精品解析：山东省泰安市宁阳县2024-2025学年下学期期末质量检测七年级数学试题

2024—2025学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，40分；第Ⅱ卷为非选择题，110分；全卷共6页． 2．数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本题共10小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，不选或选出的答案超过一个均记零分）． 1. “a是实数，|a|≥0”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件、不确定事件、不可能事件、随机事件的定义判断即可. 【详解】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，由a是实数，得|a|≥0恒成立，因此，这一事件是必然事件．故选A． 【点睛】本题考查必然事件、不确定事件、不可能事件、随机事件的判定.熟练掌握定义是解题的关键. 2. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，理解不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质逐项判定即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴，故此选项不符合题意； B、∵，， ∴，故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 二元一次方程的正整数解有（ ） A. 组 B. 组 C. 组 D. 组 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解．用含x的式子表示出y，求出所有的正整数解即可得出答案． 【详解】解：由得：， 当时，； 当时，； 当时，； ∴二元一次方程的正整数解有3组， 故选：C． 4. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 有两条边分别相等的两个直角三角形全等； B. 顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等； C. 两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等； D. 面积相等的两个三角形一定全等 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐一分析选项，确定真命题． 【详解】解：选项A：两条边相等的直角三角形不一定全等．若两条边分别为一条直角边和斜边，可能存在不同情况（如直角边3和斜边4对应与直角边3和直角边4），此时不全等．需明确两边均为直角边或斜边与一直角边（定理）才能全等，故A为假命题． 选项B：顶角与底边对应相等的等腰三角形全等．顶角确定则底角确定，底边长度固定，可通过判定全等，故B为真命题． 选项C：两边及一边对角（）对应相等不能保证全等．故C为假命题． 选项D：面积相等不一定全等．面积相同的三角形形状可能不同（如底和高互换），故D为假命题． 故选：B． 5. 某旅游景区，假日期间实施购票有奖，凡购买一张门票，可以转动转盘一次，如图-1所示，指针指向哪个获奖区域，就得到对应的奖品；如图所示，售票员用电脑制作出获得优胜奖频率的折线统计图．根据以上信息可知，图中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估算概率，涉及几何概率模型等知识，先由获得优胜奖频率的折线统计图，如图所示，估算出获得优胜奖的概率是，再由几何概率模型求概率的方法即可得到答案，熟记概率基础知识是解决问题的关键． 【详解】解：由获得优胜奖频率的折线统计图，可得获得优胜奖的频率稳定在附近，即获得优胜奖的概率是， ， 故选： C． 6. 方程组的解为，则被遮盖的①、②的两个数分别为（ ） A. 12，2 B. 2，12 C. 2，8 D. 21，5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，已知方程组的解为，，将其代入第二个方程可求出的值（即②），再将和的值代入第一个方程即可求出①的值． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得： 因此，， 将和代入方程，得：， 因此，， 综上，被遮盖的两个数分别为12和2， 故选：A． 7. 数学综合实践课上，数学兴趣小组根据等腰三角形的性质联想到：一个三角形中，如果一条边比另一条边长，那么长边所对的角大于短边所对的角．如图，在中，，下面操作不能说明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据等边对等角、三角形外角的性质，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、由图可得， ， ， ∴，故A选项不符合题意； B、由图可得， ， ， ∴，故B选项不符合题意； C、由图可得， ， ∴，故C选项不符合题意； D、由图可得， ， 根据图形无法说明与的大小关系， ∴不能说明，故D选项符合题意； 故选：D． 8. 我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有个老头，个梨，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组的能力，需正确理解题意并转化为方程，根据数量关系列式即可． 【详解】解： “一人一个多一梨”：若每个老头分1个梨，梨的数量比人数多1，即 ， “一人两个少两梨”：若每个老头分2个梨，梨的数量比所需少2，即所需梨数 比实际梨数 多2，故 ，整理得 ， ∴方程组为：， 故选：C． 9. 如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：A、 ∵， ， ∴，正确，故此选项不符合题意； B、 ， ， ， ， ， ∴，不能得出，原结论错误，故此选项符合题意； C．∵， ， ， ∴，正确，故此选项不符合题意； D、∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 10. 如图，点为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，以下结论：①；②为等边三角形；③；④平分；正确有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由和等边是正三角形，其性质得三边相等，三个角为，平角的定义和角的和差得，边角边证明，其性质得结论①正确；根据等边三角形的判定得是等边三角形，结论②正确；根据全等三角形的性质和三角形内角和定理即可得结论③正确；角角边证明，其性质和角平分线性质定理的逆定理求出点在的平分线上，结论④正确． 【详解】解：∵和是正三角形， ， 又 ∵， ， 在和中， ， ， ， ∴结论①正确； ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形，故②正确； ， ， 又，，， ， ，结论③正确； 过点分别作于点、两点，如图2所示： ， ， 在和中， ， ， ， 又 ∵在的内部， ∴点在的平分线上， ∴结论④正确； 综合所述，共有 4个结论正确． 故选：D． 【点睛】本题综合考查了全等三角的判定与性质，等边三角形的判定，三角形的内角和定理，角平分线性质定理的逆定理等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点是用角平分线性质定理的逆定理作辅助线证明一点已知角的角平分线上． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分．只要求填写最后结果） 11. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设___． 【答案】一个三角形中有两个角直角 【解析】 【分析】本题主要考查了反证法的应用，解题的关键在于能够熟练掌握反证法的步骤．根据反证法的步骤：第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设一个三角形中有两个角是直角， 故答案为：一个三角形中有两个角是直角． 12. 某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为3米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了__________米． 【答案】##1.5## 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，熟悉掌握此性质是解题的关键．过点作于点，即可根据含角的直角三角形中，角所对的边是斜边的一半解答． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵，，米， ∴（米）， 故答案为：． 13. 如图，是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在其余的格点中任意放置点（不包含点、点所在的格点），则恰好能使构成等腰三角形的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的运算，等腰三角形的判定，熟悉掌握概率的运算方法是解题的关键． 根据等腰三角形的判定方法找出所有的点位置，即可运算概率． 【详解】解：由题意可得：点的位置如图标注数字所示： ∵不包含，两点的网格点的总数为， 恰好能使构成等腰三角形的概率是：； 故答案为：． 14. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，掌握不等式组的解法是解题关键．先求出每个不等式的解集，再根据不等式组无解得到关于的不等式，求解即可． ． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组无解， ， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点；②以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点、，再以分别以、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由尺规作图-作角平分线、作垂线得到是的角平分线；；再由角平分线性质可得，在中，由勾股定理求出，最后设，由等面积法，列方程求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，是的角平分线；； ，， 由角平分线性质可得， 在中，，，则由勾股定理得， ， 设， 即，解得， 故答案为： 【点睛】本题考查求线段长，涉及尺规作图-作角平分线、作垂线、角平分线性质、勾股定理及等面积法求线段长等知识，熟记五类基本尺规作图、角平分线性质及勾股定理是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，90分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. （1）解方程组：； （2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解一元一次不等式组，掌握相关解法是解题关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 方程组的解集为； （2）解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： ． 17. 已知不等式组解集为，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及解不等式组、解一元一次方程等知识，先解不等式组，再由不等式组的解集列出方程求解即可得到，代入代数式求解即可得到答案．熟练掌握由不等式组解集求参数的方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为， ，解得， ． 18. 如图，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若比大25°，求的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得； （2）设，从而可得，再根据三角形的外角性质可求出x的值，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】（1），理由如下： ， ， ， ， 又， ， ； （2）设，则， 由三角形的外角性质得：，即， 解得， 即， 由（1）已证：， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 19. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）则盒子中共有__________个球，其中黑球有__________个； （2）现在从中拿出个红球，当__________时（填一个满足条件的值），摸出红球为随机事件； （3）能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请直接写出如何调整黑球数量． （4）如果将口袋中加入若干个白球，并取出相同数量的黑球，然后再从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了1000次球，发现有400次摸到黑球．请你估计加入白球的数量． 