第18讲：函数的应用（二）【九大题型】-【初升高暑假衔接】2025-2026学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第18讲：函数的应用（二） 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　函数的零点 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 方程、函数、图象之间的关系： 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点． 知识点二　函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点 方程f(x)＝0的实数解⇔函数y＝f(x)的零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标． 知识点三　函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间 (a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 知识点四　二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解． 知识点五　用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 1． 确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. 2． 2．求区间(a，b)的中点c. 3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 【例题详解】 题型一、求函数的零点或者参数 1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的零点是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024高二下·福建·学业考试）已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（12-13高一下·江苏盐城·期中）已知函数，若函数只有一个零点，则a的值是 . 题型二、零点存在性定理的应用 4．（2026高三·全国·专题练习）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·北京顺义·期末）函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东·模拟预测）函数的零点为 . 题型三、根据零点所在的区间求参数范围 7．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·上海·期中）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 ． 题型四、根据函数零点个数求参数范围 10．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 11．（24-25高一下·四川泸州·期末）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高三下·北京·阶段练习）若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 题型五、二分法概念的理解 13．（24-25高一上·辽宁大连·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 14．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 15．（2025高三下·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．  B．    C．   D．   题型六、用二分法求方程的近似解 16．（2025高一·全国·专题练习）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 17．（21-22高一上·全国·课后作业）已知函数在区间上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度)的近似值，那么将区间等分的次数至少是 .此时规定只要零点的存在区间满足，则可用作为零点的近似值，由此求得 . 18．（21-22高一上·全国·课后作业）在用二分法求方程在上的近似解时，经计算，，，，即可得出方程的一个近似解为 （精确度为0.2）. 题型七、根据指对幂的零点分布求参数 19．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数与函数的零点分别为，，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 20．（2025·河南·模拟预测）已知函数存在，使得，则的取值范围是 . 21．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数若，且，则的取值范围是 ． 题型八、函数模型的应用 22．（北京市北京师范大学附属中学2023届高三下学期三模测试数学试题）用于测量视力情况的视力表通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知甲、乙两人视力的五分记录法的数据分别为和，乙视力的小数记录法的数据为，则甲视力的小数记录法的数据为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高二下·陕西渭南·期末）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中k为常数，在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 24．（2025高三·全国·专题练习）人类已进入大数据时代，目前，数据量已经从级别跃升到乃至级别．国际数据公司研究表明，数据量与时间（单位：年）之间满足关系式：．已知第1年（2008年）全球产生的数据量约为，第2年全球产生的数据量约为．那么从第（    ）年开始全球产生的数据量不低于． A．19 B．18 C．17 D．16 题型九、函数的零点和方程综合 25．