精品解析：山东省烟台市莱州市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题（五四制）

2024-2025学年度第二学期期末学业水平检测 八年级数学试题 满分120分 考试时间120分钟 一、选择题（本题共10个小题，下列每小题均给标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的）． 1. 下列函数中，是反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （ ） A. 1，4，1 B. 2，，0 C. 3，4，0 D. ，，1 4. 若函数在实数范围内有意义，则实数x应满足的条件是（ ） A. B. 且 C. D. 且 5. 关于反比例函数，下列结论正确的是 （ ） A. 图象位于第一、三象限 B. 图象与轴有公共点 C. 随的增大而增大 D. 不存在与的图象有交点的其他反比例函数 6. 如图，已知，下列条件中不能判断和相似的是（ ） A. B. 平分 C. D. 7. 如图，中，直角边落在轴的负半轴上，点的坐标是，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 已知实数满足，则代数式的值是( ) A 7 B. -1 C. 7或-1 D. -5或3 9. 已知中，，交于，，，，则 A. B. C. D. 10. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同三点，连接、、，过点A作轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点、，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8个小题） 11. 如果且，那么________________． 12. 若，那么____________． 13. 一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为24，则这个多边形的最短边的长度为_______． 14. 如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是_____（用“＜”连接）． 15. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．若，．小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为______． 16. 已知，，则代数式的值是_____________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴的负半轴重合，，轴，对角线交于点．已知，的面积为4．若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为________________． 18. 如图，，，，点在线段上运动，为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是______________． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 按要求解下列方程： （1）（直接开方法）； （2）（配方法）． 21. 图中有一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边长，与墙垂直的一边长为． （1）求关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围． （2）若想使花圃长是宽的倍，则花圃至少需要围栏多少米？ 22. 如图，在中，是角平分线，点E在边上，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 阅读下列材料： 【材料1】若一元二次方程的两根为， 则． 【材料2】已知实数满足，且，求的值． 解：由题知是方程的两个不相等的实数根， ∴； ∴ ． 根据上述材料，解答下列问题： （1）关于方程的两个根是和1，则的值为___________； （2）若关于的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数的值； （3）已知：，，且．求的值为______________． 24. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，，点在轴上，为等腰直角三角形，且，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求点的坐标． 25. 根据背景材料，探索问题． 端午粽子销售价格的探究 生活中的问题 端午节来临之际，某超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的粽子，第一周以每袋50元的价格销售了150袋． 市场调查 第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋粽子每降价2元，超市平均可多售出20袋，但最低每袋要盈利15元． 销售设置 第二周结束后，该超市将对剩余的粽子一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋25元． 解决问题 任务1 若设第二周每袋粽子降低元，则第二周每袋的盈利是________元，销量是__________袋． 任务2 ①经两周后还剩余粽子_____________袋．（用的代数式表示） ②若该超市想通过销售这批粽子获利5160元，那么第二周单价每袋应是多少元？ 26. 我们定义：在内有一点P，连接，，．在所得的中，有且只有两个三角形相似，则称点P为的相似心． （1）如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点P为的相似心，则____________________；（填两个相似三角形） （2）如图2，在平面直角坐标系中，点A与点B分别为x轴负半轴，y轴正半轴上的两个动点，连接，设的外角平分线，交于点M，延长，分别交x轴于点G，交y轴于点H，连接． ①的度数是__________； ②求证：点O为的相似心； （3）如图3，在（2）条件下，若点M在反比例函数的图象上，，若点G的坐标是，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期末学业水平检测 八年级数学试题 满分120分 考试时间120分钟 一、选择题（本题共10个小题，下列每小题均给标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的）． 1. 下列函数中，是反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．反比例函数的一般形式为： ，据此逐个分析． 