【第二章 分式 02讲 分式的加法和减法】【三大知识点+五大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版湘教版专用）

第二章 分式 02讲 分式的加法和减法 题型归纳 【题型1. 同分母分式相加减】…………………………………………………………… 2 【题型2. 最简公分母与通分】…………………………………………………………… 4 【题型3. 异分母分式相加减】…………………………………………………………… 7 【题型4. 分式加减混合运算】…………………………………………………………… 10 【题型5. 分式加减的应用】……………………………………………………………… 12 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 15 知识清单 知识点1 同分母分式加减 1.运算法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减. 知识点2 最简公分母与通分 1.最简公分母：分式的通分，关键是确定几个分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫作最简公分母. 2.通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. 知识点3 异分母分式的加减 1.运算法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 【提示】分式运算的最后结果要化成最简分式或整式. 题型专练 题型1. 同分母分式相加减 【例1】（24-25八年级下·江苏无锡·期末）计算的结果是（    ） A．3 B．x C． D． 【分析】本题考查了分式的减法运算．由于两个分式分母相同，可直接将分子相减，再约分即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·河北张家口·期中）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是 ． 【分析】本题考查了分式的加减法运算，解题的关键是掌握分式加减法的运算法则． 根据等式的性质，通过移项求出被盖住部分的值． 【详解】由题意得，被盖住的部分为： ， 故答案为：1． 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 =     解：原式       解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型2. 最简公分母与通分 【例1】（24-25八年级下·福建龙岩·期末）分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了分式的最简公分母，确定两个分式的最简公分母，需将各分母分解因式后，取所有不同因式的最高次幂的乘积． 【详解】解：分式的分母为，分解为和； 分式的分母为，分解为和． 各分母的因式包括、、，次数均为1次． 因此，最简公分母为，故选：A． 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母，通分的依据是分式的基本性质． （1）根据通分的定义把分式变形即可． （2）根据通分的定义把分式变形即可． （3）根据通分的定义把分式变形即可． （4）根据通分的定义把分式变形即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】（24-25八年级下·江苏南京·期末）分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了最简公分母的确定，解题的关键是掌握最简公分母的找法：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 先找系数的最小公倍数，再找字母因式的最高次幂，两者相乘得到最简公分母． 【详解】分式与分母的系数分别是4和2，4和2的最小公倍数是4。 两个分式分母中字母因式都是的最高次幂是。 根据最简公分母的定义，将系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂相乘，得到最简公分母为， 所以分式与的最简公分母是， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）下列三个分式的最简公分母是 ． 【分析】本题考查了最简公分母．找到最简公分母的步骤是：数字因数的最小公倍数和各个字母的最高次幂的乘积，若分母为多项式的要先进行因式分解，据此即可解答． 【详解】解：分式的分母分别为，，，最简公分母为． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母，通分的依据是分式的基本性质． （1）（2）（3）根据最简公分母的确定方法确定最简公分母，再通分即可． 【详解】（1）∵，的最简公分母是， ∴； （2）∵ ，的最简公分母是， ∴； （3）∵的最简公分母是， ∴． 题型3. 异分母分式相加减 【例1】（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【分析】本题考查分式的减法运算，需通过通分将两个分式合并后进行化简，通过通分统一分母，合并分子时注意符号，最终化简得到结果． 【详解】原式= 故选：D． 【例2】（2025·河南·中考真题）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式的减法，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题关键．先将分母变为相同，再进行减法，然后利用平方差公式约分化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式1】（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ； 故选A． 【变式2】（24-25八年级下·山西长治·期中）计算： ． 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握分式的通分与约分，把两个分式通分，再按照同分母分式相减法则进行计算，最后再约分即可． 【详解】 ， 故答案为：． 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式          解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式= = = 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型4. 分式加减混合运算 计算： 解：原式 解：原式= = = 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型5. 分式加减的应用 【例1】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为，像距为，凸透镜的焦距为，且满足，则用表示的结果为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式的加减法，首先移项，然后进行分式的减法运算，最后求倒数即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【例2】（24-25八年级上·山东威海·期末）小丽家和小明家到学校的路程都是，其中小丽家走的是平路，骑车速度是．小明家需要走的上坡路，的下坡路，在上坡路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，那么小丽比小明在路上花费的时间（   ）． A．相同 B．少 C．多 D．不确定 【分析】本题考查了分式加减的计算，解答本题的关键是读懂题意，用合适的分式表示出来． 【详解】解：∵小明上坡路走的时间：，下坡路走的时间：， 总时间为：； 小丽花费的时间为：， ∴． ∴小丽比小明在路上花费的时间少． 故选：B． 【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水吨数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式的减法，正确进行分式的减法运算是关键．首先表示出原来与现在每天的用水量，然后求差即可． 【详解】解：原来每天用水量：吨， 改用喷灌方式后的每天用水量：吨， 则现在比原来每天节约用水：吨． 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·河南郑州·期末）“郑在加速，出行无忧”郑州地铁8号线有望今年底试运营，某施工队每天挖掘隧道a米，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘b米隧道，比原来少用的天数可以表示为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查分式的运算，根据题意，得到改进技术后，每天可以挖掘米，利用原来需要的天数减去现在需要的天数，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故选A． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）学校要买一批笔记本电脑，每台A型号电脑的价格是a万元，每台B型号电脑的价格是A型号电脑的2倍．现有资金100万元，全部用来买B型号电脑比全部用来买A型号电脑要少买多少台？ 【分析】本题考查了分式运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 先表示B型号电脑的数量为，A型号电脑电脑的数量为，然后即可列式计算． 【详解】解：由题意得，（台）， 答：电脑要少买台． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·新疆·中考真题）计算：（    ） A．1 B． C． D． 【分析】本题考查同分母分式的减法运算．根据分式减法法则，分母相同时，分子直接相减，分母保持不变，再约分计算即可． 【详解】解： 故选：A． 2．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被遮盖的是（   ） A． B． C．2 D．1 【分析】本题考查分式的加减运算，用根据分式加减法的运算法则，将等式两边变形，求出被遮盖的部分即可． 【详解】解：∵， ∴； 因此，被遮盖的部分是1， 故选D． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是分式的加减法，熟知异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减是解答此题的关键． 根据分式的加减法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A. ，故该选项不符合题意； B. ，故该选项符合题意； C. ，故该选项不符合题意； D. ，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知，是正数，则（   ） A．是正数 B．是负数 C．有可能是0 D．无法判断 【分析】本题主要考查了分式的减法运算，先进行分式的减法运算，再结合，是正数判断分子分母的正负性，进而可得出答案． 【详解】解： ∵，是正数， ∴分子，分母 ， ∴ ， 即是正数， 故选∶A 5．（2025·天津南开·三模）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了异分母分式的减法，关键是通分化为同分母分式的减法，最后约分化简即可；把两个分母通分化为同分母分式，再把分子相减即可． 【详解】解：， 故选：D． 6．（24-25八年级下·重庆南岸·期末）下面是某同学计算的解题过程． 解：① ② ③ ④ 上述解题过程，开始出现错误的一步是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】本题考查的是分式的化简．该同学在分式加减运算过程中，第二步合并分子时符号处理错误，导致后续步骤均出现错误． 【详解】步骤①：将原式通分，正确， 原式中，，而可变形为， 通分后为，此处正确， 步骤②：合并分子时错误， 正确合并应为： 但该同学误将分子写为，导致错误， 步骤③、④：因步骤②错误，后续步骤均无效， 综上，错误首次出现在步骤②．故选：B． 7．