【答案】（1）20；12； （2）1（或2） （3）拿出5个黑球， （4）估计加入4个白球． 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算、用频率估计概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键． （1）用白球的数量除以概率求出盒子中的球数，再减去红球和白球的数量求出黑球数量即可； （2）根据盒子里有红球3个，结合随机事件的定义即可求解； （3）利用摸出一个球是红球的概率求出盒子中球的数量，即可求出黑球数量的变化； （4）估计摸到黑球的概率为，设加入个白球，根据题意列出方程，解出的值即可． 【小问1详解】 解：个，则盒子中共有20个球， 个，则盒子中黑球有12个， 故答案为：20；12； 【小问2详解】 解：盒子里有红球3个，从中拿出个红球， 则当或2时，摸出红球随机事件． 故答案为：1（或2）； 【小问3详解】 解：调整后任意摸出一个球是红球的概率为， 调整后盒子内球的数量为个， 调整后黑球的数量为个， 黑球数量减少了个， 即拿出5个黑球，可以使得任意摸出一个球是红球的概率为； 【小问4详解】 解：由题意估计摸到黑球的概率为， 设加入白球个，则取出黑球个， 由题意可知，， 解得：， 即估计加入4个白球． 20. 随着影片《哪吒之魔童闹海》的热映，线上线下多款电影周边产品也人气爆棚，迎来“抢购潮”．某玩具店看准商机，购进了一批大小两种哪吒玩偶毛绒玩具．已知购进2个50厘米大玩偶和3个30厘米小玩偶共需85元，购进1个50厘米大玩偶和2个30厘米小玩偶共需50元． （1）请问每个50厘米大玩偶和30厘米小玩偶的进价分别是多少元？ （2）该玩具店计划购进两种玩偶共100个，且每个50厘米大玩偶的售价为40元，每个30厘米小玩偶的售价为30元．若将所有玩偶全部售出，且利润不得低于1600元，则至少需要购进多少个50厘米大玩偶？ 【答案】（1）每个50厘米大玩偶的进价是元，每个30厘米小玩偶的进价是元； （2）至少需要购进个50厘米大玩偶． 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题关键，． （1）设每个50厘米大玩偶的进价是元，每个30厘米小玩偶的进价是元，根据“购进2个50厘米大玩偶和3个30厘米小玩偶共需85元，购进1个50厘米大玩偶和2个30厘米小玩偶共需50元”，列二元一次方程求解即可； （2）设需要购进个50厘米大玩偶，根据利润不得低于1600元，列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每个50厘米大玩偶的进价是元，每个30厘米小玩偶的进价是元， 则，解得：， 答：每个50厘米大玩偶的进价是元，每个30厘米小玩偶的进价是元； 【小问2详解】 解：设需要购进个50厘米大玩偶，则购进个30厘米小玩偶， 则， 解得：， 即至少需要购进个50厘米大玩偶． 21. 在等腰直角中，，点在边上，过点作射线的垂线，垂足为点，过点作射线的垂线，垂足为点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，在射线上取点，使，连接，与交于点．若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质，得到，，由垂线可得，进而得出，再利用“”证全等即可； （2）根据等腰直角三角形的判定和性质，以及全等三角形的性质，可证，得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：在等腰直角中，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由（1）可知，， ，， 又，， ， ， ， ， ． 22. 如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点，两直线交于点．已知观察图像并回答下列问题： （1）求直线的表达式； （2）直接写出不等式的解集； （3）在轴上找一点，使得的值最小，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式关系，轴对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，合理做出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法运算求解即可； （2）根据图象位置解答即可； （3）过作关于轴对称的点，连接，与轴的交点为，此时，则，即可取最小值，利用待定系数法运算求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入可得：， 解得：， ∴直线的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴由图象可得的解集为：； 【小问3详解】 解：过作关于轴对称的点，连接，与轴的交点为，此时，则，即可取最小值，如图所示： ∵， ∴， 设直线的解析式为，把，代入可得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入可得：， ∴． 23. 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则． （1）上述情境中证明三角形全等的依据是__________； （2）如图2，已知点为内一点，平分，， ①求证：． ②若，则的长为__________． （3）如图3，一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作的平分线； ②再过点作交于点． 已知米，米，面积为20平方米，求划出的的面积． 【答案】（1） （2）①见解析；② （3）平方米． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线定义以及三角形面积等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）结合垂线和角平分线的定义证明全等即可； （2）①延长交于点，先证明，得到，，再根据等角对等边得到，即可证明结论； ②结合①结论，得出，再利用勾股定理求解即可； （3）延长交于点，同理可证，，得到，米，根据等高三角形，得到米，从而得出平方米，即可求出划出的的面积． 【小问1详解】 解：平分， ，， 又， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①如图，延长交于点， 平分，， ，， 又， ， ，， ， ， ， ； ②由①可知，， ， ， ； 【小问3详解】 解：①如图，延长交于点， 同理可证，， ，米， 和等高三角形，米， ， 面积为20平方米， 平方米， 平方米， 答：划出的的面积为平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，40分；第Ⅱ卷为非选择题，110分；全卷共6页． 