精品解析：山东省烟台市莱阳市 2024—2025学年下学期九年级期末数学试卷（五四学制）

2024-2025学年山东省烟台市莱阳市九年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算正确的是（　　） A. =±6 B. 4﹣3=1 C. =6 D. =6 【答案】D 【解析】 【分析】由算术平方根的含义判断A，由合并同类二次根式判断B，由二次根式的除法判断C，由二次根式的乘法判断D． 【详解】解： 故A错误， 故B错误， 故C错误， 故D正确， 故选D． 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，合并同类二次根式，二次根式的乘法与除法，掌握以上运算是解题的关键． 2. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟悉韦达定理内容是解题关键．若一元二次方程有两个实数根、，则，，根据一元二次方程根与系数的关系代入数值即可求解． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别是，， 由韦达定理可知，， ∴． 故选：D． 3. 如图，与是以点O为位似中心的位似三角形，且，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似变换，由题意得，可得与的相似比为，进而可得与的面积比为． 【详解】解：， ， 与的相似比为， 与的面积比为． 故选：D． 4. 如图，点E在正方形的内部，且为等边三角形，连接并延长与交于点F，与相交于点G，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，理解正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 先根据正方形性质和正方形性质得，，，，进而得，，由此得，则，然后根据三角形外角性质即可得出的度数． 【详解】解：在正方形中，，，， 在等边三角形中，，， ，， ， 在中，， ， ， ， 是的外角， 故选：C． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 6. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 由根的判别式可得且，然后求解即可解答． 【详解】解：由题意得，且， 解得：且． 故选：D． 7. 如图，在矩形中，，，相交于点O，E为延长线上一点，连接交于点F，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，平行线线段成比例定理，三角形中位线定理，理解矩形的性质，熟练掌握三角形中位线定理，勾股定理是解决问题的关键． 过点O作于点H，由平行线线段成比例定理证明是的中位线得，，进而得，然后在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点O作于点H，如图所示： 四边形是矩形，，， ，， ， ， ， ∴ 又， ∴， ∴， 是的中位线， ，， 点E为延长线上一点，且， ， 在中，由勾股定理得： 故选：A． 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 9. 如图，小明正在使用手电筒进行物理光学实验．地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质求出BC的长，进而求出AB的长，最后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 由题意得：， ， ， ， 解得：， 灯泡到地面的高度为， 故选：A． 10. 如图，正方形的边长为4，点O是正方形的中心，点E、F分别在边上运动，且满足，连接，过点O作交点G，则下列结论：①连接，则的周长不变；②若，则；③连接，则；④．其中正确的为（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，推出是等腰直角三角形，是线段的垂直平分线，再证明，，据此求解即可． 【详解】解：点O是正方形的中心，连接，则经过点O，连接，，， ∵正方形的边长为4， ∴，，又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴①的周长不变，故①正确； ∵，∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 解得，即，故②正确； ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵，， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，故④正确； ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 综上，①②④正确， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了二根式的性质、同类二次根式、最简二次根式、解一元一次方程等知识点，掌握同类二次根式定义是解题的关键． 先把化简为，然后再根据最简二次根式与二次根式能够合并，由同类二次根式的定义可得，然后解一元一次方程即可解答． 【详解】解：， 最简二次根式与二次根式能够合并， ∴最简二次根式与二次根式是同类二次根式， ，解得：. 故答案为：4． 12. 已知a，b是方程的两个根，则的值为______ 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，结合整体思想即可解决问题． 【详解】解：因为a，b是方程的两个根， 所以，， 则， 所以 故答案为： 13. 已知矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB于点F，若AB＝4，BE＝3，则BF长为___． 【答案】6或 【解析】 【分析】AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB于点F可知点F的位置两种情况，一是点F在AB的延长线上，二是点F在AB上，然后分类用矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质和勾股定理求解BF的长． 