精品解析：山西省临汾市曲沃县2024-2025学年八年级下册数学期末考试

山西省2024—2025学年八年级第二学期阶段四质量检测 数学（华师版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并变回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中．只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在正方形中，，则正方形的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. D. 6 3. 中国“超级显微镜（散裂中子源）”二期工程正在建设，中子穿透性强，是科学家探索微观世界的“理想探针”．中子的直径大约是0.00000169纳米，数据0.00000169用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，矩形的对角线与相交于点O．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图的扇形统计图描述了某水果商店一周内四种水果的销售占比情况，根据扇形统计图中的信息，该水果商店的负责人应该多购进（ ） A. 苹果 B. 香蕉 C. 西瓜 D. 樱桃 6. 人体工学研究表明，使用符合人体工学的课桌、椅子可减少学生近视、脊柱侧弯等健康问题．已知符合人体工学的课桌高度h（单位：）是椅子高度x（单位：）的一次函数，部分数据如表： … 33 36 39 … … 62 67 72 … 根据以上信息可知，h关于x的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 解分式方程时，去分母后变形正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知一次函数与的图象相交于点，则二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将菱形折叠，使得点B的对应点P落在对角线B上，折痕分别与，交于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：的结果是______． 12. 根据物理学知识，将同一个密度测量仪放置于不同的液体中时，密度测量仪浸没在液体中的长度l（单位：cm）是液体密度（单位：）的反比例函数．当时，．若某液体的密度，则密度测量仪浸没在该液体中的长度l为______． 13. 某公司对A，B两个型号的人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行打分，各项成绩均按百分制计，然后按语言交互能力占、分析能力占、学习能力占来计算两个型号的人工智能产品的综合能力得分．下表是A，B两个型号的人工智能产品三项能力的得分，则综合能力更强的是______（填“A”或“B”）型号人工智能产品． 型号 语言交互能力 分析能力 学习能力 A 70 90 80 B 75 80 90 14. 某企业积极响应政府号召，更新生产线，淘汰落后产能，已知生产线更新后每天比更新前多生产200件产品，生产线更新后生产1200件产品的时间与更新前生产800件产品的时间相同，若设更新后生产线每天生产x件产品，则可列方程为______． 15. 如图，在中，的平分线交于点F，的平分线交于点E，与相交于点G．若，，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点O，连接EF．求证：四边形ABEF是菱形． 18. 无人机快递拉开了我国低空经济的大幕，无人机快递可实现全天候工作，且不受交通道路拥堵的影响．已知从物流集散地到某收货点，无人机的飞行距离为，人工运输距离为，无人机送货时间比人工送货时间少用，无人机送货的平均速度是人工送货平均速度的2倍．求人工送货的平均速度． 19. 为推动旅游业的发展，国务院将每年的5月日定为了“中国旅游日”．某景区为了让游客有更好的游玩体验，计划招聘一名讲解员，经过层层选拔，最后甲、乙两人进入复试，复试成绩由8位评委进行打分（满分分），该景区将根据复试成绩聘请其中一人担任讲解员． 数据整理：景区管理员将甲、乙两人的复试成绩整理成如下统计图： 数据分析：景区管理员将甲、乙两人的复试成绩进行了如表分析： 复试者 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲 7 a 7 乙 7 b c 请认真阅读以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）甲、乙两人的复试成绩平均数相同，甲、乙两人都认为自己能够担任讲解员．请你为甲、乙两人各写一条理由．（可从“中位数”“众数”“方差”三个角度中任选） 20. 为贯彻落实教育部关于“‘五育’并举，全面发展素质教育”的精神，某校计划为体育学科组购买篮球和足球共15个，其中篮球每个60元，足球每个80元，设购买足球x个，购买篮球和足球的总费用为y元．请你根据上述信息回答下列问题： （1）求y关于x的函数表达式． （2）若购买足球的数量不超过篮球的数量，求购买篮球和足球的总费用最多为多少元． 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“筝形”的研究报告 研究对象：筝形 研究思路：类比四边形，按照“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 概念：两组邻边分别相等的四边形，称为筝形．如图1，在四边形ABCD中，，，则四边形是筝形． 判定：①两组邻边分别相等的四边形是筝形（定义）． ②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形． 任务： （1）根据上述材料，请你写出一个符合筝形定义的特殊平行四边形______． （2）将（1）中你写出的特殊平行四边形与筝形进行对比，分别写出一条相同点和不同点． （3）请你在如图2所示的正方形网格中画出一个筝形，使得，且筝形的顶点都在格点上． 22. 年月日第四届全民阅读大会的主题是“培育读书风尚建设文化强国”．某文化馆借此机会推出两种阅读收费方式． 方式一：先购买年卡，每张年卡元，仅限本人一年内使用，凭卡阅读，每次再付费元； 方式二：不购买年卡，每次付费元． 设小华在一年内来此文化馆阅读的次数为次，选择方式一的总费用是（元），选择方式二的总费用是（元）． （1）请你分别直接写出，与之间的函数表达式． （2）若小华计划—年内来此文化馆的消费金额为元，则选择哪种方式阅读的次数更多？ （3）请你帮助小华思考，选择哪种方式更省钱？ 23. 如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2024—2025学年八年级第二学期阶段四质量检测 数学（华师版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并变回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中．只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据题意，由分式有意义的条件，可得，进而得出答案． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选：C． 2. 在正方形中，，则正方形的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的周长计算．根据正方形的四条边长度相等，周长等于边长的4倍求解即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴正方形的每条边均为3， 所以，周长为， 故选：B． 3. 中国“超级显微镜（散裂中子源）”二期工程正在建设，中子穿透性强，是科学家探索微观世界的“理想探针”．中子的直径大约是0.00000169纳米，数据0.00000169用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 4. 如图，矩形的对角线与相交于点O．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据矩形的性质，证出，得出，再由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； 故选：C． 5. 如图的扇形统计图描述了某水果商店一周内四种水果的销售占比情况，根据扇形统计图中的信息，该水果商店的负责人应该多购进（ ） A. 苹果 B. 香蕉 C. 西瓜 D. 樱桃 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形统计图中各种水果销量所占的百分比求出西瓜销量所占的百分比，通过比较可知销量最大的是西瓜，所以水果商店的负责人应该多购进西瓜． 【详解】解：由扇形统计图可知，西瓜的销售量为， ， 西瓜的销量最大， 该水果商店的负责人应该多购进西瓜． 6. 人体工学研究表明，使用符合人体工学的课桌、椅子可减少学生近视、脊柱侧弯等健康问题．已知符合人体工学的课桌高度h（单位：）是椅子高度x（单位：）的一次函数，部分数据如表： … 33 36 39 … … 62 67 72 … 根据以上信息可知，h关于x的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求一次函数解析式，根据表格中的数据，确定是一次函数关系，运用待定系数法求出一次函数的关系式，代入验证即可得出正确选项． 【详解】解：当x由33增加到36时，h由62增加到67（增加）；同理，x由36增加到39时，h由67增加到72，仍增加，可知h与x成一次函数， 设h与x之间函数关系式为， 把代入得，， 解得：， 所以，h关于x的函数表达式为， 当时，，满足条件， 故选：A． 7. 解分式方程时，去分母后变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断． 【详解】解：方程变形得：， 去分母得：， 故选：B． 8. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数值，将各点坐标代入反比例函数解析式，分别求出a、b、c的值，再比较大小即可． 【详解】解：把代入得：； 把代入得：； 把代入得：； ∴ 故选：D． 9. 如图，已知一次函数与的图象相交于点，则二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．由一次函数和的图象交于点P的坐标是，可得二元一次方程组的解，从而可得答案． 【详解】解：由条件可得得，即， 所以，一次函数与的图象交于， 所以二元一次方程组的解是， 故选：C． 10. 如图，将菱形折叠，使得点B的对应点P落在对角线B上，折痕分别与，交于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，由折叠得四边形是菱形，证明，从而可知阴影部分面积等于菱形面积一半，即可求解． 【详解】解：由折叠得，垂直平分，设相交于点O，，， ∵四边形是菱形， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴阴影部分面积等于的面积，即菱形面积一半， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积， ∴阴影部分面积， 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘方； 分式的分子、分母分别进行乘方运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 根据物理学知识，将同一个密度测量仪放置于不同的液体中时，密度测量仪浸没在液体中的长度l（单位：cm）是液体密度（单位：）的反比例函数．当时，．