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）分式，，的最简公分母为（ ） A． B． C． D．12ab 【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据最简公分母的定义求解． 【详解】解：分式，，的分母分别是、、，故最简公分母是； 故选：A． 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）求最简公分母时，如果各分母的系数都是整数，那么最简公分母的系数通常取（   ） A．各分母系数的公倍数 B．各分母系数的最小公倍数 C．各分母系数的公约数 D．各分母系数的最大公约数 【分析】本题考查了最简公分母“确定最简公分母的一般方法：1、如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积；2、如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母”，熟练掌握确定最简公分母的方法是解题关键．根据确定最简公分母的一般方法即可得． 【详解】解：求最简公分母时，如果各分母的系数都是整数，那么最简公分母的系数通常取各分母系数的最小公倍数， 故选：B． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）将通分后，各分式的分子之和为（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了通分，整式混合运算，关键是根据分式的基本性质对分式进行通分． 先找出三个分式的最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分计算，最后把通分后的分式的分子相加，根据整混合法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：A． 10．（23-24八年级下·湖南岳阳·阶段练习）从甲地到乙地依次需经过的上坡路和的下坡路．已知小明骑车在上坡路上的速度为，在下坡路上的速度为，则他骑车从甲地到乙地需多长时间？（      ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式加减的计算，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系．分别求出小刚上坡路走的时间和下坡路走的时间，然后相加求解即可． 【详解】上坡路走的时间：， 下坡路走的时间：， 总时间为：． 故选：D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）分式与的最简公分母是 ． 【分析】本题主要考查了求两个分式的最简公分母，两个分式的最简公分母通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，即可得解． 【详解】解：与的最简公分母是， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·陕西西安·期末）若，则分式的值为 【分析】本题考查了异分母的分式的加法，整体代入值求代数式的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键，将左边进行通分，得到，整理成，可知，将代入即可求得答案． 【详解】解：， ∴， ， 则． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）计算的结果为 ． 【分析】本题考查了分式的减法运算，熟练掌握和运用分式的加减运算是解决本题的关键． 直接进行同分母的分式减法运算，再约分即可求得其结果． 【详解】解： ， 故答案为：1． 14．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）若，则的值为 ． 【分析】本题考查分式的求值，将条件式转化为，进而得到，整体代数法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：6． 15．（2024·青海西宁·中考真题）计算： ． 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则成为解题的关键． 先通分，然后再按同分母分式加减法计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）计算 ． 【分析】本题考查了同分母分式的加减，解题关键是掌握同分母分式的加减． 直接同分母分式的加减法则计算． 【详解】解：原式= ． 17．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知，则 ． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先求出，再把所求式子通分化简得到，据此把代入化简结果中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 【分析】本题考查了异分母分式的加减，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握异分母分式的加减． 先利用异分母分式的加减得出，再代入求值． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 19．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离．若，，则 ． 【分析】本题考查了分式的应用．将，直接代入公式，再进行分式的计算即可． 【详解】解：把，代入，得， 解得， 故答案为：12． 20．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （）①小明走了的路，则小明走路的速度是 ； ②某食堂有大米，原计划每天用米，现因部分员工外派每天少用，这批大米可比原计划多用 天． （）将写成分式为 ，当时，该分式的值为 ；当 时，该分式的值为． 