【详解】解：A中，，是正比例函数，不是反比例函数，故不符合题意； B中，，不是反比例函数，故不符合题意； C中，，是一次函数，不是反比例函数，故不符合题意； D中，，是反比例函数，故符合题意， 故选：D． 2. 下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 最简二次根式需满足：①被开方数不含分母；②分母不含根号；③被开方数不含能开方的因数．需逐项验证化简过程是否符合要求．根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】选项A：原式化简应为，错误； 选项B：正确化简为，而选项B结果为，数值明显不符，错误； 选项C：分母含根号，未有理化，正确形式应为，错误； 选项D：将化为分数，再有理化分母：，符合最简二次根式要求，正确； 故选：D． 3. 把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （ ） A. 1，4，1 B. 2，，0 C. 3，4，0 D. ，，1 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关键． 将方程整理成一元二次方程的一般形式，确定各项系数、、的值． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项，得， 方程化简为， 可得，，， 故选：B． 4. 若函数在实数范围内有意义，则实数x应满足的条件是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键． 【详解】解：由题可知， 且， 解得且 故选：D． 5. 关于反比例函数，下列结论正确的是 （ ） A. 图象位于第一、三象限 B. 图象与轴有公共点 C. 随的增大而增大 D. 不存在与的图象有交点的其他反比例函数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解本题的关键． 根据反比例函数的性质，逐一分析选项． 【详解】选项A：反比例函数中，比例系数，其图象位于第二、四象限，而非第一、三象限，故A错误； 选项B：反比例函数的图象为双曲线，与坐标轴无限接近但永不相交，故B错误； 选项C：当时，反比例函数在每个象限内，随的增大而增大．但选项C未限定“每个象限内”，若跨象限变化（如从负数到正数），会减小，故C错误； 选项D：设其他反比例函数为，联立方程，因此，仅当时两函数图象重合，其他的反比例函数均无交点，故D正确． 故选：D． 6. 如图，已知，下列条件中不能判断和相似的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，结合平行线的性质可判断A；结合角平分线的定义可判断B；结合直角三角形两个锐角互余可判断C；D选项没有条件可判断和相似． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A能判断，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴，故B能判断，不符合题意； ∵ ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，故C能判断，不符合题意； ∵，结合题意没有满足使和相似的条件， ∴不能判断，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查三角形相似的判定．掌握三角形相似的判定定理是解题关键． 7. 如图，中，直角边落在轴的负半轴上，点的坐标是，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似的性质，分类讨论对应点的位置，即可． 【详解】以为位似中心，按比例尺把缩小， 当对应点与在位似中心同侧时，则的坐标乘以， ∴的坐标为：； 当对应点与在位似中心异侧时，则的坐标乘以， ∴的坐标为：； ∴点的对应点的坐标为：或． 故选：B． 【点睛】本题考查位似的知识，解题的关键是掌握位似图形的性质． 8. 已知实数满足，则代数式的值是( ) A. 7 B. -1 C. 7或-1 D. -5或3 【答案】A 【解析】 【分析】将x2-x看作一个整体，然后利用因式分解法解方程求出x2-x的值，再整体代入进行求解即可. 【详解】∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0， ∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0， ∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0， ∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6； 当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0， ∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴此方程无实数解； 当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7， 故选A． 【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解本题的关键是把x2-x看成一个整体． 9. 已知中，，交于，，，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知AD∥EF∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得出AE：EB=AF：FC，也就求出EF与AD的比例关系；由于△ADE和△AEF等高，因此它们的面积比等于底边比，已知了EF、AD的比例关系，根据△ADE的面积即可求出△AEF的面积． 【详解】∵AD∥EF∥BC， ∴AE：EB=AF：FC=1：2， ∴EF：AD=CF：AC=2：3， ∵△ADE和△AEF等高， ∴S△AEF：S△ADE=EF：AD=2：3， ∵S△ADE=1， ∴S△AEF=． 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理以及三角形的面积的计算公式．注意，同底（或等底）三角形的面积比等于该底上的高的比；同高（或等高）三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方． 10. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点、，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论． 【详解】∵点A、B、C为反比例函数y＝（）上不同三点，轴，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F ∴，， ∴ ∴ 故答案为：B． 二、填空题（本题共8个小题） 11. 如果且，那么________________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，一元一次方程的应用．设（），则，，，根据得到k的方程，求解得到，进而得到x，y，z的值，代入式子求值即可． 【详解】解：设（）， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴． 故答案为：1 12. 若，那么____________． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了整式的因式分解及分式的化简求值．根据题意对方程的左边进行因式分解，进而可以发现x与y之间的关系，从而求出答案． 【详解】解：， ， ，即， 或， ∴或 或． 故答案为：或3 ． 13. 一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为24，则这个多边形的最短边的长度为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质．该多边形的最短边长为．利用相似多边形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：该多边形的最短边长为． 由相似多边形的性质可知：， ， 故答案为：8． 14. 如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是_____（用“＜”连接）． 【答案】k1＜k2＜k3 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k=xy，进而可分析k1、k2、k3的大小关系． 【详解】解：读图可知：反比例函数 y＝的图象在第二象限，故k1＜0； y=，y=在第一象限；且y=的图象距原点较远，故有：k1＜k2＜k3； 故答案为k1＜k2＜k3． 【点睛】本题考查反比例函数y=的图象，反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．且图象距原点越远，k的绝对值越大． 15. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．若，．小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 16. 已知，，则代数式的值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，二次根式化简求值，学会灵活变形是解题的关键．根据题意可先求的和，将代数式利用完全平方公式进行变形可得，代入和，即可求解． 详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴的负半轴重合，，轴，对角线交于点．已知，的面积为4．若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，先证明得到，，则；过点M作于H，证明，得到，则，再由反比例函数的比例系数的几何意义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵的面积为4， ∴， 如图所示，过点M作于H， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例的函数图象有一部分在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，，，，点在线段上运动，为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是______________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形斜边上的中线等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 根据相似三角形的判定与性质，证明，推出，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：，， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值最小时，的值最小，此时的值最小， ，，， ， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小，根据三角形面积得，此时， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：6． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算， （1）先把中括号内的二次根式化为最简二次根式，合并后再进行的除法运算； （2）将二次根式化为最简二次根式，同时利用完全平方公式和平方差公式将原式展开，再利用平方差公式作进一步的计算，最后进行加减运算即可； 掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. 按要求解下列方程： （1）（直接开方法）； （2）（配方法）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的解法是解题的关键． （1）将方程变形为，运用直接开方法求解即可； （2）将方程配方后，开方求解即可． 【小问1详解】 解：原方程可变形为， ， 开平方，得 ， 即，或， ∴； 【小问2详解】 解： 方程两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得， ， ∴， 即，或， ∴，． 21. 图中有一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边长，与墙垂直的一边长为． （1）求关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围． （2）若想使花圃长是宽的倍，则花圃至少需要围栏多少米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据矩形的面积公式得出y与x的函数关系式是关键，注意结合实际取自变量的取值范围． （1）根据长方形面积公式列式求解即可； （2）根据题意得到，然后代入求出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵设花圃与墙平行的一边长，与墙垂直的一边长为，面积为 ∴ ∴ ∵可利用的最大长度为 ∴ ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵使花圃长是宽的倍 ∴ ∴代入得， ∴ ∴或（舍去） ∴ ∴ ∴花圃至少需要围栏米． 22. 如图，在中，是角平分线，点E在边上，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理： （1）根据是的角平分线可得出，由可得出，进而即可证出； （2）由可得出，根据三角形内角和定理及平角等于，即可得出，结合公共角相等可得出，再利用相似三角形的性质即可求出的长度即可． 【小问1详解】 证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 阅读下列材料： 【材料1】若一元二次方程的两根为， 则． 【材料2】已知实数满足，且，求的值． 解：由题知是方程的两个不相等的实数根， ∴； ∴ ． 根据上述材料，解答下列问题： （1）关于的方程的两个根是和1，则的值为___________； （2）若关于的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数的值； （3）已知：，，且．求的值为______________． 【答案】（1）2 （2）的值为 （3）3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系成为解题的关键． （1）先根据根与系数的关系求得m、n的值，然后代入计算即可； （2）设关于的方程的两个实数根分别为，根据根与系数的关系可得，根据题意可得，即，则，解得：；然后再分两种情况运用根的判别式检验即可． （3）先变形得到，结合，则是方程的两个的实数根，，利用根与系数的关系得到，由于，然后利用整体代入法计算即可． 【小问1详解】 解：∵关于的方程的两个根是和1， ∴，即：， ∴． 故答案为2． 【小问2详解】 解：设关于的方程的两个实数根分别为， 根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，原方程化为， 则，此方程没有实数解； 当时，原方程化为， 则，此方程有两个不相等的实数解． 综上所述，的值为． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∵ ∴是方程的两个的实数根，且． ∵， ∴． 24. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，，点在轴上，为等腰直角三角形，且，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求点的坐标． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，数形结合是解题的关键． （1）将点代入反比例函数即可求得k的值，将点代入反比例函数即可求得b的值，进而待定系数法求直线解析式即可求解； （2）过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，证明，进而求解即可． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数中，得， 解得， 故反比例函数的表达式为 将代入反比例函数中， 得， 解得， 故 将，代入一次函数中得 ， 解得 故一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E， 则， ， 为等腰直角三角形，， ， ． 在和中， ， ， ， ∵，， ， ． 25. 根据背景材料，探索问题． 端午粽子销售价格的探究 生活中的问题 端午节来临之际，某超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的粽子，第一周以每袋50元的价格销售了150袋． 市场调查 第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋粽子每降价2元，超市平均可多售出20袋，但最低每袋要盈利15元． 销售设置 第二周结束后，该超市将对剩余的粽子一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋25元． 解决问题 任务1 若设第二周每袋粽子降低元，则第二周每袋的盈利是________元，销量是__________袋． 任务2 ①经两周后还剩余粽子_____________袋．（用的代数式表示） ②若该超市想通过销售这批粽子获利5160元，那么第二周的单价每袋应是多少元？ 【答案】任务1： 任务2：① ②第二周的单价每袋应是48元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，列代数式．分别判断出第二周，及两周后每袋粽子的利润和销量是解决本题的难点． 任务1：第二周每袋的盈利=第一周每袋的售价每袋的进价每袋的降价x元，第二周的销量=第一周的销量降低的价格； 任务2：①经两周后还剩余粽子袋数=购进粽子的袋数第一周的销量第二周的销量； ②第一周粽子的利润+第二周粽子的利润+第二周结束后粽子的利润，把相关数值代入求得合适的x的值，进而求得第二周的单价即可． 【详解】解：任务1：任务1：第二周每袋的盈利元， 销量袋； 故答案为：； 任务2：①经两周后还剩余粽子袋数袋， 故答案： ； ②第二周每袋粽子降低元， 由题意得 ∴ 解得或 ∵第二周最低每袋要盈利15元， ∴ ∴， ∴（不合题意，舍去） ∴， ∴第二周的单价每袋应是 答：第二周的单价每袋应是48元． 26. 我们定义：在内有一点P，连接，，．在所得的中，有且只有两个三角形相似，则称点P为的相似心． （1）如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点P为的相似心，则____________________；（填两个相似三角形） （2）如图2，在平面直角坐标系中，点A与点B分别为x轴负半轴，y轴正半轴上的两个动点，连接，设的外角平分线，交于点M，延长，分别交x轴于点G，交y轴于点H，连接． ①的度数是__________； ②求证：点O为的相似心； （3）如图3，在（2）的条件下，若点M在反比例函数的图象上，，若点G的坐标是，求k的值． 【答案】（1） （2）①；②见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象和性质、坐标与图形． （1）根据网格的特点和勾股定理可得出，即可证明，即可得到答案； （2）①根据角平分线定义和三角形外角的定义可求出，然后根据三角形内角和定理求解即可； ②作轴，轴，垂足分别为Q、P、N，，证明即可； （3）由相似三角形的性质得到，结合点G的坐标和勾股定理可求出，由（2）知：，设长度都为m，求出，即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知：，，，， ， ． 故答案为：，； 【小问2详解】 ①解：根据题意得：， ， 的外角平分线，交于点M， ，， ， ， 故答案为：； ②证明：过点M作轴，轴，垂足分别为Q、P、N，连接， 的外角平分线，交于点M， ， ， 平分， ， ， ， ， 又， ， 点O为的相似心； 【小问3详解】 解：由（2）知：， ， 点， ， ， 由（2）得：，设长度都为m， 则，， ， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$