（23-24高一下·云南昭通·期末）函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 26．（24-25高一上·北京平谷·期中）设函数，的单调递减区间是 ；若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是 ． 27．（2025·江苏盐城·三模）设函数，若关于的方程的解的个数是 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）二次函数有零点的充要条件的是（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河南漯河·期末）函数，则“”是“函数在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一下·云南昆明·期中）Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ） （参考数据：，） A．14 B．15 C．16 D．17 5．（2025·山西吕梁·三模）已知函数有三个零点，则三个零点之和为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知1是函数的一个零点，则函数的所有零点之和为（    ） A． B．2 C．3 D．4 7．（2026高三·全国·专题练习）已知函数则的所有零点之和为（    ） A． B． C．2 D．0 8．（24-25高二下·天津和平·期末）已知函数的零点分别是，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）下列函数中能用二分法求零点近似值的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知，分别是函数和的零点，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·浙江宁波·期中）设函数，下列命题中正确的有（    ） A．时，是奇函数 B．时，方程只有一个实根 C．的图象关于对称 D．方程至多有两个实根 12．（24-25高一下·云南昆明·期末）若正数满足，则的大小关系可能是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·陕西汉中·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象是轴对称图形 B．在上单调递增 C．的值域为 D．恰有两个零点 三、填空题 14．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）函数的零点在区间内，则正整数 . 15．（24-25高一下·贵州遵义·期中）已知是函数的零点，则 . 16．（24-25高二下·北京通州·期末）已知函数，若关于x的方程有三个相异的实数根，则a的取值范围是 ． 17．（2025高二下·天津南开·学业考试）若函数有一个零点，则实数的取值范围是 . 18．（北京市北京师范大学附属中学2023届高三下学期三模测试数学试题）设函数．若，则满足的的一个取值为 ；若恰有3个零点，则实数的取值范围是 ． 19．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则函数有 个零点． 四、解答题 20．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数 (1)求关于的不等式的解集； (2)若函数在时存在零点，求实数的取值范围． 21．（24-25高一上·江苏·阶段练习）已知 (1)求证：在上存在零点； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 22．（24-25高一上·山东·阶段练习）某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量（毫克）与开始注射后的时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线，与的函数关系为且.根据图中提供的信息： (1)写出开始注射该药后每升血液中药物含量（毫克）关于时间（小时）的函数关系式； (2)据测定：每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？（结果保留小数点后两位）.（参考值：） 23．（24-25高一上·黑龙江绥化·阶段练习）已知函数，若． (1)求的值； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲：函数的应用（二） 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　函数的零点 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 方程、函数、图象之间的关系： 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点． 知识点二　函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点 方程f(x)＝0的实数解⇔函数y＝f(x)的零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标． 知识点三　函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间 (a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 知识点四　二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解． 知识点五　用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 1． 确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. 2． 2．求区间(a，b)的中点c. 3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 【例题详解】 题型一、求函数的零点或者参数 1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的零点是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】令，结合对数解方程即可得结果. 【详解】令，即， 可得，即， 所以函数的零点是0. 故选：A. 2．（2024高二下·福建·学业考试）已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用零点的定义代入计算即得. 【详解】依题意，，即，所以. 故选：C 3．（12-13高一下·江苏盐城·期中）已知函数，若函数只有一个零点，则a的值是 . 【答案】0或 【分析】运用零点概念，分类讨论计算即可. 【详解】函数，若函数只有一个零点,即只有一个根. 当，解得，满足题意. 当，解得，此时方程有两个相同的实数根，满足题意. 综上，a的值是0或. 故答案为：0或. 题型二、零点存在性定理的应用 4．（2026高三·全国·专题练习）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在定理求解即可. 【详解】因为，，且为增函数，所以的零点所在的区间为. 故选：C. 5．（24-25高一上·北京顺义·期末）函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别计算各选项区间端点处函数值，再根据零点存在定理判断零点所在区间. 【详解】将代入函数， . 把代入函数，则. 由于，，满足，且内图像连续，根据零点存在定理可知函数在区间内有零点. 故A正确. 将代入函数，得到. 因为，，则，所以函数在区间不一定有零点. 把代入函数，可得. 由于，，即，所以函数在区间内不一定有零点. 将代入函数，得到. 因为，，则，所以函数在区间内不一定有零点. 再由于中，时，单调递增，单调递增，则时，随着变大增大. 综上所得，函数的零点所在的大致区间是， 故选：A 6．（2025·山东·模拟预测）函数的零点为 . 【答案】5 【分析】令，得解出即可求解. 【详解】令，得，所以，解得或（舍去）. 故答案为：5. 题型三、根据零点所在的区间求参数范围 7．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 8．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由零点存在定理求解． 【详解】易知在上是增函数， 它的零点在区间上， 则，解得， 故选：C． 9．（24-25高一下·上海·期中）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由函数有零点转化成函数与在区间上有交点，结合图象，易得不等式组，解之即得. 【详解】由可得， 则函数在区间上有零点等价于函数与在区间上有交点， 因在区间上为减函数，在区间上为增函数，如图所示. 由图知，需使，即，解得. 故答案为：. 题型四、根据函数零点个数求参数范围 10．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分析函数的性质并作出其图象，数形结合求出实数的取值范围. 【详解】当时，函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为； 当时，在上递增，函数值集合为R， 在直角坐标系内作出函数的图象与直线，    由图象知，当或时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程有两个实数解. 故选：C. 11．（24-25高一下·四川泸州·期末）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意将问题转换为在上有解，故只需求函数在上的值域即可. 【详解】， 由题意关于的方程在上有解， 令，因为在单调递增， 所以在单调递增， 又因为在单调递增，所以在单调递增， 而，当时，， 所以，故的取值范围为. 故选：A. 12．（24-25高三下·北京·阶段练习）若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】分析该分段函数在各段上的零点情况，将问题转化为直线与在上有一个交点的问题，结合函数的图象即得参数的范围. 【详解】当时，由可得， 依题意， 时， 有1个零点， 即方程在上有一个实根， 也即直线与在上有一个交点. 如图作出函数的图象. 因在上单调递增，由图可知，此时. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 题型五、二分法概念的理解 13．（24-25高一上·辽宁大连·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由零点存在性定理即可判断； 【详解】因为，， 所以零点所在的区间，再计算的符号， 故选：C 14．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用二分法计算方法判断即可. 【详解】函数，， ，函数的零点在内； ，函数的零点在内； ，函数的零点在内. 故选：A 15．（2025高三下·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【分析】结合结论二分法只能求变号零点，结合图象确定正确选项. 【详解】根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点， 观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项BCD中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点， 所以选项A中函数不能用二分法求零点． 故选：A. 题型六、用二分法求方程的近似解 16．（2025高一·全国·专题练习）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【分析】根据二分法求方程的的近似解以及零点存在定理得出零点存在区间即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内. 结合选项可知，方程的近似解可取为1.8. 故选：C. 17．（21-22高一上·全国·课后作业）已知函数在区间上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度)的近似值，那么将区间等分的次数至少是 .此时规定只要零点的存在区间满足，则可用作为零点的近似值，由此求得 . 【答案】 5 【分析】根据二分法的计算过程可知，则；进而依次计算第一、二、三、四、五次的区间，由即可求解. 