【分析】（）根据题意列出分式即可； （）根据题意列出分式即可； （）根据题意写出分式，再把代入分式可求出该分式的值；根据分式的值为可得分子的值为可求出的值； 本题考查了分式的除法，分式的减法，分式的求值等，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）小明走了的路，则小明走路的速度是， 故答案为：； （）某食堂有大米，原计划每天用米，现因部分员工外派每天少用，这批大米可比原计划多用天， 故答案为：； （）将写成分式为，当时，该分式的值为；当时，该分式的值为， 故答案为：，，． 三、解答题 21.计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式= = = = 解：原式 解：原式 解：原式， 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 22．（2024·陕西榆林·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【分析】根据异分母分式相加减的法则进行计算即可． 本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握异分母分式相加减的法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 23．（2025·江西赣州·一模）计算：下面是某同学的解答过程： 解：原式…第一步 …第二步 (1)第一步的依据是_____，运用的方法是____________； 分式的基本性质；分式的加减法则；分式的通分；分式的约分法则． (2)计算：． 【分析】本题主要考查分式加减运算，先通分，然后计算加减法即可，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据分式的基本性质，通分即可得出结果； （2）先把分子分母因式分解，约分，再计算加减即可． 【详解】（1）解：解：第一步的依据是分式的基本性质，运用的方法是分式的通分， 故答案为：；； （2）解： ． 24．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）小张同学计算时，是这样做的： 第一步 第二步 第三步 ． (1)小张的做法从第______步开始出现错误，本题最终的正确计算结果为____； (2)计算：． 【分析】本题考查了分式的化简，平方差公式，根据分式的性质正确的化成同分母分式是解题关键． （1）根据分式的加减运算法则和平方差公式进行计算，即可得到答案； （2）根据分式的加减运算法则和平方差公式进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：小张的做法从第二步开始出现错误， 正确解法如下： ， 故答案为：二，； （2）解： ． 25．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）（1）观察下列各式：，，，，……，由此可推断_________=___________． （2）请猜想能表示（1）的特点的一般规律，用含m的等式表示出来为___________=__________（m表示正整数）； （3）请参考（2）中的规律计算：． 【分析】此题考查了分式加减混合运算、数字类规律探究，掌握规律是解题的关键． （1）按照题目中的例子进行解答即可； （2）根据例子写出规律即可； （3）先求出，再把所求式子按照规律进行计算即可． 【详解】解：（1） 根据对式子的观察，可以将分母72分解为，再按规律写出：； （2）用m表示由原分母分解出来的较小的因数，用m+1表示较大的因数，得：； 故答案为：，； （3）∵， ∴， ∴， . 26．（23-24七年级上·上海青浦·期末）某数学小组在一次活动中写出了一组有趣的算式： ①；②；③；④；…… 仔细观察、思考，回答下列问题： (1)按照以上等式的规律，请你写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并说明等式成立； (3)在第（2）问的前提下，请用你发现的规律，化简下面的式子． 【分析】本题主要考查有理数的减法运算、分式的减法及数字规律问题，解题的关键是理解题中所给的规律； （1）根据题中所给式子可进行求解； （2）由题意可直接进行求解； （3）根据（2）中的结论及分式的减法可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可得：第5个等式是； 故答案为； （2）解：由题意可知：第n个等式是； ∵， ∴原等式成立； （3）解： ． 27．（22-23八年级上·福建厦门·期末）某海湾城市有A，B两个港口、有两条航线能够连接A，B两个港口，两条航线的路程都是，已知货轮在静水中的最大航速为． (1)若该货轮在水流速度为的航线上航行，用含v的式子表示货轮顺流航行和逆流航行的最大速度； (2)航运公司计划用该货轮将一批货物以最大航速从A港送往B港，再从B港返回A港．根据海流预报：航线1位于外湾，受潮汐影响，水流速度为，且从A港到B港为顺流航行；航线2位于内湾，水流速度忽略不计．为了使送货的往返的总时间更短，请通过计算说明航运公司应当选择哪一条航线． 【分析】（1）根据和即可得到代数式； （2）航线1：从A港到B港为顺流航行，从B港返回A港为逆流航行，得到；航线2：从A港到B港和从B港返回A港的速度相同，同为，得到，比较即可得出结论． 【详解】（1）解：∵货轮在静水中的最大航速为， ∴水流速度为， ∴顺流航行的最大速度为， 逆流航行的最大速度为； （2）解：航线1： 从A港到B港为顺流航行，从B港返回A港为逆流航行， 依题意得； 航线2： 从A港到B港和从B港返回A港的速度相同，同为， 依题意得； ， ∴， ∴航运公司应当选择航线2． 【点睛】本题考查了分式加减的应用、列代数式，要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列式再求解，解题关键是理解顺水航行速度和逆水航行速度． 28．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． (1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） (2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式的加减计算，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）根据工作时间等于工作总量除以工作效率，求出，即可； （）先根据题意求出，，再利用作差法求出，的大小即可得到答案． 【详解】（1）解 （2） ∵ ， ，即． ∴该工程队应采取方案B． 29．（2025·浙江·三模）小明在探究并联电阻的总电阻时，发现：总电阻的倒数等于各并联电阻，的倒数和，即． (1)请用含R和的式子表示及． (2)若，均为正整数，探究，分别取多少Ω时，总电阻R恰好为？ 【分析】本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减． （1）先移项再通分得，再取倒数即可； （2）先将代入，再化简得，再根据，均为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，均为正整数， ∴①当时，则，； ②当时，则，； ③当时，则，． 30．（24-25八年级下·全国·课后作业）从甲地到乙地有两条路，每条路的长度都是，其中第一条路是平路，第二条有的上坡路、的下坡路．小强在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为． (1)当小强走第二条路时，他从甲地到乙地需要多少时间？ (2)他走哪条路花费时间少？少用多少时间？ 【分析】本题考查了速度，路程，时间之间的关系，异分母分式的加减运算的实际应用，解题的关键是理解题意，掌握速度，路程，时间之间的关系． （1）分别表示出上坡路的时间和下坡路的时间，然后相加即可； （2）表示出走第一条路所用时间，然后作差求解即可． 【详解】（1）解：走第二条路所用时间：； （2）解：走第一条路所用时间： ∴ ∴走第一条路花费时间少，少． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 分式 02讲 分式的加法和减法 题型归纳 【题型1. 同分母分式相加减】…………………………………………………………… 2 【题型2. 最简公分母与通分】…………………………………………………………… 3 【题型3. 异分母分式相加减】…………………………………………………………… 4 【题型4. 分式加减混合运算】…………………………………………………………… 5 【题型5. 分式加减的应用】……………………………………………………………… 6 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 7 知识清单 知识点1 同分母分式加减 1.运算法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减. 知识点2 最简公分母与通分 1.最简公分母：分式的通分，关键是确定几个分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫作最简公分母. 2.通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. 知识点3 异分母分式的加减 1.运算法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 【提示】分式运算的最后结果要化成最简分式或整式. 题型专练 题型1. 同分母分式相加减 【例1】（24-25八年级下·江苏无锡·期末）计算的结果是（    ） A．3 B．x C． D． 【变式1】（24-25八年级下·河北张家口·期中）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是 ． 计算： 题型2. 最简公分母与通分 【例1】（24-25八年级下·福建龙岩·期末）分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（24-25八年级下·江苏南京·期末）分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）下列三个分式的最简公分母是 ． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)． 题型3. 异分母分式相加减 【例1】（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【例2】（2025·河南·中考真题）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 【变式2】（24-25八年级下·山西长治·期中）计算： ． 计算： 题型4. 分式加减混合运算 计算： 题型5. 分式加减的应用 【例1】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为，像距为，凸透镜的焦距为，且满足，则用表示的结果为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·山东威海·期末）小丽家和小明家到学校的路程都是，其中小丽家走的是平路，骑车速度是．小明家需要走的上坡路，的下坡路，在上坡路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，那么小丽比小明在路上花费的时间（   ）． A．相同 B．少 C．多 D．不确定 【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水吨数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·河南郑州·期末）“郑在加速，出行无忧”郑州地铁8号线有望今年底试运营，某施工队每天挖掘隧道a米，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘b米隧道，比原来少用的天数可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）学校要买一批笔记本电脑，每台A型号电脑的价格是a万元，每台B型号电脑的价格是A型号电脑的2倍．现有资金100万元，全部用来买B型号电脑比全部用来买A型号电脑要少买多少台？ 巩固练习 一、单选题 1．（2025·新疆·中考真题）计算：（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被遮盖的是（   ） A． B． C．2 D．1 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知，是正数，则（   ） A．是正数 B．是负数 C．有可能是0 D．无法判断 5．（2025·天津南开·三模）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·重庆南岸·期末）下面是某同学计算的解题过程． 解：① ② ③ ④ 上述解题过程，开始出现错误的一步是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 7．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）分式，，的最简公分母为（ ） A． B． C． D．12ab 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）求最简公分母时，如果各分母的系数都是整数，那么最简公分母的系数通常取（   ） A．各分母系数的公倍数 B．各分母系数的最小公倍数 C．各分母系数的公约数 D．各分母系数的最大公约数 9．（2025七年级下·全国·专题练习）将通分后，各分式的分子之和为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·湖南岳阳·阶段练习）从甲地到乙地依次需经过的上坡路和的下坡路．已知小明骑车在上坡路上的速度为，在下坡路上的速度为，则他骑车从甲地到乙地需多长时间？（      ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）分式与的最简公分母是 ． 12．（24-25八年级下·陕西西安·期末）若，则分式的值为 13．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）计算的结果为 ． 14．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）若，则的值为 ． 15．（2024·青海西宁·中考真题）计算： ． 16．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）计算 ． 17．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知，则 ． 18．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 19．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离．若，，则 ． 20．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （）①小明走了的路，则小明走路的速度是 ； ②某食堂有大米，原计划每天用米，现因部分员工外派每天少用，这批大米可比原计划多用 天． （）将写成分式为 ，当时，该分式的值为 ；当 时，该分式的值为． 三、解答题 21.计算 22．（2024·陕西榆林·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 23．（2025·江西赣州·一模）计算：下面是某同学的解答过程： 解：原式…第一步 …第二步 (1)第一步的依据是_____，运用的方法是____________； 分式的基本性质；分式的加减法则；分式的通分；分式的约分法则． (2)计算：． 24．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）小张同学计算时，是这样做的： 第一步 第二步 第三步 ． (1)小张的做法从第______步开始出现错误，本题最终的正确计算结果为____； (2)计算：． 25．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）（1）观察下列各式：，，，，……，由此可推断_________=___________． （2）请猜想能表示（1）的特点的一般规律，用含m的等式表示出来为___________=__________（m表示正整数）； （3）请参考（2）中的规律计算：． 26．（23-24七年级上·上海青浦·期末）某数学小组在一次活动中写出了一组有趣的算式： ①；②；③；④；…… 仔细观察、思考，回答下列问题： (1)按照以上等式的规律，请你写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并说明等式成立； (3)在第（2）问的前提下，请用你发现的规律，化简下面的式子． 27．（22-23八年级上·福建厦门·期末）某海湾城市有A，B两个港口、有两条航线能够连接A，B两个港口，两条航线的路程都是，已知货轮在静水中的最大航速为． (1)若该货轮在水流速度为的航线上航行，用含v的式子表示货轮顺流航行和逆流航行的最大速度； (2)航运公司计划用该货轮将一批货物以最大航速从A港送往B港，再从B港返回A港．根据海流预报：航线1位于外湾，受潮汐影响，水流速度为，且从A港到B港为顺流航行；航线2位于内湾，水流速度忽略不计．为了使送货的往返的总时间更短，请通过计算说明航运公司应当选择哪一条航线． 28．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． (1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） (2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 29．（2025·浙江·三模）小明在探究并联电阻的总电阻时，发现：总电阻的倒数等于各并联电阻，的倒数和，即． (1)请用含R和的式子表示及． (2)若，均为正整数，探究，分别取多少Ω时，总电阻R恰好为？ 30．（24-25八年级下·全国·课后作业）从甲地到乙地有两条路，每条路的长度都是，其中第一条路是平路，第二条有的上坡路、的下坡路．小强在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为． (1)当小强走第二条路时，他从甲地到乙地需要多少时间？ (2)他走哪条路花费时间少？少用多少时间？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$