2．数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本题共10小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，不选或选出的答案超过一个均记零分）． 1. “a是实数，|a|≥0”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 2. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 二元一次方程正整数解有（ ） A. 组 B. 组 C. 组 D. 组 4. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 有两条边分别相等的两个直角三角形全等； B. 顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等； C. 两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等； D. 面积相等的两个三角形一定全等 5. 某旅游景区，假日期间实施购票有奖，凡购买一张门票，可以转动转盘一次，如图-1所示，指针指向哪个获奖区域，就得到对应的奖品；如图所示，售票员用电脑制作出获得优胜奖频率的折线统计图．根据以上信息可知，图中的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 方程组的解为，则被遮盖的①、②的两个数分别为（ ） A. 12，2 B. 2，12 C. 2，8 D. 21，5 7. 数学综合实践课上，数学兴趣小组根据等腰三角形的性质联想到：一个三角形中，如果一条边比另一条边长，那么长边所对的角大于短边所对的角．如图，在中，，下面操作不能说明的是（ ） A. B. C. D. 8. 我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有个老头，个梨，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 10. 如图，点为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，以下结论：①；②为等边三角形；③；④平分；正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分．只要求填写最后结果） 11. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设___． 12. 某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为3米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了__________米． 13. 如图，是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在其余的格点中任意放置点（不包含点、点所在的格点），则恰好能使构成等腰三角形的概率是__________． 14. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围为__________． 15. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点；②以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点、，再以分别以、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8小题，90分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. （1）解方程组：； （2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 17. 已知不等式组的解集为，求的值． 18 如图，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若比大25°，求的度数． 19. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）则盒子中共有__________个球，其中黑球有__________个； （2）现在从中拿出个红球，当__________时（填一个满足条件的值），摸出红球为随机事件； （3）能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请直接写出如何调整黑球数量． （4）如果将口袋中加入若干个白球，并取出相同数量的黑球，然后再从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了1000次球，发现有400次摸到黑球．请你估计加入白球的数量． 20. 随着影片《哪吒之魔童闹海》的热映，线上线下多款电影周边产品也人气爆棚，迎来“抢购潮”．某玩具店看准商机，购进了一批大小两种哪吒玩偶毛绒玩具．已知购进2个50厘米大玩偶和3个30厘米小玩偶共需85元，购进1个50厘米大玩偶和2个30厘米小玩偶共需50元． （1）请问每个50厘米大玩偶和30厘米小玩偶的进价分别是多少元？ （2）该玩具店计划购进两种玩偶共100个，且每个50厘米大玩偶售价为40元，每个30厘米小玩偶的售价为30元．若将所有玩偶全部售出，且利润不得低于1600元，则至少需要购进多少个50厘米大玩偶？ 21. 在等腰直角中，，点在边上，过点作射线垂线，垂足为点，过点作射线的垂线，垂足为点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，在射线上取点，使，连接，与交于点．若，，求线段的长． 22. 如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点，两直线交于点．已知观察图像并回答下列问题： （1）求直线的表达式； （2）直接写出不等式的解集； （3）在轴上找一点，使得的值最小，求点的坐标． 23. 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则． （1）上述情境中证明三角形全等的依据是__________； （2）如图2，已知点为内一点，平分，， ①求证：． ②若，则的长为__________． （3）如图3，一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作的平分线； ②再过点作交于点． 已知米，米，面积为20平方米，求划出的的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$