【详解】解：①当点F在AB的延长线上时，设BF=x， 如图1所示： ∵在Rt△ABE中，AB=4，BE=3，由勾股定理得： 又∵FH是线段AC的中垂线， ∴AE=CE， ∴∠EAC=∠ECA， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠HAC=∠ECA， ∴∠EAC=∠HAC， 又∵AO⊥EH， ∴∠AOE=∠AOH=90°， 在△AOE和△AOH中， ∴△AOE≌△AOH（ASA） ∴AE=AH=5， 又∵△FBE∽△FAH， ∴ ∴， 解得：x=6， ∴BF=6； ②当点F在AB的上时，设BF=y， 如图2所示： ∵∠EFB=∠AFO，∠FBE=∠FOA， ∴△EFB∽△AFO， ∴∠E=∠FAO， 又∵△AFO+∠FAO=90°，∠BCA+∠FAO=90°， ∴∠EFB=∠ACB， 又∵∠EBF=∠ABC=90°， ∴△EBF∽△ABC， ∴， ∴ 又∵AB=4，AB=AF+BF， ∴AF=4-y， ∵EH是AC的垂直平分线， ∴AF=FC=4-y， 在Rt△BFC中，由勾股定理得： BF2+BC2=FC2， ∴， 解得：或y=-6（舍去）， 综合①②得BF=6或， 故答案为：6或． 【点睛】本题综合考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，三角形全等（或相似）的判定与性质和勾股定理等相关知识，重点掌握矩形，线段垂直平分线和全等三角形的性质，难点是分类讨论点F在AB上或延长线上，做到不重不漏，思维严谨． 14. 如图，四边形是菱形，，，和相交于点O，E为的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G，则四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，关键是由三角形的面积公式求出OG的长，由三角形中位线定理得到，．由菱形的性质推出，，，，由勾股定理求出，由三角形面积公式得到，求出，由三角形中位线定理推出，，判定四边形是矩形，得到，，即可求出四边形的周长． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， ， ， 的面积， ， ， 为的中点，O是中点， 是的中位线， ，， 于点F，于点G， 四边形是矩形， ，， 四边形的周长， 故答案为：． 15. 若，是方程的两个实数根，且，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键．首先根据根的判别式求得m的取值范围，然后由根与系数的关系来求m的值． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ， 解得， ，是方程的两个实数根， ， 又， ， 即， 解得，或， 又， 的值是. 故答案为： 16. 如图，在矩形中，点E是AD的中点，点F是上一点，连接，，，若，，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握以上性质是解题的关键． 根据题意得出∽，设，则，进而得出，，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ∽， ， 点E是中点， ， 设，则， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知，，，A，B为同类最简二次根式，且，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，一元一次方程，二次根式的混合运算，结合已知条件得到是解题的关键． 根据最简二次根式及同类二次根式的定义可得，解得x的值后根据求得y的值，然后将其代入原式计算即可． 【详解】解：已知，，，A，B为最简二次根式，且， 则， 解得：， 那么，， 则， 那么， 即， 解得：， 原式． 18. 如图，一个大矩形中有5个形状大小完全相同的小矩形，每个小矩形的宽都为若图中阴影部分的面积为42，求小矩形的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小矩形的长为x，根据阴影部分的面积等于大矩形面积减去5个小矩形的面积建立方程求解即可． 【详解】解：设小矩形的长为x， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去 答：小矩形的长为 19. 如图，，与交于点E，且，，． （1）求的长． （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是根据题目灵活选取相似三角形的判定方法． （1）由可得，由相似三角形的性质即可求得结果； （2）证明，再根据，即可证明． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 20. 已知，． （1）求的值； （2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求的值． 【答案】（1） （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，无理数的估算，掌握二次根式的化简方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式，进行计算即可解答； （2）先估算出与的值的范围，从而求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是0，小数部分， ∴， ∴， ∴的值为． 21. 如图，在矩形中（），对角线相交于点O，延长到点E，使得，连接，点F是的中点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为20，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵矩形中， ∴，，，， ∴， ∵， ∴点是线段的中点， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）菱形的面积9． 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质求得，再证明是的中位线，推出，，得到四边形是平行四边形，据此即可证明四边形是菱形； （2）先求得，在中，利用勾股定理列式计算求得，，再利用菱形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵矩形中， ∴，，， ∵矩形的周长为20， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得或， ∵， ∴，， ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算．证明四边形是菱形是解题的关键． 22. 某种商品在某电商平台1月份的销量是5万件，3月份的销量是万件． （1）若该平台1月份到3月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）某商场销售这种商品，每件进价为40元．市场调研发现：当每件售价为80元时，平均每天能售出20件；而当售价每降低1元时，平均每天就能多售出4件．为尽量减少库存，商场决定降价促销，若想使这种商品的销售利润平均每天达到1400元，每件售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）30元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率是x，然后根据题意列出关于x的一元二次方程求解即可； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，再利用总利润、每件的销售利润和日销售量的关系列出关于y的一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率是x， 由题意可得：， 解得：，不符合题意，舍去 答：月平均增长率是 【小问2详解】 解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 由题意可得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽量减少库存， 答：每件售价应降低30元． 23. 在矩形中，为矩形对角线，在边上，连接． （1）如图1，若，，，求； （2）如图2，，，连接交于，当为的中点时，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得，因为，所以，则，所以，求得； （2）作于点，则，由，得，由，得，而，，可根据“”证明，得，，因为，所以，可根据“”证明，则． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 的长是； 【小问2详解】 证明：如图2，作于点，则， ， ， ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24. 如图，是正方形的对角线，点E、F分别在边上，，延长到，且，连接． （1）求证：； （2）延长交于点，连接，求证：． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：如图： ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先由正方形的性质结合平行线分线段成比例得到，然后证明即可； （2）由，得到，证明，由直角三角形斜边上中线的性质得到，证明，则，那么，再交叉相乘即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，找出相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省烟台市莱阳市九年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算正确的是（　　） A. =±6 B. 4﹣3=1 C. =6 D. =6 2. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，与是以点O为位似中心的位似三角形，且，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点E在正方形的内部，且为等边三角形，连接并延长与交于点F，与相交于点G，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，在矩形中，，，相交于点O，E为延长线上一点，连接交于点F，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小明正在使用手电筒进行物理光学实验．地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为4，点O是正方形的中心，点E、F分别在边上运动，且满足，连接，过点O作交点G，则下列结论：①连接，则的周长不变；②若，则；③连接，则；④．其中正确的为（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值是______． 12. 已知a，b是方程的两个根，则的值为______ 13. 已知矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB于点F，若AB＝4，BE＝3，则BF长为___． 14. 如图，四边形是菱形，，，和相交于点O，E为的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G，则四边形的周长为______． 15. 若，是方程的两个实数根，且，则m的值为______． 16. 如图，在矩形中，点E是AD的中点，点F是上一点，连接，，，若，，则的值为______． 三、解答题：本题共8小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知，，，A，B为同类最简二次根式，且，求代数式的值． 18. 如图，一个大矩形中有5个形状大小完全相同的小矩形，每个小矩形的宽都为若图中阴影部分的面积为42，求小矩形的长． 19. 如图，，与交于点E，且，，． （1）求的长． （2）求证：． 20. 已知，． （1）求的值； （2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求的值． 21. 如图，在矩形中（），对角线相交于点O，延长到点E，使得，连接，点F是的中点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为20，，求四边形的面积． 22. 某种商品在某电商平台1月份的销量是5万件，3月份的销量是万件． （1）若该平台1月份到3月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）某商场销售这种商品，每件进价为40元．市场调研发现：当每件售价为80元时，平均每天能售出20件；而当售价每降低1元时，平均每天就能多售出4件．为尽量减少库存，商场决定降价促销，若想使这种商品的销售利润平均每天达到1400元，每件售价应降低多少元？ 23. 在矩形中，为矩形对角线，在边上，连接． （1）如图1，若，，，求； （2）如图2，，，连接交于，当为的中点时，求证：． 24. 如图，是正方形的对角线，点E、F分别在边上，，延长到，且，连接． （1）求证：； （2）延长交于点，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $