专题8.2 两条直线的位置关系（九类重难点题型精练）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点题型】精练（新教材新高考）

专题8.2 两条直线的位置关系 目录●重难点题型分布 序号 题型 重难点题型1 两条直线的交点问题 重难点题型2 两条直线的平行与垂直的判定与性质 重难点题型3 距离问题 重难点题型4 有关的距离的最值问题 重难点题型5 点点对称 重难点题型6 点线对称 重难点题型7 线点对称 重难点题型8 线线对称 重难点题型9 直线系方程 重难点题型1 两条直线的交点问题 1．（2024·山东·一模）过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线．若直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．（2024·全国·模拟预测）已知直线和与x轴围成的三角形是等腰三角形，则k的取值不可能为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·福建漳州·模拟预测）已知直线l过点，分别与直线：，：交于A，B两点，圆C：过A，B两点，则△ABC面积的最大值为 ；当△ABC面积取最大值时，直线l的方程为 5．（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 . 6．（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 重难点题型2 两条直线的平行与垂直的判定与性质 1．（2025·江苏南通·模拟预测）若曲线的一条切线与直线：平行，则与之间的距离为（   ） A． B． C．5 D．10 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·浙江杭州·期中）过抛物线的焦点，且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广西桂林·一模）已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·云南曲靖·一模）已知直线：与：平行，则与间的距离为 ． 6．（2023·上海青浦·二模）过点与直线垂直的直线方程为 . 7．已知直线，则过坐标原点且与l垂直的直线方程是 ，点到l的距离是 ． 8．（2024·江西九江·一模）若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则ab的最大值为 ． 重难点题型3 距离问题 1．（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若直线：与直线：平行，则这两条直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为（   ） A． B． C． D． 4.（2025·江苏南京·二模）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为 . 5．（2025·甘肃·模拟预测）若圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1，则 . 重难点题型4 有关距离的最值问题 1．（2024·河北·模拟预测）点到直线的最大距离是（    ） A． B．2 C． D．不存在 2．（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南益阳·三模）已知圆C：的一条直径的两个端点分别是A，B，则它们到直线l：的距离分别为，，则的最大值为（   ） A．16 B．32 C．48 D．64 4．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B．6 C． D．9 5．（2025高三下·全国·专题练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为．则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·模拟预测）已知过抛物线的焦点F的直线与C交于A，B两点，线段AB的中点为，且，，若点P在抛物线C上，则的最小值为 ． 7．（23-24高三上·江苏苏州·周测）已知点，点O是坐标原点，点Q是圆上的动点，则的最大值为 . 重难点题型5 点点对称 1．已知，，点是线段的中点，则 . 2．（2024·江苏南通·高二统考期中）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为 . 3．设点A在x轴上，点B在y轴上，的中点是，则等于 4．已知直线l与直线及直线分别交于点P，Q．若PQ的中点为点，则直线l的斜率为 ． 重难点题型6 点线对称 1．若直线和直线关于直线对称，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 2．（2023·湖北·高二校联考周测）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图，若光线经过的重心，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2025·江西赣州·二模）若点关于直线对称的点在圆上，则k的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）若点关于直线对称的点在圆上，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 5．（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东青岛·月考）已知点关于直线对称的点在圆上，则（    ） A．4 B．5 C．-4 D．-5 7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 ． 8．（2024·浙江·模拟预测）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 . 9．（2024·山东烟台·一模）若圆关于直线对称的圆恰好过点，则实数的值为 . 重难点题型7 线点对称 1．（2024·陕西宝鸡·一模）直线关于点对称的直线方程（    ） A． B． C． D． 2．若直线与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点 A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）圆C：关于直线l：对称的圆的标准方程为 ． 4．（2024·河北廊坊·高三校考月考）与直线关于点对称的直线的方程为 . 5．直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为 ． 6．若直线：与直线关于点对称，则当经过点时，点到直线的距离为 . 7．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 . 重难点题型8 线线对称 1．设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 3．直线关于直线对称的直线方程是 A． B． C． D． 4．（2024·甘肃兰州·一模）已知是离心率为的椭圆外一点，经过点的光线被轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是（  ） A． B． C． D． 5．一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为 A． B． C． D． 6．（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）与直线关于对称的直线的方程为 . 7．直线关于直线对称的直线方程是 . 8．直线关于直线对称的直线为（    ） A． B． C． D． 重难点题型9 直线方程的综合应用 1．在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，，下面四个命题中的假命题为（    ） A．存在唯一的实数δ，使点N在直线上 B．若，则过M，N两点的直线与直线l平行 C．若，则直线经过线段M，N的中点； D．若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交； 2．在平面直角坐标系中，定义称为点的“和”，其中为坐标原点，对于下列结论：（1）“和”为1的点的轨迹围成的图形面积为2；（2）设是直线上任意一点，则点的“和”的最小值为2；（3）设是直线上任意一点，则使得“和”最小的点有无数个”的充要条件是；（4）设是椭圆上任意一点，则“和”的最大值为.其中正确的结论序号为（    ） A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4） 3．（2024·江西·模拟预测）（多选题）已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．当时， C．当时， D．，使得 4．（2025·江苏徐州·模拟预测）（多选题）已知圆，P为圆O上的动点，则（    ） A．圆心O关于直线AB的对称点为 B．动点P到直线AB的距离最大值为 C．以AB为直径的圆与圆O有2条公切线 D．分别过A，B两点所作的圆O的切线长相等 5．（2025·湖南·三模）（多选题）已知动点P到定点的距离与到定直线的距离之和为4，记动点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C的轨迹方程为 B．曲线C的图象关于y轴对称 C．若点在曲线C上，则 D．曲线C上的点到直线的距离的最大值为12 6．（2025·河南·模拟预测）（多选题）已知为等腰直角三角形，为坐标原点，点在第一象限，点在第四象限，，若直线的斜率都存在，记直线的斜率分别为，则的关系可能为（    ） A． B． C． D． 7．已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为 . 8．经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为 ． 9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知直线，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为 ；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.2 两条直线的位置关系 目录●重难点题型分布 序号 题型 重难点题型1 两条直线的交点问题 重难点题型2 两条直线的平行与垂直的判定与性质 重难点题型3 距离问题 重难点题型4 有关的距离的最值问题 重难点题型5 点点对称 重难点题型6 点线对称 重难点题型7 线点对称 重难点题型8 线线对称 重难点题型9 直线系方程 重难点题型1 两条直线的交点问题 1．（2024·山东·一模）过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】求出两条直线的交点，设出所求直线的方程，并求出待定系数即得. 【详解】由，解得，则所求方程的直线过点， 设所求直线方程为，于是，解得， 所以所求直线方程为. 故选：D 2．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线．若直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题、求直线交点坐标 【分析】由与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，根据题意该圆过三个定点，利用割线定理求得第四个点的坐标，从而求得k的值．、 【详解】由题意易知，与坐标轴交于与 因为，所以必过于是如下图： 由割线定理得，得，即第四个交点为 所以．， 故选：A. 3．（2024·全国·模拟预测）已知直线和与x轴围成的三角形是等腰三角形，则k的取值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正切函数的诱导公式、二倍角的正切公式、直线斜率的定义、三线能围成三角形的问题 【分析】分为围成的等腰三角形底边在x轴上、底边在直线上和底边在直线上三种情况，分别求解即可. 【详解】令直线的倾斜角分别为，则， 当围成的等腰三角形底边在x轴上时，，； 当围成的等腰三角形底边在直线上时，或， 因为，且，解得， 所以，或； 当围成的等腰三角形底边在直线上时，，则. 故选：D． 4．（2025·福建漳州·模拟预测）已知直线l过点，分别与直线：，：交于A，B两点，圆C：过A，B两点，则△ABC面积的最大值为 ；当△ABC面积取最大值时，直线l的方程为 【答案】 1 或 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、求直线交点坐标、求平面两点间的距离 【分析】由题意作图，根据三角形的面积计算，结合正弦函数的性质，可得面积最值，根据等腰直角三角形的性质，可得的值，分直线的斜率存在与不存在两种情况，联立方程求交点，由两点距离公式，建立方程，可得答案. 【详解】 由，则其圆心，半径，设， 易知，则当时，取得最大值为， 在等腰中， 当直线的斜率不存在时，直线， 代入直线，解得，则； 代入直线，解得，则； 所以，显然此时取得最大值为. 当直线的斜率存在时，可设直线， 联立可得，解得，，则； 联立可得，解得，，则； ， 由，则，解得，即直线， 所以取得最大值为，则直线或. 故答案为：；或. 5．（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】联立直线求解交点，即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】联立与可得， 故交点为，倾斜角为，所以斜率为1， 故直线方程为，即， 故答案为： 6．（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求平行线间的距离 【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】直线和直线互相平行， 故点与点之间距离的最小值即两条直线间的距离， 且两条直线间的距离：. 故答案为： 重难点题型2 两条直线的平行与垂直的判定与性质 1．（2025·江苏南通·模拟预测）若曲线的一条切线与直线：平行，则与之间的距离为（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、求平行线间的距离 【分析】首先根据导数的几何意义求切线的方程，再代入平行线的距离，即可求解. 【详解】设直线与曲线切于点，直线的斜率为4， 由导数的几何意义可知，，得，则， 所以直线，即， 所以直线与之间的距离为. 故选:A 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】先根据两直线平行求出的值，再由两直线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行， 所以，即， 则，也就是， 所以两直线间的距离为. 故选：D 3．（24-25高二下·浙江杭州·期中）过抛物线的焦点，且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由两条直线垂直求方程、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由抛物线的焦点坐标和直线垂直的斜率关系求解. 【详解】抛物线的焦点为， 设与直线垂直的直线方程为， 代入，可得，故所求直线方程为， 即. 故选：B. 4．（2025·广西桂林·一模）已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】据直线方向向量求出斜率，由两直线位置关系求与垂直的直线斜率，点斜式表达方程即可得解. 【详解】的方向向量为，则斜率为，因为直线与垂直，所以斜率为 又过点，所以直线方程为，整理可得. 故选：D. 5．（2025·云南曲靖·一模）已知直线：与：平行，则与间的距离为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】由两直线平行可求得，再由平行线间的距离公式代入计算可得结果. 【详解】由与两直线平行可得，解得； 即可得：， 所以与间的距离为. 故答案为： 6．（2023·上海青浦·二模）过点与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程可得， 解得， 故所求直线方程为. 故答案为：. 7．已知直线，则过坐标原点且与l垂直的直线方程是 ，点到l的距离是 ． 【答案】 1 【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程、求点到直线的距离 【分析】利用直接法求出直线方程；利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】直线的斜率为，所以可设与l垂直的直线方程为，把代入，求得c=0，所以过坐标原点且与l垂直的直线方程是； 点到l的距离为. 故答案为：；1． 8．（2024·江西九江·一模）若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则ab的最大值为 ． 【答案】/0.5 【难度】0.94 【知识点】基本不等式求积的最大值、由两条直线垂直求方程 【分析】根据两直线垂直的a、b关系，再用基本不等式可解. 【详解】由两直线垂直得，即，， 当且仅当，时，等号成立，故的最大值为． 故答案为： 重难点题型3 距离问题 1．（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】先求出，然后由平行线之间的距离求解即可. 【详解】直线即直线，与直线平行，则， 故所求即为平行直线与之间的距离， 即所求为. 故选：B. 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若直线：与直线：平行，则这两条直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】先由直线平行求出参数k，再由两平行直线的距离公式即可求解. 【详解】因为直线：与直线：平行， 所以，所以， 所以直线：即， 所以这两条直线间的距离为. 故选：B. 3．过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离、过圆上一点的圆的切线方程 【分析】先判断点在圆上，求出切线的方程以及的值，利用两平行直线间的距离公式即可求解． 【详解】因为满足圆的方程， 所以点在圆上，又，所以， 因，则，解得， 故切线：，即. 因为切线与直线平行，所以，解得， 故直线：， 则平行直线与间的距离为. 故选：A. 4.（2025·江苏南京·二模）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、轨迹问题——圆 【分析】先分析两条直线经过的定点，得出的坐标，根据两直线的位置关系分析可得的运动轨迹是挖去一点的圆，然后判断出直线和圆相切，从而得解. 【详解】动直线 过定点 ， 动直线 即 过定点 . 因为，所以直线与直线垂直， 又直线的斜率一定存在， 注意到时，满足，但此时直线垂直轴，斜率不存在， 故点在以为直径的圆上（去除点）， 圆心为 ，半径 ， 圆心到直线 的距离为 所以圆与直线 相切（切点不是点），的最小值为0； 圆的直径，且点到直线 的距离为，所以， 即的取值范围为 . 故答案为： 5．（2025·甘肃·模拟预测）若圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先求出圆的圆心坐标和半径，以及圆心到的距离，结合题意可得圆的半径为，进而建立方程求解即可. 【详解】由圆，即，则， 圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到的距离为， 因为圆上恰有三个不同的点到的距离为1，所以圆的半径为， 则，解得. 故答案为：. 重难点题型4 有关距离的最值问题 1．（2024·河北·模拟预测）点到直线的最大距离是（    ） A． B．2 C． D．不存在 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】求出直线l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案. 【详解】直线即， 令，解得， 即直线过定点，设为B， 当直线与l垂直时，点到直线的距离最大， 即为， 此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解， 即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值， 故选：D 2．（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】判断圆与直线的位置关系为相离，可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与该圆相离， 所以的最小值为. 故选：C. 3．（2025·湖南益阳·三模）已知圆C：的一条直径的两个端点分别是A，B，则它们到直线l：的距离分别为，，则的最大值为（   ） A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先将圆的方程化为标准方程，利用参数表示点坐标，最后利用三角函数即可求解. 【详解】由有， 设点， 所以点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 所以， 所以当，即时，取最大值为. 故选：B. 4．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求点到直线的距离 【分析】根据曲线的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，求出曲线的切点，再根据点到直线的距离公式计算最小距离即可. 【详解】设曲线在点处的切线与直线平行， 由，得，则或， 则动点到直线的距离的最小值为. 所以点到直线的距离的最小值为， 故选：B. 5．（2025高三下·全国·专题练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为．则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】设点，求出设点，由点到直线的距离求出圆心到直线的距离，再由结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】设点，则直线的方程为， （注：由圆外一点向该圆引两条切线，切点分别为，则直线的方程是）， 化简可得：， 所以圆心到直线的距离为： 所以 ， 当时，的最小值为. 故选：C. 6．（2024·全国·模拟预测）已知过抛物线的焦点F的直线与C交于A，B两点，线段AB的中点为，且，，若点P在抛物线C上，则的最小值为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求平行线间的距离、抛物线定义的理解、直线与抛物线交点相关问题 【分析】先利用中点坐标公式及抛物线的定义得出，抛物线方程为；再根据点的坐标特点得出点Q在直线上，求出与l平行且与抛物线C相切的直线方程；最后将求的最小值转化为求切线与直线l之间的距离． 【详解】设，， 由AB的中点为，可得， 由抛物线的定义可得. 又因为， 所以，故抛物线C的方程为． 由可知：点Q在直线上. 设与l平行且与抛物线C相切的直线方程为， 联立方程组可得：， 则，解得：， 则与l平行且与抛物线C相切的直线方程为. 所以该切线与直线l之间的距离即的最小值， 故的最小值为． 故答案为：. 7．（23-24高三上·江苏苏州·周测）已知点，点O是坐标原点，点Q是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据题意，得到点，可得点在直线上的动点，把的最大值转化为则，结合对称法和圆的性质求最值，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 又由点，可得点在直线上的动点， 因为点O是坐标原点，点Q是圆上的动点， 则， 如图所示，设点关于直线的对称点为， 可得，解得，即， 设直线与直线的交点为， 则直线的方程为，联立方程组，解得， 即，则， 当点与重合时，此时，则， 此时取得最大值，最大值为， 所以，即的最大值为. 故答案为：. 重难点题型5 点点对称 1．已知，，点是线段的中点，则 . 【答案】 【解析】由中点坐标公式知：，，解得：，，. 故答案为：. 2．（2024·江苏南通·高二统考期中）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为 . 【答案】 【解析】在平面直角坐标系中，， 则为直角三角形，且为斜边， 故. 故答案为： 3．设点A在x轴上，点B在y轴上，的中点是，则等于 【答案】 【解析】根据点A在x轴上，点B在y轴上，且的中点是，利用中点坐标公式得到A，B的坐标，再利用两点间的距离公式求解.因为点A在x轴上，点B在y轴上，且的中点是， 所以， 所以， 故答案为： 4．已知直线l与直线及直线分别交于点P，Q．若PQ的中点为点，则直线l的斜率为 ． 【答案】 【解析】设，则．由点Q在直线上，得，．故． 所以直线l的斜率为，所以 故答案为 重难点题型6 点线对称 1．若直线和直线关于直线对称，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为直线过定点， 点关于直线对称的点为， 故直线恒过定点. 故选：C 2．（2023·湖北·高二校联考周测）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图，若光线经过的重心，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】根据题意，建立如图所示的坐标系，可得，， 故直线的方程为， 又由，，，则 的重心为， 设，其中，点关于直线 的对称点，则有， 解得，即， 易得关于 轴的对称点， 由光的反射原理可知，，，四点共成直线的斜率， 故直线的方程为， 由于直线过 的重心，代入化简可得， 解得：或 舍，即，故， 故选：C． 3．（2025·江西赣州·二模）若点关于直线对称的点在圆上，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】求点关于直线的对称点、求两圆的交点坐标 【分析】根据已知确定点关于直线对称的点在圆上，易得对称点为圆和圆的交点，求出交点坐标，利用垂直关系求参数k. 【详解】显然在圆上，又直线经过该圆的圆心， 所以点关于直线对称的点在圆上， 又点关于直线对称的点在圆上， 所以对称点为圆和圆的交点，联立得交点为， 所以与两点所在直线，与垂直，故. 故选：D 4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）若点关于直线对称的点在圆上，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、求两圆的交点坐标 【分析】点在圆上，由题意分析可知对称点必是圆与圆的公共点，通过计算，即可得出答案. 【详解】因点的坐标满足，则点在圆上， 因直线过的圆心， 则点关于直线对称的点必然在圆上， 联立，得， 因圆与圆仅有唯一公共点， 因此点关于直线对称的点只能是点， 设直线与线段交于点， 因，， 则由垂径定理可得，， 则在中，， 因此. 故选：C 5．（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、求点关于直线的对称点 【分析】由对称关系求得，再由点到线距离公式求解； 【详解】设关于直线的对称点为， 由对称关系可得， 解得． 则点到直线：的距离为． 故选：C． 6．（24-25高二上·山东青岛·月考）已知点关于直线对称的点在圆上，则（    ） A．4 B．5 C．-4 D．-5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、点与圆的位置关系求参数 【分析】先求出点的对称点，代入圆的方程求解即可. 【详解】设，则 所以 由题可知， 故选：B 7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、点与圆的位置关系求参数 【分析】根据题意利用轴对称的性质算出对称点Q的坐标，结合点Q在已知圆的内部，建立关于的不等式，解出实数的取值范围． 【详解】设与关于直线对称，则，解得，即， 因为在圆的内部， 所以，解得，即实数的取值范围是． 故答案为：． 8．（2024·浙江·模拟预测）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、点与圆的位置关系求参数 【分析】首先求对称点，再根据点与圆的位置关系，列式求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，得， 又题意可知，，解得：. 故答案为： 9．（2024·山东烟台·一模）若圆关于直线对称的圆恰好过点，则实数的值为 . 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、点与圆的位置关系求参数 【分析】利用轴对称列式求出点关于直线的对称点的坐标，再代入圆方程即得. 【详解】依题意，点关于直线的对称点在圆上， 则，解得，因此点在圆上， 则，解得， 所以实数的值为4. 故答案为：4 重难点题型7 线点对称 1．（2024·陕西宝鸡·一模）直线关于点对称的直线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】设所求直线上任一点为，则求出其关于点对称的点，代入直线中化简可得答案 【详解】设所求直线上任一点为，则其关于点对称的点为， 因为点在直线上， 所以，化简得， 所以所求直线方程为， 故选：B 2．若直线与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】直线过定点问题、求直线关于点的对称直线 【分析】先求出l1的定点，再利用点关于点的对称求出l1的定点的对称点，该点即为所求点. 【详解】直线恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2). 【点睛】本题考查直线关于点对称的相关问题，利用对称性求解是解题的关键，属基础题. 3．（2024·全国·模拟预测）圆C：关于直线l：对称的圆的标准方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】由题意求得点关于直线l对称的点的坐标，即可写出圆的方程. 【详解】由题意知圆C的圆心为，半径为2； 设点关于直线l对称的点为，则， 解得， 因此圆C：关于直线l：对称的圆的标准方程为， 故答案为： 4．（2024·河北廊坊·高三校考月考）与直线关于点对称的直线的方程为 . 【答案】 【解析】直线关于点对称的直线的方程可设为，其中 又点到直线与到直线的距离相等 所以，即，所以或（舍）. 故所求直线方程为：. 故答案为：. 5．直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【解析】由得：，当时，，； 设直线关于点对称的直线方程为， ，解得：或（舍）， 直线关于点对称的直线方程为. 故答案为：. 6．若直线：与直线关于点对称，则当经过点时，点到直线的距离为 . 【答案】 【解析】因为直线恒过定点， 所以关于点对称， 所以关于点的对称点为， 此时和都在直线上， 由直线方程的两点式可得，即， 所以点到直线的距离为． 故答案为：． 7．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 . 【答案】6x－8y＋1＝0 【解析】根据平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直线：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝，再根据对称解得b＝，计算得到答案.由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b， 则直线l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直线方程为y＝k（x－3－1）＋b＋5－2 即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝ ， ∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b 取直线l上的一点 ，则点P关于点（2，3）的对称点为 ， ，解得b＝. ∴直线l的方程是 ，即6x－8y＋1＝0. 故答案为：6x－8y＋1＝0 重难点题型8 线线对称 1．设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】联立，得， 取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：， 直线的斜率，所以直线的方程为， 整理为：. 故选：A 2．（2023·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】两条直线的到（夹）角公式、求直线交点坐标、直线关于直线对称问题 【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解. 【详解】联立，得， 取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：， 直线的斜率，所以直线的方程为， 整理为：. 故选：A 3．直线关于直线对称的直线方程是 A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】直线关于直线对称问题 【解析】利用当对称轴斜率为时,由对称轴方程分别解出x,y,代入已知直线的方程,即得此直线关于对称轴对称的直线方程 【详解】因为直线的斜率为1, 故有,将其代入直线, 即得：, 整理即得, 故选：A 【点睛】本题考查直线关于直线的对称直线的方程的求法,当对称轴斜率为时,由对称轴方程分别解出x,y,代入已知直线的方程,即得此直线关于对称轴对称的直线方程 4．（2024·甘肃兰州·一模）已知是离心率为的椭圆外一点，经过点的光线被轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】直线关于直线对称问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】由题意知，设过点的直线方程为：，反射后的切线方程为：，联立切线方程与椭圆的方程，利用求解即可. 【详解】由题意可知，又，故， 设过点的直线斜率为，则直线方程为：，即 则反射后的切线方程为： 由得， 因为所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切， ， 化简得：，即，解得 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，及关于直线对称的直线方程，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单． 5．一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】先求出故入射光线与反射轴的交点为，在入射光线上再取一点，由点关于反射轴的对称点在反射光线上，用两点式求得反射光线的方程． 【详解】由 得，故入射光线与反射轴的交点为， 在入射光线上再取一点， 则点关于反射轴的对称点在反射光线上． 根据、两点的坐标，用两点式求得反射光线的方程为，即． 故选B． 【点睛】本题考查求一条直线关于另一直线的对称直线方程的求法，用两点式求直线的方程，属于基础题. 6．（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）与直线关于对称的直线的方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】求出直线与直线的交点，在直线上取点，求出它关于直线的对称点，再由两点式可求出结果. 【详解】联立，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以点关于直线的对称点为， 由两点式可得与直线关于对称的直线的方程为： ，即. 故答案为： 7．直线关于直线对称的直线方程是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】先求得两条直线的交点坐标,再在直线上取一个点,求得点关于直线的对称点,即可利用两个点的坐标求得其对称点的直线方程. 【详解】因为直线与直线 所以联立直线方程可得,解方程组可得 即两条直线的交点的坐标为 在直线上取一个点,设关于直线的对称点为,由中点坐标公式及斜率关系可得 ,解方程组可得 所以 则直线方程的斜率为 由点斜式可得直线的方程为 化简可得 即直线关于直线对称的直线方程为 故答案为: 【点睛】本题考查了直线交点坐标的求法,点关于直线的对称点求法,两条垂直直线的斜率关系点斜式方程的用法,属于基础题. 8．直线关于直线对称的直线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设所求直线上的任意一点为 则关于直线对称点为 点在直线上 满足直线方程，即 直线关于直线对称的直线为 故选：C 重难点题型9 直线方程的综合应用 1．在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，，下面四个命题中的假命题为（    ） A．存在唯一的实数δ，使点N在直线上 B．若，则过M，N两点的直线与直线l平行 C．若，则直线经过线段M，N的中点； D．若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交； 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】直线综合、由一般式方程判断直线的平行、直线过定点问题 【分析】根据题意对一一分析，逐一验证． 【详解】解：对于，化为：，即点，不在直线上，因此不正确． 对于，，则，即过，两点的直线与直线的斜率相等，又点，不在直线上，因此两条直线平行，故正确； 对于，，则，化为，因此直线经过线段的中点，故正确； 对于，，则，则点，在直线的同侧，故正确； 故选A 【点睛】本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 2．在平面直角坐标系中，定义称为点的“和”，其中为坐标原点，对于下列结论：（1）“和”为1的点的轨迹围成的图形面积为2；（2）设是直线上任意一点，则点的“和”的最小值为2；（3）设是直线上任意一点，则使得“和”最小的点有无数个”的充要条件是；（4）设是椭圆上任意一点，则“和”的最大值为.其中正确的结论序号为（    ） A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4） 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线综合、圆锥曲线新定义 【解析】根据新定义“和”，通过数形结合判断（1）正确，通过研究函数最值对选项（2）（3）（4）逐一判断即可. 【详解】（1）当时，点的轨迹如图，其面积为2，正确； （2）是直线上的一点，， 可知，，时递减，时递增，故的最小值在时取得，，正确； （3）同（2），，可知当时，都满足，“和”最小的点有无数个，故错误； （4）可设椭圆参数方程为， 易知其最大值为，正确. 故选：B. 【点睛】本题的解题关键是认真读题，理解新定义“和”，再通过数形结合和函数最值的研究逐一判断即突破难点. 3．