【详解】开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过次操作后，区间长度变为，故有，即， 因为，所以. 故计算5次就可满足要求，所以将区间等分的次数至少是5次. 因为，所以第一次得到的区间为； 因为，所以第二次得到的区间为； 因为，所以第三次得到的区间为； 因为，所以第四次得到的区间为； 因为，所以第五次得到的区间为， 因为， 所以函数零点为. 故答案为：5；. 18．（21-22高一上·全国·课后作业）在用二分法求方程在上的近似解时，经计算，，，，即可得出方程的一个近似解为 （精确度为0.2）. 【答案】0.6875 【分析】根据二分法的计算过程即可求解. 【详解】因为，， 所以可作为方程的近似解. 故答案为：0.6875. 题型七、根据指对幂的零点分布求参数 19．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数与函数的零点分别为，，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数，，的图象，数形结合，得到，，再结合对数的运算法则，求的取值范围. 【详解】在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象， 如图所示：    可以发现，，. 又，， 则，所以. 故选：A 20．（2025·河南·模拟预测）已知函数存在，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，依题意即函数与直线的交点横坐标，利用函数解析式，结合图象易得，，，利用二次函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】作出函数的图象，设，依题意，， 且，，解得，， 故，因函数在上单调递减，故， 即的取值范围是. 故答案为：. 21．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数若，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数图象，观察得出的关系及范围，然后把化为一个变量的函数，再求得范围． 【详解】作出的图象，如图所示．由，得，， 则，，则，， 令，，则， 当时，函数的取值范围是． 故答案为：．    题型八、函数模型的应用 22．（北京市北京师范大学附属中学2023届高三下学期三模测试数学试题）用于测量视力情况的视力表通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知甲、乙两人视力的五分记录法的数据分别为和，乙视力的小数记录法的数据为，则甲视力的小数记录法的数据为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代值计算即可. 【详解】由题可知：. 故选：C 23．（24-25高二下·陕西渭南·期末）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中k为常数，在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由条件列方程求，再求对应条件下的时间增加量即可. 【详解】由题意得， 所以，所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时， 训练时间增加为（小时）. 故选：C. 24．（2025高三·全国·专题练习）人类已进入大数据时代，目前，数据量已经从级别跃升到乃至级别．国际数据公司研究表明，数据量与时间（单位：年）之间满足关系式：．已知第1年（2008年）全球产生的数据量约为，第2年全球产生的数据量约为．那么从第（    ）年开始全球产生的数据量不低于． A．19 B．18 C．17 D．16 【答案】D 【分析】先根据关系式和题设条件求出参数，依题列出不等式，运用指对数互化和对数的运算性质计算即得． 【详解】由题意得解得所以，令， 则，两边同时取以10为底的对数可得， 即，所以，所以取， 即从第16年开始全球产生的数据量不低于． 故选：D 题型九、函数的零点和方程综合 25．（23-24高一下·云南昭通·期末）函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的零点即可. 【详解】当时，，解得；当时，，解得， 所以函数的零点和为7. 故选：B 26．（24-25高一上·北京平谷·期中）设函数，的单调递减区间是 ；若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是 ． 【答案】 （区间开闭均可） 【分析】画出图形，结合图象即可得单调区间；根据图形分析可得，进而求出范围. 【详解】解：作出函数图像如下 由图象可知的单调递减区间是（区间开闭均可）； 若互不相等的实数，，满足 不妨设，则关于对称，所以 根据图像可得 所以，所以的取值范围为. 故答案为：（区间开闭均可）；. 27．（2025·江苏盐城·三模）设函数，若关于的方程的解的个数是 【答案】5 【分析】求出或2，分别求出和时的解，得到答案. 【详解】或2， 当时，若，则，无解， 若，，故或，解得或， 当时，若，则，解得， 若，，故或，解得或， 所以方程的解的个数有5个. 故答案为：5 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）二次函数有零点的充要条件的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为方程在上有实数根，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由二次函数有零点，即方程在上有实数根， 则满足，解得， 即二次函数有零点的充要条件为. 故答案为：B. 2．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和零点存在定理计算判断即得. 【详解】在上单调递增，，在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， ，， 函数的唯一零点所在的区间是. 故选：B. 3．（23-24高一下·河南漯河·期末）函数，则“”是“函数在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】首先得出“函数在上存在零点”的充要条件是的取值范围是，进一步结合必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】设方程即方程在上存在零点， 令，显然在上单调递减， 而，所以的值域为， 所以函数在上存在零点当且仅当的取值范围是， 所以“”是“函数在上存在零点”的必要不充分条件. 故选：C. 4．（24-25高一下·云南昆明·期中）Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ） （参考数据：，） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可． 【详解】由于，所以， 依题意，则， 则，由， 所以，即， 所以所需的训练迭代轮数至少为16次． 故选：C. 5．（2025·山西吕梁·三模）已知函数有三个零点，则三个零点之和为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】通过换元法将函数转化为关于新变量的方程，再求解新变量，进而得到原函数的零点，最后求出三个零点之和. 【详解】令，则，函数可转化为. 因为函数有三个零点，所以函数也有三个零点. 是偶函数，其图象关于轴对称. 因为有三个零点，根据偶函数的性质可知，必有一个零点为. 将代入中，可得，即，因式分解得. 因为，所以，解得. 当时，. 当时，，令，即，因式分解得，解得或. 因为是偶函数，所以当时，，令，即，因式分解得，解得或. 所以的三个零点为，，. 因为，，所以当时，；当时，；当时，. 即的三个零点为，，. 三个零点之和为. 故选：D. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知1是函数的一个零点，则函数的所有零点之和为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用求得，再由求得所有零点，进而求得正确答案. 【详解】由，得，则， 由 . 解得或， 所以函数的所有零点之和为2． 故选：B 7．（2026高三·全国·专题练习）已知函数则的所有零点之和为（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】D 【分析】先求解方程的根，再求和即可求解. 【详解】当时，由，得 当时，由，得或， 所以四个零点和为， 故选：D 8．（24-25高二下·天津和平·期末）已知函数的零点分别是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，分别计算，由零点存在性定理得的范围，从而比较的大小关系. 【详解】令得，因为，所以即； ，因为，所以，所以， 又在R上单调递减，由零点存在性定理得； ，因为，所以，所以， 又函数在上单调递减，由零点存在性定理得， 所以， 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）下列函数中能用二分法求零点近似值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，由二分法的定义，可以用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的两侧函数值异号，检验各个选项中的函数，从而得出结论。 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确； 对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确； 对于 ，，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，不能用二分法求零点，故选项错误； 对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确； 故选：． 10．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知，分别是函数和的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由零点为交点横坐标，零点为交点横坐标，结合关于对称，的图象关于对称，数形结合得到，即可判断各项正误. 【详解】由题设，零点为交点横坐标；零点为交点横坐标； 由关于对称，的图象关于对称， 所以，关于对称，的图象如下： 所以点与点关于对称，即， 故，，，A、B、D对； 若，即，此时，与矛盾，C错. 故选：ABD 11．（24-25高二下·浙江宁波·期中）设函数，下列命题中正确的有（    ） A．时，是奇函数 B．时，方程只有一个实根 C．的图象关于对称 D．方程至多有两个实根 【答案】ABC 【分析】求得，由奇函数的定义判断A；由，代入可得，令，通过解方程判断B；根据中心对称的条件进行证明是否满足即可判断C；举出反例如，确定方程的根的个数即可判断D. 【详解】对于A，，，定义域为， 所以， 则是奇函数，故A正确； 对于B，，令可得， 则方程只有一个实根，故B正确； 对于C，设函数上的任意一点关于点对称的点， 则．代入可得， 所以的图象关于对称，故C正确； 对于D，当，，的根有，，， 此时方程有三个实根，故D错误. 故选：ABC. 12．（24-25高一下·云南昆明·期末）若正数满足，则的大小关系可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意令，分别作，，的图象，然后利用数型结合从而可求解. 【详解】由题意令，分别作，，的图象，如图， 当时，可得，故D正确； 当时，可得，故C正确； 当时，可得，故A正确； 因为都为正数，所以结合图形不存在这种情况，故B错误； 故选：ACD. 13．（24-25高二下·陕西汉中·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象是轴对称图形 B．在上单调递增 C．的值域为 D．恰有两个零点 【答案】ABD 【分析】根据判断A；根据复合函数的单调性、值域判断BC；根据函数零点的定义求解判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为， 故的图象关于直线对称，A正确； 对于B，由， 因为在上单调递增，且在其定义域内单调递增， 所以在上单调递增，B正确； 对于C，当时，，故的值域为，C错误； 对于D，令，则，解得， 则有两解，且这两个解均在内，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 14．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）函数的零点在区间内，则正整数 . 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【详解】因为定义域为， 又与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，， 所以，所以在上存在唯一零点，所以. 故答案为： 15．（24-25高一下·贵州遵义·期中）已知是函数的零点，则 . 【答案】 【分析】根据零点定义可得，根据，代入化简即可得解. 【详解】因为是函数的零点， 所以，所以， 所以. 故答案为： 16．（24-25高二下·北京通州·期末）已知函数，若关于x的方程有三个相异的实数根，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】原题意等价于与的图象有3个不同的交点，作出的图象，结合图象即可得结果. 【详解】关于x的方程有三个相异的实数根， 等价于与的图象有3个不同的交点， 作出的图象，如图所示： 由图可得时与的图象有3个不同的交点， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 17．（2025高二下·天津南开·学业考试）若函数有一个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令有，即与的图像只有一个交点，作出的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】令有，所以与图像只有一个交点， 作出的图像， 由图可有或，即或， 所以， 故答案为：. 18．（北京市北京师范大学附属中学2023届高三下学期三模测试数学试题）设函数．若，则满足的的一个取值为 ；若恰有3个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 （取内任意一个数即可） 【分析】当时，分情况解不等式即可；当时，求出零点，由恰有3个零点，可得且，从而可求出实数的取值范围. 【详解】当时，， 当时，由，得，则，所以， 当时，由，得，， 所以或，解得或， 因为，所以， 综上， 所以满足的的一个取值可以为（取内任意一个数即可）； 当时，方程无解，所以不可能有3 个零点， 所以， 当时，由，得（舍去）， 当时，由可得或， 因为恰有3个零点，所以，解得， 实数的取值范围是. 故答案为：（取内任意一个数即可）； 19．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则函数有 个零点． 【答案】7 【分析】设，则等价于，作出函数的图象，由图可得有3个根，再根据结合函数的图象得出交点的个数即可. 【详解】令，则，设，则方程化为， 函数的零点个数即为方程解的个数， 二次函数的图象开口向上，过点，对称轴为，最小值为， 作出函数的图象，如图， 由图知有3个根，当时，，解得； 当时，，解得， 在方程中，当时，有1个解，有2个解，共3个解； 当时，有1个解，有2个解，共3个解； 当时，有1个解，无解，共1个解， 所以函数有7个零点. 故答案为：7 四、解答题 20．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数 (1)求关于的不等式的解集； (2)若函数在时存在零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）原不等式等价于，分，与三种情况解不等式即可. （2）原命题等价于有实根，令，令，，，利用对勾函数的性质求得在上的值域即可得到a的取值范围. 【详解】（1）由得，即， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为 （2）因为在时存在零点， 在时存在实根， 即方程有实根， 令， 令，，， 由对对勾函数性质知，在上单调递减，在单调递增. ，，， 所以. 21．（24-25高一上·江苏·阶段练习）已知 (1)求证：在上存在零点； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先判断函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可； （2）结合（1）的单调性可知对任意的，不等式恒成立，参变分离，结合基本不等式计算可得，需注意. 【详解】（1）函数的定义域为， 又与均在上单调递增， 所以在上单调递增，且为连续函数， 又，， 所以，所以在上存在唯一零点， 即在上存在零点； （2）由（1）可知在上单调递增， 因为对任意的，不等式恒成立， 所以对任意的，不等式恒成立， 即对任意的，不等式恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 又，所以， 所以，即实数的取值范围为. 22．（24-25高一上·山东·阶段练习）某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量（毫克）与开始注射后的时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线，与的函数关系为且.根据图中提供的信息： (1)写出开始注射该药后每升血液中药物含量（毫克）关于时间（小时）的函数关系式； (2)据测定：每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？（结果保留小数点后两位）.（参考值：） 【答案】(1) (2)2.81小时 【分析】（1）分、两种情况讨论，利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式，分段解不等式，求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）当时，设，将代入得， 解得，此时； 当时，设且，将､代入，得， 解得，此时. 综上可得. （2）当时，令，解得； 当时，令，即 而，故 药效时间， 所以药效时间约为小时. 23．（24-25高一上·黑龙江绥化·阶段练习）已知函数，若． (1)求的值； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分段函数解析式，利用相应段的解析式，代入求值，即得答案； （2）作出函数的图象，将函数的零点个数问题转化为函数图象的交点问题，即可得答案. 【详解】（1）由于，故； （2）作出函数的图象如图： 函数有三个零点，等价于的图象有3个交点， 结合图象可知，即的取值范围为. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$