精品解析：云南省昆明市第三中学2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

云南省昆明三中2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．根据一元二次方程的定义逐一判断各方程是否符合条件即可． 【详解】①方程中，未明确说明，因此不一定是二次方程，排除． ②方程含有分式，不是整式方程，排除． ③方程含有两个未知数和，是二元二次方程，排除． ④方程展开后化简为，是一元一次方程，排除． ⑤方程符合一元二次方程的定义，正确． ⑥方程展开后为，是一元二次方程，正确． 综上，符合条件的方程有⑤和⑥，共2个． 故选C． 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数顶点式的性质，形如的抛物线的顶点坐标为，直接代入题目中的常数项即可确定顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 3. 关于x的一元二次方程化为一般式后二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A. 5，3，2 B. ，3， C. 5，3， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式. 先化成一元二次方程的一般形式，再求出答案即可． 【详解】解：转化为一般形式为：， ∴一元二次方程化为一般式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为5，3，， 故选：C． 4. 下列抛物线中，对称轴是直线的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据对称轴公式以及顶点坐标公式进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：选项A：，属于一般式．对称轴公式为，代入，，得，对称轴为，不符合条件． 选项B：，属于顶点式．顶点坐标为，对称轴为，不符合条件． 选项C：，属于一般式．代入，，得，对称轴为，符合条件． 选项D：，代入，，得，对称轴为，不符合条件． 综上，正确答案为C． 故选C． 5. 若a是一元二次方程的一个实数根，则的值是（　　） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的解，将a代入方程得到，再将所求代数式变形为，整体代入计算即可． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个实数根， ∴代入方程得：， 移项得：． 所求代数式为， 可变形为：． 将代入，得： ． 故选D． 6. 关于x一元二次方程的一个根是，则另一个根是（　　） A. -7 B. 6 C. 7 D. -6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系. 利用根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：设另一根为m，根据根与系数的关系可知：， 解得， 故选：A． 7. 根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的解的范围，正确理解题意、掌握求解的方法是关键． 通过观察代数式值在相邻x值之间的符号变化，确定方程解的区间． 【详解】解：对于方程，当代数式值由负变正时，方程在该区间内必有一个解， 根据表格数据：当时，（负数）； 当时，（正数）， 由于代数式值在到之间由负变正，因此方程的解位于区间， 故选：B． 8 把抛物线y＝x2(　　)得到抛物线y＝(x+1)2﹣1． A. 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C 向石平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y= (x+1)2-1的顶点坐标为（-1，-1），然后利用（0，0）平移得到点（-1，-1）的过程得到抛物线的平移过程． 【详解】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=(x+1)2-1的顶点坐标为（-1，-1），因为点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到点（-1，-1）， 所以把抛物线y=向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到抛物线y=(+1)2-1． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 9. 关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　） A. 3 B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，常数项为0且二次项系数不为0，解方程即可确定k的值． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， ∴， 故选：B． 10. 如图，二次函数的图象经过点，抛物线的对称轴是直线，则一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的对称性，先根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴另一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点的横坐标即为二次函数对应的一元二次方程的解即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另一个交点坐标为， ∴一元二次方程的解为． 故选：A． 11. 用配方法解方程时，若将方程变形为，则（　　） A. 18 B. 20 C. 19 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程－配方法，熟知配方法是解题的关键．通过配方法将方程转化为的形式，确定和的值后求和． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 12. 如图是函数的部分图象，已知其对称轴为直线，则当（　　）时，函数值大于0． A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵函数开口向上， ∴当或时，． 故选：A． 13. 学校统计今年近视学生人数是前年近视学生人数的80%，那么这两年平均每年近视学生人数降低的百分率是多少？设平均每年降低的百分率为x，根据题意列方程得（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程. 根据今年近视学生人数是前年近视学生人数的80%，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：D． 14. 如图是二次函数的图象，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称轴是直线，可得，即，即可判断A；根据抛物线开口判断，然后根据对称轴判断，抛物线交y轴于正半轴，，可判断B；由图象知：当时，，可判断C；由图可知时，可判断D． 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，理解题意，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故选项A正确； ∵， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴得：； ∴，故选项B错误； 由图象知：当时，， ∴， ∴，故选项C错误； 由图可知，时， ∴，故选项D错误． 故选：A． 15. 如图是二次函数图象，则下列图象可能是一次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据二次函数图象可以判断，从而可以判断一次函数的图象过第一、二、四象限，从而可以解答本题． 【详解】解：由二次函数图象可得， ， ∴一次函数的图象过第一、二、四象限， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若关于x的一元二次方程有实数根，则p的取值范围是 ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是根据题意列出关于p的不等式． 根据关于x的一元二次方程有实数根，可得且，据此求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且，即， ∴， 故答案为：． 17. 若是关于的二次函数，则的值为 _______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义易得，且，解得的值即可得到答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， 解得， 故答案为：． 18. 关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数关系．根据方程有两不同实数根，得，求得再根据得，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不同实数根， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 19. 若抛物线与x轴只有一个公共点，则 __________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，结合抛物线与x轴只有一个交点，得出，解出，即可作答． 【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴令，则， ∴， 解得． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法求解． （1）将方程左边因式分解为，再求解． （2） 利用直接开平方法将原方程转化为两个一元一次方程，再求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 则或， 解得； 【小问2详解】 ∵， ∴或， 解得，． 21. 如图．已知抛物线，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A在点B左侧． （1）求点A、B、C的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是正确的求出交点的坐标： （1）分别令求出点A、B、C的坐标即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，，当时，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴的面积． 22. 某数学小组对根与系数的关系进行探究，关于x的方程有n个实数根，且有．其中为该方程各项系数．当时，这一性质也称作韦达定理． 设：当时，有方程， 该方程有两个实数根和，且， 展开得， 即， 又由题知， 则， 故，． 当，求式子和的值(用系数表示)． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了高次方程根与系数的关系．解题的关键是通过展开因式分解形式的方程，与原方程对比系数，推导根的乘积之和及根的乘积的表达式． 设三次方程为表示为展开因式分解式，整理为多项式形式；对比原方程系数，求出和与系数的关系． 【详解】解：由题意，当时，方程为． 又设该方程有三个实数根， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴，． 23. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米，若停车位总占地面积为390平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽． 【答案】车道的宽为4米 【解析】 【分析】设车道宽度为米，根据停车位总占地面积为390平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 详解】解：设车道宽度为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：车道的宽为4米． 24. 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，连接交对称轴于点，由点、关于对称轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求解； 【小问1详解】 解：把代入抛物线得，， 解得， ∴抛物线函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， 连接交对称轴于点， ∵点、关于对称轴对称， ， ， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ． 25. 一家水果店以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.2元，每天可多售出40千克． （1）若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售是多少千克（用含x的代数式表示）？ （2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出230千克，那么水果店需将每千克的售价降低多少元？ 【答案】（1）每天的销售是千克； （2）水果店需将每千克的售价降低1元． 【解析】 【分析】（1）销售量＝原来销售量＋上升的销售量，据此列式即可； （2）根据销售量×每千克利润＝总利润列出方程求解即可． 【小问1详解】 每天的销售量是：（千克）； 【小问2详解】 设这种水果每斤售价降低x元， 根据题意得： 解得： 当时，销售量是； 当时，销售量是（斤）． ∵每天至少售出230斤， ∴． 答：水果店需将每千克的售价降低1元． 【点睛】考查了一元二次方程的应用，第一问关键求出总销售量．第二问，根据售价和销售量、利润之间的等量关系列方程求解． 26. 已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】（1）且 （2）10 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质； （1）利用二次项系数非零及根的判别式，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围； （2）利用等腰三角形的性质，可得出，进而可得出，解之可得出m的值，将其代入原方程，可求出，的值，再利用三角形的周长公式，即可求出结论． 【小问1详解】 解：∵，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得：且， ∴m的取值范围为且； 【小问2详解】 解：∵等腰的底边，且，恰好是另外两边的边长， ∴， ∴， 解得：， ∴原方程为， ∴， ∵3，3，4可以组成三角形， ∴这个三角形的周长为． 27. 已知：抛物线． （1）若顶点坐标为，求和的值（用含的代数式表示）； （2）当时，求函数的最大值； （3）若不论为任何实数，直线与抛物线有且只有一个公共点，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依据题意，由抛物线顶点式可得，即可得出答案； （2）依据题意可得，可得，进而可得，即可得出答案； （3）依据题意，由直线与抛物线有且只有一个公共点，可得方程有两个相等的实数根，即，可得，进而可得，进而计算可以得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴， ∴， ∴函数的最大值为； 【小问3详解】 解：∵直线与抛物线有且只有一个公共点， ∴方程组只有一组解， ∴有两个相等的实数根， ∴，即， ∴， ∵不论为何实数，恒成立， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数综合，涉及二次函数的图象与性质、抛物线顶点式、一元二次方程根的情况与判别式关系、不等式的性质、求二次函数最值、抛物线与轴的交点问题、恒成立问题及解方程组等知识，综合性很强，难度较大，能把函数交点问题转化成一元二次方程根的问题是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省昆明三中2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程化为一般式后二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A. 5，3，2 B. ，3， C. 5，3， D. ，， 4. 下列抛物线中，对称轴是直线的是（　　） A. B. C. D. 5. 若a是一元二次方程的一个实数根，则的值是（　　） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 6. 关于x一元二次方程的一个根是，则另一个根是（　　） A. -7 B. 6 C. 7 D. -6 7. 根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A. B. C. D. 8. 把抛物线y＝x2(　　)得到抛物线y＝(x+1)2﹣1． A 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向石平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 9. 关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　） A. 3 B. C. D. 9 10. 如图，二次函数的图象经过点，抛物线的对称轴是直线，则一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 11. 用配方法解方程时，若将方程变形为，则（　　） A. 18 B. 20 C. 19 D. 17 12. 如图是函数的部分图象，已知其对称轴为直线，则当（　　）时，函数值大于0． A. 或 B. C. D. 13. 学校统计今年近视学生人数是前年近视学生人数80%，那么这两年平均每年近视学生人数降低的百分率是多少？设平均每年降低的百分率为x，根据题意列方程得（　　） A. B. C. D. 14. 如图是二次函数的图象，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 15. 如图是二次函数图象，则下列图象可能是一次函数的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若关于x的一元二次方程有实数根，则p的取值范围是 ________ ． 17. 若是关于的二次函数，则的值为 _______ ． 18. 关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则__________． 19. 若抛物线与x轴只有一个公共点，则 __________________ ． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图．已知抛物线，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A点B左侧． （1）求点A、B、C的坐标； （2）求的面积． 22. 某数学小组对根与系数的关系进行探究，关于x的方程有n个实数根，且有．其中为该方程各项系数．当时，这一性质也称作韦达定理． 设：当时，有方程， 该方程有两个实数根和，且， 展开得， 即， 又由题知， 则， 故，． 当，求式子和的值(用系数表示)． 23. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米，若停车位总占地面积为390平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽． 24. 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标． 25. 一家水果店以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.2元，每天可多售出40千克． （1）若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售是多少千克（用含x的代数式表示）？ （2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出230千克，那么水果店需将每千克的售价降低多少元？ 26. 已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 27. 已知：抛物线． （1）若顶点坐标为，求和的值（用含的代数式表示）； （2）当时，求函数的最大值； （3）若不论为任何实数，直线与抛物线有且只有一个公共点，求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $