4.1 指数-2024-2025学年高一数学暑假预习（人教A版2019必修第一册）

4.1 指数 知识点一 由根式的意义求范围 【解题思路】对于，当n为偶数时，要注意两点 (1)只有a≥0才有意义． (2)只要有意义，必不为负． 【例1】（2023高一·江苏·专题练习）若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式】 1.（2024广东湛江）若有意义，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．（2024湖北黄冈）已知a∈R，n∈N*，给出四个式子：①；②；③；④，其中没有意义的是________.(只填式子的序号即可) 3．（2023吉林松原·阶段练习）若代数式有意义，则 . 知识点二 利用根式的性质化简或求值 【解题思路】1.正确区分与()n (1)( )n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围． (2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性． 2.有限制条件根式的化简 (1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负． 【例2-1】（23-24高一上·江苏无锡·期中）当有意义时，化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【例2-2】（2023高三·全国·专题练习）求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 【变式】 1．（23-24高一上·甘肃兰州·期中）（多选）若，化简的结果可能为（    ） A． B． C． D． 2．（2023高一上·全国·专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 3．（22-23高一·全国·课堂例题）化简下列各式： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 知识点三 根式与分数指数幂的互化 【解题思路】根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 【例3-1】（22-23高一·全国·课堂例题）求值： (1)；(2)；(3)；(4)． 【例3-2】（2024·上海高一专题练习）将下列根式化成有理数指数幂的形式： （1）（a>0）； （2）（x>0）； （3）（b>0）. 【变式】 1．（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023高一·全国·专题练习）（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 3．（2024福建）用有理数指数幂的形式表示下列各式（a>0，b>0）. （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 知识点四 利用分数指数幂的运算性质化简求值 【解题思路】指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质． 【例4-1】（22-23高一·全国·随堂练习）化简（式中的字母均为正实数）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【例4-2】（2024高三·全国·专题练习）计算下列各式. (1)； (2) (3)； (4)； (5)； (6)； 【变式】 1．（23-24高一上·广东广州·期中）计算下列各式： (1)； (2) (3)； (4) (5)； (6)． 2．（23-24高一上·广东广州·期中）用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤. (1)； (2) （3） （4）   （5）(). 知识点五 整体代换法求分数指数幂 【解题思路】利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式． 【例5 】（22-23高一·全国·随堂练习）已知，求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4) 【变式】 1．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知，求下列各式的值. (1)(2)(3) 2．（2013北京）已知，且，求下列代数式的值： (1)；(2)；(3)． （注：立方和公式） 3．（2024上海）（1）若，求的值； （2）已知，求的值． 1． 单选题 1．（2024广东潮州）设a>0，b>0，化简的结果是（ ） A． B． C． D．-3a 2．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列关于的形式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川雅安·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024广东）若xn＝a（x≠0），则下列说法中正确的个数是（ ） ①当n为奇数时，x的n次方根为a； ②当n为奇数时，a的n次方根为x； ③当n为偶数时，x的n次方根为±a； ④当n为偶数时，a的n次方根为±x. A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024江苏）计算结果正确的是（　　） A．﹣6x2y3÷x2y2=﹣12y B． C．16x5y7÷（﹣2x3y2）=﹣32x2y5 D． 7．（2025·南京 ）已知，则下列运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·辽宁·期末）人们发现，可以通过公式来求方程（均为正实数）的正实数根.例如，方程的正实数根为，我们知道是的唯一正实数根，所以，这里规定.根据以上材料可得（    ） A．3 B．6 C．9 D．4 2． 多选题 9．（23-24高一上·广东广州·期中）下列说法中正确的是（    ） A．16的4次方根是 B． C． D． 10．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期中）若，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D．1 11．（22-23高一上·甘肃庆阳·期末）若，化简的结果可能（    ） A． B．. C． D． 3． 填空题 12．（2022高一下·江苏南京·竞赛），求 ． 13．（22-23高一下·河北石家庄·阶段练习）若，则 . 14．（22-23高一·全国·假期作业）化简： ． 4． 解答题 15．（22-23高一·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 16．（2023高一·全国·专题练习）计算下列各式的值. (1) (2) (3) (4)； (5). (6)计算：； 17．（2024·江苏）（1）已知，且，求下列代数式的值． ①；②；③． （2）已知，计算：； （3）设，，求的值． 18．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列各式的值. (1)若，求； (2)已知，求的值； (3)若，求； (4)若，求. 19（2022·全国·高一课时练习）计算： （1） （2） (3)； (4)； (5)； (6) (7)； (8)； (9). （10） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1 指数 知识点一 由根式的意义求范围 【解题思路】对于，当n为偶数时，要注意两点 (1)只有a≥0才有意义． (2)只要有意义，必不为负． 【例1】（2023高一·江苏·专题练习）若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由有意义，得，解得，所以a的取值范围是.故选：B 【变式】 1.（2024广东湛江）若有意义，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，要使得有意义，则满足，解得， 即实数的取值范围为．故选：B． 2．（2024湖北黄冈）已知a∈R，n∈N*，给出四个式子：①；②；③；④，其中没有意义的是________.(只填式子的序号即可) 【答案】③ 【解析】①中，(－2)2n>0，∴有意义； ②中，根指数为5，∴有意义； ③中，(－3)2n＋1<0，∴没有意义； ④中，根指数为9，∴有意义. 故答案为：③ 3．（2023吉林松原·阶段练习）若代数式有意义，则 . 【答案】8 【解析】因为代数式有意义，所以且，故， 所以，故答案为：8. 知识点二 利用根式的性质化简或求值 【解题思路】1.正确区分与()n (1)( )n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围． (2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性． 2.有限制条件根式的化简 (1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负． 【例2-1】（23-24高一上·江苏无锡·期中）当有意义时，化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为有意义，所以，则， 则，故选：C. 【例2-2】（2023高三·全国·专题练习）求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)10(3)(4) 【解析】（1）． （2）． （3）． （4）． 【变式】 1．（23-24高一上·甘肃兰州·期中）（多选）若，化简的结果可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题意知，即，即， 故或， 则， 故选：AC 2．（2023高一上·全国·专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】，要使成立， 需解得，即实数a的取值范围是，故答案为：. 3．（22-23高一·全国·课堂例题）化简下列各式： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 【答案】(1)(2)2(3)(4)(5) 【解析】（1）由题意得； （2） （3） （4）由于，则，故； （5）. 知识点三 根式与分数指数幂的互化 【解题思路】根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 【例3-1】（22-23高一·全国·课堂例题）求值： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)8(2)3)27(4) 【解析】（1）由题意得； （2） （3） （4）. 【例3-2】（2024·上海高一专题练习）将下列根式化成有理数指数幂的形式： （1）（a>0）； （2）（x>0）； （3）（b>0）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）原式====. （2）原式======. （3）原式===. 【变式】 1．（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 2．（2023高一·全国·专题练习）（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】BC 【解析】对于A，（），故A错误； 对于B，（），故B正确； 对于C，（），故C正确； 对于D，，而无意义，故D错误. 故选：BC 3．（2024福建）用有理数指数幂的形式表示下列各式（a>0，b>0）. （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 【解析】（1）原式=. （2）原式=. （3）原式=. （4）原式=. （5）原式=. （6）原式====. 知识点四 利用分数指数幂的运算性质化简求值 【解题思路】指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质． 【例4-1】（22-23高一·全国·随堂练习）化简（式中的字母均为正实数）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) 【解析】（1）解：根据指数幂的运算法则，可得. （2）解：根据指数幂的运算法则，可得. （3）解：根据指数幂的运算法则，可得. （4）解：根据指数幂的运算法则，可得. （5）解：根据指数幂的运算法则，可得. （6）解：根据指数幂的运算法则，可得. （7）解：根据指数幂的运算法则，可得. （8）解：根据指数幂的运算法则，可得. 【例4-2】（2024高三·全国·专题练习）计算下列各式. (1)； (2) (3)； (4)； (5)； (6)； 【答案】(1)(2)(3)44)(5)(6) 【解析】（1）解：由指数幂的运算法则和运算性质，可得： . （2）解：由指数幂的运算法则和运算性质，可得： . （3）解：由指数幂的运算法则和运算性质，可得： . （4）解：由指数幂的运算法则和运算性质，可得： . （5）解：由指数幂的运算法则和运算性质，可得： . （6）解：由指数幂的运算法则和运算性质，可得： . 【变式】 1．（23-24高一上·广东广州·期中）计算下列各式： (1)； (2) (3)； (4) (5)； (6)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)5(6) 【解析】（1）原式. （2）原式. （3）； （4） （5）原式； （6）原式． 2．（23-24高一上·广东广州·期中）用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤. (1)； (2) （3） （4）   （5）(). 【答案】(1)(2)1（3）（4） 【解析】（1）. （2） . （3）. （4） . （5） . 知识点五 整体代换法求分数指数幂 【解题思路】利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式． 【例5 】（22-23高一·全国·随堂练习）已知，求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4) 【答案】(1)(2)(3)(4)或 【解析】（1）因为， 由，所以. （2）因为， 由，所以. （3）因为，且， 由. （4）因为，且，由， 当时，可得； 当时，可得. 【变式】 1．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知，求下列各式的值. (1)(2)(3) 【答案】(1)(2)6(3) 【解析】（1）由，可知， 因为，故. （2）. （3）由（1）知，所以， 又因为，所以， 所以. 2．（2013北京）已知，且，求下列代数式的值： (1)；(2)；(3)． （注：立方和公式） 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）因为，且，所以. . （2）. （3）. 3．（2024上海）（1）若，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）， 则． （2）， 且, ． 1． 单选题 1．（2024广东潮州）设a>0，b>0，化简的结果是（ ） A． B． C． D．-3a 【答案】D 【解析】因为，，所以. 故选：D. 2．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列关于的形式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于，A正确，B，C错误； ，由于无意义，D错误， 故选：A 3．（23-24高一上·四川雅安·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，得，则， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 4．（2024广东）若xn＝a（x≠0），则下列说法中正确的个数是（ ） ①当n为奇数时，x的n次方根为a； ②当n为奇数时，a的n次方根为x； ③当n为偶数时，x的n次方根为±a； ④当n为偶数时，a的n次方根为±x. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】n为奇数时，a的n次方根只有1个，为x；当n为偶数时，由于（±x）n＝xn＝a，所以a的n次方根有2个，为±x.所以说法②④是正确的，故选：B. 5．（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 6．（2024江苏）计算结果正确的是（　　） A．﹣6x2y3÷x2y2=﹣12y B． C．16x5y7÷（﹣2x3y2）=﹣32x2y5 D． 【答案】A 【解析】对于A：左边=，故A正确； 对于B：左边=，故B不正确； 对于C：左边=16x5y7÷（﹣2x3y2）=﹣8x2y5，故C不正确； 对于D：左边=，故D不正确. 故选：A. 7．（2025·南京 ）已知，则下列运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A选项：， ∴， 又， ∴， ∴， 故A错误； B选项：， ∴，故B正确； C选项：，，， ， ，故C错误； D选项：， 故D错误， 故选：B. 8．（23-24高一下·辽宁·期末）人们发现，可以通过公式来求方程（均为正实数）的正实数根.例如，方程的正实数根为，我们知道是的唯一正实数根，所以，这里规定.根据以上材料可得（    ） A．3 B．6 C．9 D．4 【答案】B 【解析】设， 令 解得则即方程的正实数根. 由， 可得. 因为方程的实数根为负数， 所以，即， 故. 故选：B. 2． 多选题 9．（23-24高一上·广东广州·期中）下列说法中正确的是（    ） A．16的4次方根是 B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，16的4次方根有两个，为，故A正确； 对于B，负数的3次方根是一个负数，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，是非负数，所以，故D正确． 故选：AD. 10．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期中）若，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】ABC 【解析】，则，解得． 故选：ABC 11．（22-23高一上·甘肃庆阳·期末）若，化简的结果可能（    ） A． B．. C． D． 【答案】AC 【解析】由化简可得， 所以， 所以或， 又， 所以， 当时，， 当时，， 故选：AC. 3． 填空题 12．（2022高一下·江苏南京·竞赛），求 ． 【答案】 【解析】法一：因为，，所以. 法二：. 故答案为： 13．（22-23高一下·河北石家庄·阶段练习）若，则 . 【答案】 【解析】因为，所以. 故答案为： 14．（22-23高一·全国·假期作业）化简： ． 【答案】 【解析】原式 4． 解答题 15．（22-23高一·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）, （2）, （3）方法一（从外向里化简）    ． 方法二（从里向外化简） ． 16．（2023高一·全国·专题练习）计算下列各式的值. (1) (2) (3) (4)； (5). (6)计算：； 【答案】(1)(2)2(3)18(4)100(5)4(6) 【解析】（1） （2） （3） . （4） . （5） （6） . 17．（2024·江苏）（1）已知，且，求下列代数式的值． ①；②；③． （2）已知，计算：； （3）设，，求的值． 【答案】(1) （2）4；（3）27 【解析】(1)①因为，且，所以 所以. ②. ③ . （2）因为，所以， 所以，所以，                         所以，即，所以， 所以．                         （3）因为，所以，即． 又，所以，即， 由，解得， 故的值为27． 18．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列各式的值. (1)若，求； (2)已知，求的值； (3)若，求； (4)若，求. 【答案】(1) (2)3 (3) (4)4 【解析】（1）利用指数运算法则可知， 将代入可得. （2）易知，又， 所以 （3）化简得， 将代入可得 （4）易知 又，所以 19（2022·全国·高一课时练习）计算： （1） （2） (3)； (4)； (5)； (6) (7)； (8)； (9). （10） 【答案】（1） 1   （2） 3(3)；(4)；(5)；(6).(7)(8)0(9)1（10）110 【解析】（1）原式． （2）原式． (3)原式； (4)原式； (5)原式； (6)原式. (7) ． (8) ． (9)：． （10）原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$