a= (2)当m=2时，方程为x2+3x+1=0,所以x1+x2=-3, 子时，等号成立， x1x2=1, 因为方程的根为x1,x2,所以x+3x1+1=0,号+3x2+1 因此-（会+台）弓≤-2-号号，根据定义知，六 =0, 所以(x+2x1)(x5+4x2+2) 名的上确界为-号 =(x号+2x1+x1-x1)(x号+3x2+x2+2) -195