第14讲：指数【五大题型】-【初升高暑假衔接】2025-2026学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第14讲：指数 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　根式 (1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根． (2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a，当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 知识点二　分数指数幂 正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 知识点三　指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr ； (a>0，b>0，r，s∈R)． 【例题详解】 题型一、指数和指数幂的运算 1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 【答案】12 【分析】根据指数幂的运算，即可得答案. 【详解】由题意得， 故答案为：12 2．（2023高二·山西·学业考试） ． 【答案】 【分析】根据指数幂的性质进行计算. 【详解】原式 故答案为： 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】11 【分析】变形得到，两边平方得. 【详解】因为，所以，， 两边平方得， 故. 故答案为：11 题型二、利用根式的性质化简或求值 4．（23-24高一上·广东广州·期中）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．16的4次方根是 B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用根式的定义即可求解. 【详解】 对于A，16的4次方根有两个，为，故A正确； 对于B，负数的3次方根是一个负数，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，是非负数，所以，故D正确． 故选：AD. 5．（2021高一·全国·专题练习）若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把等式左边变形为，结合，可得，则答案可求. 【详解】解：由， 可得，即．实数的取值范围是． 故选：． 6．（23-24高一上·全国·课后作业）计算下列各式． （1）＝ ； （2）＝ ； （3）＝ . 【答案】 【分析】（1）根据根式的运算性质直接求解即可； （2）根据根式的运算性质直接求解即可； （3）先化带分数为假分数、小数化分数，再根据根式的运算性质直接求解即可； 【详解】（1）. （2）. （3）. 故答案为：（1）；（2）；（3） 题型三、根式与分数指数幂的互化 7．（2025高三下·全国·专题练习）设，，是正整数，且，则下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合指数幂的运算性质逐项判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确； 故选：A. 8．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）下列各式错误的是（    ） A． B． C．（） D． 【答案】ABC 【分析】A选项，举出反例；BCD选项，根据指数幂的运算法则和根式的运算法则得到答案. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，时显然等式不成立，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABC. 9．（23-24高一上·广东广州·期中）用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤. (1)； (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）（2）将根式化为分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得. 【详解】（1）. （2）. 题型四、运用指数幂运算公式化简求值 10．（24-25高二下·广西·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B． C． 【答案】A 【分析】根据指数运算律计算求解. 【详解】因为，则. 故选：A. 11．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据实数指数幂的运算性质，逐项计算，即可求解. 【详解】，A正确； ，B正确； ，因为，，所以，C错误； ，D正确． 故选：ABD． 12．（24-25高一上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】根据根式、指数运算来求得正确答案. 【详解】（1）原式． （2）原式 ． （3）原式. 题型五、分数指数幂运算的综合应用 13．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把根式化成分数指数幂，进而计算即可. 【详解】原式． 故选:A. 14．（2024高三·全国·专题练习）化简： . 【答案】 【分析】先将根式化为分数指数幂，然后由幂的运算化简可得. 【详解】  . 故答案为：. 15．（2025高三·全国·专题练习）（1）求值：； （2）已知，求的值； （3）求值：； （4）求值：. 【答案】（1）32；（2）；（3）73；（4） 【分析】（1）（3）（4）根据指数的运算即可求出答案，（2）通过，及即可求结果. 【详解】（1）原式； （2）由， ∵，∴，， ∴. 故. （3） . （4） . 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课前预习）化简的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算化简求解即可. 【详解】． 故选：B 2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根式化简及零指数意义逐项化简判断. 【详解】对于A，，当时，无意义，故A错误； 对于B，由，故B正确； 对于C，由，故C错误； 对于D，由，故D错误. 故选：B. 3．（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】A 【分析】应用指数幂运算的性质化简求值. 【详解】由. 故选：A 4．（24-25高一上·全国·周测）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助指数幂的运算法则计算即可得. 【详解】对A：，，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误. 故选：A． 5．（18-19高一上·天津·期中）化简（其中）的结果是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分数指数幂化简即可. 【详解】=,选C. 【点睛】本题考查分数指数幂运算,考查基本求解能力,属基础题. 6．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，根据的正负求出. 【详解】根据题意，得， 因为，所以． 故选：D. 7．（24-25高一上·全国·周测）若，，则下列式子值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数幂的运算性质化简可得结果. 【详解】因为，，所以，， 所以， 故选：C． 8．（2025高一上·浙江杭州·专题练习）设均为不等于1的正数，且，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】由题可知，，然后可得即可求解. 【详解】，，， 即，又均为不等于1的正数， 所以. 故选：C. 9．（24-25高二下·天津河东·期末）已知 则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的定义结合指数运算判断即可. 【详解】已知 当时，，所以， 当，根式没有意义， 则p是q的充分不必要条件. 故选：A. 10．（2025·甘肃金昌·二模）已知函数且，则（    ）. A．. B．. C．2. D．4. 【答案】D 【分析】代入中求出的值，在利用分段函数代入求出即可. 【详解】由题可知， 解得，则. 故选：D. 11．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由指数幂的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误； 故选：C 12．（23-24高一上·湖北武汉·开学考试）已知，且，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析：由二次根式有意义的条件以及，且，可确定出的正负情况，再依据进行化简，最后化简绝对值即可. 【详解】解：有意义，，， 又，，，. 故选：A. 13．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【答案】C 【分析】由可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 14．（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）已知、，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为、，且，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值是. 故选：B. 二、多选题 15．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列运算结果中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据指数运算律计算求解判断各个选项. 【详解】A选项，，正确； B选项，，错误； C选项，当时，，当时，，错误； D选项，，正确. 故选：AD. 16．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据分数指数幂与根式的互化逐项判断. 【详解】对于A，，故A不正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 17．（24-25高一上·福建福州·期中） ． 【答案】0 【分析】利用分数指数幂的运算法则得到答案. 【详解】. 故答案为：0 18．（24-25高一上·天津·期中）计算： . 【答案】 【分析】由指数幂、根式的运算性质化简求值. 【详解】. 故答案为： 四、解答题 19．（2025高三·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】利用指数的运算律即可计算得结果. 【详解】原式 ． 20．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期中）（1）计算的值； （2）已知，则的解析式. 【答案】（1），（2） 【分析】（1）利用分数指数幂求解即可. （2）利用换元法求解函数解析式即可. 【详解】（1） . （2）， 令，则， 所以. 21．（24-25高一上·全国·课后作业）化简求值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指数幂的运算法则，以及根式与指数幂的互化公式,即可求解； （2）根据指数幂的运算法则，以及根式与指数幂的互化公式，即可求解； （3）利用同底数幂的乘法和除法法则运算即可. 【详解】（1）原式 ； （2）原式； （3）原式. 22．（24-25高一上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)已知，化简. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分析的正负，再根据的奇偶进行分类讨论即可； （2）先分析的正负，再根据的奇偶进行分类讨论即可. 【详解】（1）， 当为偶数时，；当为奇数时，； 综上所述，. （2）， 当是奇数时，原式； 当是偶数时，原式； 综上所述，. 23．（24-25高一上·福建漳州·期中）化简求值： (1) (2) (3)已知，求的值; 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则，即可得到答案； （2）根据幂的运算法则，即可得到答案； （3）由完全平方和公式，即可得到答案. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）因为，所以. 24．（25-26高一·上海·假期作业）已知 ，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式进行求解； （2）利用立方和公式对已知条件进行变形求解. 【详解】（1）因为 ，所以   即 ，. . 因为 ，所以 ，则 . （2）. 已知，所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲：指数 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　根式 (1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根． (2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a，当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 知识点二　分数指数幂 正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 知识点三　指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr ； (a>0，b>0，r，s∈R)． 【例题详解】 题型一、指数和指数幂的运算 1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 2．（2023高二·山西·学业考试） ． 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则 ． 题型二、利用根式的性质化简或求值 4．（23-24高一上·广东广州·期中）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．16的4次方根是 B． C． D． 5．（2021高一·全国·专题练习）若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·全国·课后作业）计算下列各式． （1）＝ ； （2）＝ ； （3）＝ . 题型三、根式与分数指数幂的互化 7．（2025高三下·全国·专题练习）设，，是正整数，且，则下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）下列各式错误的是（    ） A． B． C．（） D． 9．（23-24高一上·广东广州·期中）用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤. (1)； (2) 题型四、运用指数幂运算公式化简求值 10．（24-25高二下·广西·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B． C． 11．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 题型五、分数指数幂运算的综合应用 13．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024高三·全国·专题练习）化简： . 15．（2025高三·全国·专题练习）（1）求值：； （2）已知，求的值； （3）求值：； （4）求值：. 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课前预习）化简的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． 4．（24-25高一上·全国·周测）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（18-19高一上·天津·期中）化简（其中）的结果是 A． B． C． D． 6．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·全国·周测）若，，则下列式子值为的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025高一上·浙江杭州·专题练习）设均为不等于1的正数，且，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 9．（24-25高二下·天津河东·期末）已知 则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2025·甘肃金昌·二模）已知函数且，则（    ）. A．. B．. C．2. D．4. 11．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·湖北武汉·开学考试）已知，且，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 14．（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）已知、，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 15．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列运算结果中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 17．（24-25高一上·福建福州·期中） ． 18．（24-25高一上·天津·期中）计算： . 四、解答题 19．（2025高三·全国·专题练习）计算：． 20．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期中）（1）计算的值； （2）已知，则的解析式. 21．（24-25高一上·全国·课后作业）化简求值： (1)； (2)； (3). 22．（24-25高一上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)已知，化简. 23．（24-25高一上·福建漳州·期中）化简求值： (1) (2) (3)已知，求的值; 24．（25-26高一·上海·假期作业）已知 ，求： (1)； (2)． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$