（2024·江西·模拟预测）（多选题）已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．当时， C．当时， D．，使得 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、已知直线平行求参数、求直线交点坐标 【分析】对于A：根据直线方程分析判断；对于B：根据题意求直线交点即可；对于C：根据空集的定义结合直线平行运算求解；对于D：根据直线重合分析求解. 【详解】对于选项A：因为表示过定点，且斜率不为0的直线， 可知表示直线上所有的点， 所以，故A正确； 对于选项B：当时，则，， 联立方程，解得，所以，B正确； 对于选项C：当时，则有： 若，则； 若，可知直线与直线平行，且， 可得，解得； 综上所述：或，故C错误； 对于选项D：若，由选项C可知，且，无解，故D错误． 故选：AB． 4．（2025·江苏徐州·模拟预测）（多选题）已知圆，P为圆O上的动点，则（    ） A．圆心O关于直线AB的对称点为 B．动点P到直线AB的距离最大值为 C．以AB为直径的圆与圆O有2条公切线 D．分别过A，B两点所作的圆O的切线长相等 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系、切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】求出直线的方程，求出对称点坐标判断A；利用圆的性质求出最大距离判断B；确定两圆位置关系判断C；求出切线长判断D. 【详解】直线的斜率，直线的方程为， 对于A，设圆心关于直线对称点为，则，解得，A正确； 对于B，圆心到直线的距离，因此动点P到直线AB的距离最大值为，B错误； 对于C，，线段中点，则，以AB为直径的圆半径为， 而圆半径为，且，即以AB为直径的圆与圆O相交，有2条公切线，C正确； 对于D，过点作圆的切线长为，过点作圆的切线长为，D错误. 故选：AC 5．（2025·湖南·三模）（多选题）已知动点P到定点的距离与到定直线的距离之和为4，记动点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C的轨迹方程为 B．曲线C的图象关于y轴对称 C．若点在曲线C上，则 D．曲线C上的点到直线的距离的最大值为12 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求点到直线的距离、由方程研究曲线的性质、求平面轨迹方程 【分析】直接求动点P的轨迹方程判断A；整理或，利用方程和图象可判断BC；由曲线上的点处的切线方程与直线平行找到距离最大的点，再由点到直线的距离公式可判断D. 【详解】对于A：因为曲线C上的点到定点的距离与到定直线的距离之和为4， 则，即，故A正确； 对于B：整理得或， 所以可作出曲线C的图象如图所示： 所以曲线C的图象关于y轴对称，故B正确； 对于C：当时，由，得， 当时，由，得， 所以当点在曲线C上时，，故C错误； 对于D：因为函数过点，且，所以， 所以函数在点处的切线方程为即， 所以该切线与直线即平行， 所以曲线C上的点到直线距离最大为，故D正确． 故选：ABD． 6．（2025·河南·模拟预测）（多选题）已知为等腰直角三角形，为坐标原点，点在第一象限，点在第四象限，，若直线的斜率都存在，记直线的斜率分别为，则的关系可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.94 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】讨论、，结合斜率与夹角关系判断各项的正误. 【详解】当时，； 当时，. 故选：AB 7．已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为 . 【答案】 【解析】依题意两直线和的交点为， 所以在直线上， 所以过两点所在直线方程为. 故答案为： 8．经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为 ． 【答案】x－y＝0. 【解析】设直线方程为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，再求出的值即得解.过两直线交点的直线方程可设为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0， 即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0， 因为它与直线x－y＋4＝0平行， 所以3＋λ＋3λ－2＝0， 即λ＝－， 故所求直线为x－y＝0. 故答案为：x－y＝0. 9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知直线，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为 ；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是 . 【答案】 或； . 【难度】0.65 【知识点】直线综合、直线过定点问题 【分析】分别令和求出直线在两坐标轴上的截距，利用截距相等解方程求出的值；先分析过定点，然后根据条件结合图示判断出直线斜率满足的不等式，由此求解出的取值范围. 【详解】因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以， 在中， 令，得，令，得， 依题意可得，即， 解得或； 直线的方程可化为，所以， 所以，所以直线过定点， 所以，由直线可得：， 若不经过第三象限，则， 故答案为：或；. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$