若某液体的密度，则密度测量仪浸没在该液体中的长度l为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意设，将，代入求出k的值，再代入求出结果即可． 【详解】解：根据题意设， 当时，， ， 则， 当时，， 故答案为：5． 13. 某公司对A，B两个型号的人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行打分，各项成绩均按百分制计，然后按语言交互能力占、分析能力占、学习能力占来计算两个型号的人工智能产品的综合能力得分．下表是A，B两个型号的人工智能产品三项能力的得分，则综合能力更强的是______（填“A”或“B”）型号人工智能产品． 型号 语言交互能力 分析能力 学习能力 A 70 90 80 B 75 80 90 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数据的加权平均数，熟悉掌握数据的百分制运算是解题的关键，根据各组数据的百分制运算求解即可． 【详解】解：根据加权平均数的计算方法可得： A型号人工智能产品的综合能力得分为：， B型号人工智能产品的综合能力得分为：． ． 综合能力更强的是A． 故答案为：A． 14. 某企业积极响应政府号召，更新生产线，淘汰落后产能，已知生产线更新后每天比更新前多生产200件产品，生产线更新后生产1200件产品的时间与更新前生产800件产品的时间相同，若设更新后生产线每天生产x件产品，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用； 设更新后生产线每天生产x件产品，则更新前生产线每天生产件产品，根据时间相同列方程即可． 【详解】解：设更新后生产线每天生产x件产品，则更新前生产线每天生产件产品， 由题意得：， 故答案为：． 15. 如图，在中，的平分线交于点F，的平分线交于点E，与相交于点G．若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识，根据平行四边形性质，角平分线定义，等腰三角形性质，推出，进而推出，再结合直角三角形性质，勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， 的平分线为的平分线为， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简； （1）先根据乘方、负整数指数幂、绝对值的性质化简，再计算即可； （2）先根据异分母分式的减法法则计算括号内的运算，再把除法变成乘法，然后约分即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点O，连接EF．求证：四边形ABEF是菱形． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AFB＝∠FBE， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠FBE， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴AB＝AF， 同理AB＝BE， ∴AF＝BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝BE， ∴四边形ABEF是菱形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键记住菱形的判定方法． 18. 无人机快递拉开了我国低空经济的大幕，无人机快递可实现全天候工作，且不受交通道路拥堵的影响．已知从物流集散地到某收货点，无人机的飞行距离为，人工运输距离为，无人机送货时间比人工送货时间少用，无人机送货的平均速度是人工送货平均速度的2倍．求人工送货的平均速度． 【答案】人工送货的平均速度为 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设人工送货的平均速度为，则无人机速度为，根据题意列出分式方程求出结果并检验即可． 【详解】解：设人工送货的平均速度为，则无人机速度为， 根据题意得：， 解得： 验证：当时，符合题意， 答：人工送货的平均速度为． 19. 为推动旅游业的发展，国务院将每年的5月日定为了“中国旅游日”．某景区为了让游客有更好的游玩体验，计划招聘一名讲解员，经过层层选拔，最后甲、乙两人进入复试，复试成绩由8位评委进行打分（满分分），该景区将根据复试成绩聘请其中一人担任讲解员． 数据整理：景区管理员将甲、乙两人的复试成绩整理成如下统计图： 数据分析：景区管理员将甲、乙两人的复试成绩进行了如表分析： 复试者 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲 7 a 7 乙 7 b c 请认真阅读以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）甲、乙两人的复试成绩平均数相同，甲、乙两人都认为自己能够担任讲解员．请你为甲、乙两人各写一条理由．（可从“中位数”“众数”“方差”三个角度中任选） 【答案】（1）7，8，2 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，求众数，求方差，用方差，中位数和众数做决策，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据中位数、众数和方差的定义求解即可； （2）分别从方差、众数、中位数的意义进行判断即可． 【小问1详解】 解：把甲的得分按照从低到高排列为：5，6，7，7，7，7，8，9， ∴甲的得分的中位数为分，即； ∵乙的得分中，得分为8分的人数最多， ∴乙的得分的众数为8分，即； ， 故答案为：7，8，2； 【小问2详解】 解：甲的理由：两人平均数相同，但从方差来看，甲的复试成绩的方差为，小于乙的复试成绩的方差2，甲的复试成绩更稳定，所以甲认为自己能够担任讲解员． 乙的理由：两人平均数相同，但从中位数来看，乙的复试成绩的中位数为分，大于甲的复试成绩的中位数7分，所以乙认为自己能够担任讲解员（不唯一）． 20. 为贯彻落实教育部关于“‘五育’并举，全面发展素质教育”的精神，某校计划为体育学科组购买篮球和足球共15个，其中篮球每个60元，足球每个80元，设购买足球x个，购买篮球和足球的总费用为y元．请你根据上述信息回答下列问题： （1）求y关于x的函数表达式． （2）若购买足球的数量不超过篮球的数量，求购买篮球和足球的总费用最多为多少元． 【答案】（1）且x为整数 （2）买篮球和足球的总费用最多为1040元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握一次函数的应用，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）由题意知，购买足球x个，则购买篮球个，依题意得，，然后作答即可； （2）依题意得，，可求．由，，可知当时，费用最多，求出结果即可． 【小问1详解】 解：由题意知，购买足球x个，则购买蓝球个， 依题意得，， 与x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， ，， 时，费用最多，， 费用最多的方案是购买篮球8个，足球7个，所需费用为1040元． 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“筝形”的研究报告 研究对象：筝形 研究思路：类比四边形，按照“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 概念：两组邻边分别相等的四边形，称为筝形．如图1，在四边形ABCD中，，，则四边形是筝形． 判定：①两组邻边分别相等的四边形是筝形（定义）． ②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形． 任务： （1）根据上述材料，请你写出一个符合筝形定义的特殊平行四边形______． （2）将（1）中你写出的特殊平行四边形与筝形进行对比，分别写出一条相同点和不同点． （3）请你在如图2所示的正方形网格中画出一个筝形，使得，且筝形的顶点都在格点上． 【答案】（1）菱形（答案不唯一） （2） 相同点：菱形和筝形的对角线都互相垂直； 不同点：菱形的四条边都相等，筝形的两组邻边分别相等； （3） 如图所示，筝形即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了筝形的定义和判定，特殊平行四边形的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据筝形的定义可知菱形符合； （）根据筝形的性质和菱形的性质可得答案； （）根据两组邻边分别相等的四边形是筝形作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由网格可知，，， 由两组邻边分别相等的四边形是筝形可知筝形即为所求． 22. 年月日第四届全民阅读大会的主题是“培育读书风尚建设文化强国”．某文化馆借此机会推出两种阅读收费方式． 方式一：先购买年卡，每张年卡元，仅限本人一年内使用，凭卡阅读，每次再付费元； 方式二：不购买年卡，每次付费元． 设小华在一年内来此文化馆阅读的次数为次，选择方式一的总费用是（元），选择方式二的总费用是（元）． （1）请你分别直接写出，与之间的函数表达式． （2）若小华计划—年内来此文化馆的消费金额为元，则选择哪种方式阅读的次数更多？ （3）请你帮助小华思考，选择哪种方式更省钱？ 【答案】（1）， （2）方式一 （3）当阅读次数小于次时，选择方式二省钱，当阅读次数恰好是次时，两种方式所需要费用相同，当阅读次数超过次时，选择方式一省钱 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用、方案选择，解决本题的关键是根据收费方式列出两种方式中，与之间的函数表达式． 根据方式一和方式二的收费方案列出函数关系式即可； 分别求出消费金额为元，两种收费方式的阅读次数，通过比较即可得出结果； 分情况求出当时，当时，当时，的取值范围，根据阅读次数选择省钱的方式即可． 【小问1详解】 解：选择方式一，， 选择方式二，； 【小问2详解】 解：选择方式一，可得：， 解得：， 选择方式二，可得：， 解得：， ， 选择方式一阅读的次数更多； 【小问3详解】 解：当时， 可得：， 解得：， 当时， 可得：， 解得：， 当时， 可得：， 解得：， 当阅读次数小于次时，选择方式二省钱，当阅读次数恰好是次时，两种方式所需要费用相同，当阅读次数超过次时，选择方式一省钱． 23. 如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 【答案】（1）正方形，理由见解析； （2）①平行四边形，理由见解析；②的长为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、正方形和平行四边形的判定以及勾股定理的应用． （1）根据矩形和折叠的性质判断四边形的形状； （2）①利用矩形和平行线的性质以及折叠性质来判定四边形的形状； ②根据点是的三等分点分情况讨论，结合勾股定理求出的长度． 【小问1详解】 四边形为正方形． 理由:矩形， ， 折叠， ，， 四边形是正方形； 【小问2详解】 ①四边形为平行四边形． 理由：矩形， ， 点是的中点， ， 折叠， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； ②四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， ，，， 是矩形， 当是的下方的三等分点时， ，点是的中点， ， 是矩形， ∴， 由折叠可得， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当是的上方的三等分点时， ，点是的中点， ， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $